Szakaszfelező merőleges

Szakaszfelező merőleges szerkesztése

Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese a szárak által bezárt szög felezője

Egy $a$ szakasz szakaszfelező merőlegese egy adott síkban egy olyan $b$ egyenes, amelynek minden pontja az $a$ szakasz $A$ és $B$ végpontjaitól egyenlő távolságra van. $b$ merőleges $a$-ra, és áthalad annak felezőpontján. Térbeli megfelelője a szakaszfelező sík.

Más megfogalmazásban: két pontot összekötő szakasz szakaszfelező merőlegese a két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban.

Ekvivalensen, a mindkét ponton átmenő körök középpontjai alkotják a szakaszfelező merőlegest. A szerkesztés ezt a tulajdonságot használja fel, mivel a két pontból ugyanazzal a sugárral húz kört, és összeköti a keletkezett metszéspontokat. Ahhoz, hogy a metszéspontok létezzenek, kell, hogy a sugarak szigorúan nagyobbak legyenek, mint a szakasz fele.

Adva legyen a szakasz két végpontjával a derékszögű Descartes-koordináta-rendszerben. Jelölje ezeket $A(x_A|y_A)$ és $B(x_B|y_B)$! Ha $y_A\ne y_B$, akkor a szakaszfelező merőleges egyenlete:

$y=-\frac{x_A-x_B}{y_A-y_B}x+\frac{x_A^2-x_B^2+y_A^2-y_B^2}{2\cdot (y_A-y_B)}$

Ha $y_A=y_B$, akkor az egyenlet: $x=\frac{1}{2}(x_A+x_B)$

A háromszög oldalfelező merőlegesei

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.

Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás: Legyen az $ABC$ háromszög $AB$ oldalának felezőmerőlegese $e$, ennek minden pontja egyenlő távolságra van $A$-tól és $B$-től is. A $BC$ oldal felezőmerőlegese pedig legyen $f$, aminek minden pontja egyenlő távolságra van $B$-től és $C$-től. $AB$ és $BC$ oldal metszik egymást, így a felezőmerőlegeseik is, legyen a metszéspont $M$, ekkor $M$ azonos távolságra van $A$-tól, $B$-től és $C$-től, vagyis $M$ rajta van $AC$ oldal felezőmerőlegesén is.

Ez a pont éppen a háromszög köréírt körének középpontja, mivel minden csúcstól egyenlő távolságra van. Hegyesszögű háromszög esetén ez a háromszög belsejében van. Derékszögű háromszögben az átfogó középpontja, és egybeesik az átfogó Thalész-körével. Tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül található.

Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese felezi a szárak által bezárt szöget.

A koordinátageometriában

Az $A$ és $B$ pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesét a koordinátageometriában így számíthatjuk síkban és térben:

Vezessük be az $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}$ jelölést, illetve legyen $M$ támaszpont, melynek helyvektora $\overrightarrow{m}$. Ekkor

$\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m})=0$

a szakaszfelező merőleges egyenlete.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book