Kopula (valószínűségszámítás)

A kopula a valószínűségszámításban egy függvény, ami különböző valószínűségi változók peremeloszlásai és közös eloszlása között állít fel kapcsolatot. Segítségével szabadabban lehet modellezni a valószínűségi változók közötti kapcsolatot, mint korrelációval.

Definíció

A kopula egy $C:[0,1{]}^n\to [0,1]$ többváltozós eloszlásfüggvény, melynek egydimenziós peremeloszlásai egyenletes eloszlásúak $[0,1]$-ben. Ez a következőket jelenti:

• $C$ többváltozós eloszlásfüggvény, így:

• $\mathrm{\forall }u\in [0,1{]}^n:\min \{u_1,\dots ,u_n\}=0⟹C(u)=0$,
• $C$ n-növekvő, azaz minden $R=\prod _{i=1}^n[x_i,y_i]\subseteq [0,1{]}^n$ téglán a C-térfogat nemnegatív, $V_C\left(R\right):=\sum _{𝐳\in \prod _{i=1}^n\{x_i,y_i\}}(-1{)}^{N(𝐳)}C(𝐳)\ge 0$, ahol $N(𝐳):=|\{k\mid z_k=x_k\}|$,

• $C$ egydimenziós peremeloszlásai egyenletesek a $[0,1]$ intervallumon: $\mathrm{\forall }j\in \{1,\dots ,n\},u=(u_1,...,u_n)\in \{1{\}}^{j-1}\times [0,1]\times \{1{\}}^{n-j}:C(u)=u_j$.

Az utolsó követelmény motivációja a következő: Egy rögzített $n\in \mathbb{N}$ számra az $X_1,X_2,\dots ,X_n$ tetszőleges folytonos $F_{X_i},i\in \{1,2,\dots ,n\}$ eloszlású valószínűségi változók esetén $F_{X_i}(X_i)$ egyenletes eloszlású az $[0,1]$ intervallumon.

Sklar tétele

A továbbiakban $\overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ a valós számok kiterjesztése.

Legyen $F:{\overline{ℝ}}^n\to [0,1]$ $n$-dimenziós eloszlásfüggvény, az $F_1,\dots ,F_n:\overline{ℝ}\to [0,1]$ egydimenziós peremeloszlásokkal. Ekkor van egy $n$-dimenziós $C$ kopula, hogy minden $(x_1,\dots ,x_n)\in {\overline{ℝ}}^n$ esetén

$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=C(F_1\left(x_1\right),\dots ,F_n\left(x_n\right)).$

Ha minden $F_i$ folytonos, akkor a kopula egyértelmű.

Fréchet-Hoeffding-korlátok

Minden $n$-változós $C$ kopulára teljesülnek az

• $C(u_1,\dots ,u_n)\ge \max \{\sum _{i=1}^n{u}_i+1-n,0\}=:W(u_1,\dots ,u_n)$

és az

• $C(u_1,\dots ,u_n)\le \min \{u_1,\dots ,u_n\}=:M(u_1,\dots ,u_n)$

korlátok.

A felső $M$ korlát szintén kopula, az alsó $W$ viszont csak $n=2$ esetén.

Példák

A legegyszerűbb kopula a függetlenségi kopula:

$C(u_1,\dots ,u_n)=\prod _{i=1}^n{u}_i=u_1\cdot \dots \cdot u_n$.

A kopula szerinti eloszlás $U_1,\dots ,U_n$ valószínűségi változók függetlenségét jelzi. Jelben: $(U_1,\dots ,U_n)\sim C$

A felső Fréchet-Hoeffding-korlát is kopula:

$C(u_1,\dots ,u_n)=\underset{i=1,\dots ,n}{\min }{u}_i$.

Tökéletes pozitív összefüggést ír le.

Az alsó Fréchet-Hoeffding-korlát kétváltozós esetben kopula:

$C(u_1,u_2)=\max \{u_1+u_2-1,0\}$.

Két valószínűségi változó tökéletes negatív összefüggését írja le.

A normális vagy Gauß-kopula definiálható a normális eloszlás eloszlásfüggvényével, amit itt $F(\cdot )$ jelöl. A

$C(u_1,u_2)=F_2(F^{-1}(u_1),F^{-1}(u_2),\rho )$

kopula azt jelzi, hogy $F_2(\cdot ,\cdot ,\rho )$ két standard normális eloszlású valószínűségi változó közös eloszlása, $\rho$ korrelációs együtthatóval. Ha a $\rho =0,5$ együtthatóval generálunk pontokat, akkor a szögfelező mentén fognak koncentrálódni.

A Gumbel-kopula definíciójához exponenciális függvényt és logaritmust használnak:

$C_{\lambda }(u_1,u_2)=\exp (-{({(-\ln u_1)}^{\lambda }+{(-\ln u_2)}^{\lambda })}^{1/\lambda })$,

ahol $\lambda \ge 1$ paraméter. Ha eszerint generálunk pontokat, akkor az $(1,1)$ pont körül fognak koncentrálódni.

Arkhimédészi kopula

Az arkhimédészi kopulák a kopulák egy osztályát alkotják.

Legyen $\phi :[0,1]\to [0,\mathrm{\infty }]$ folytonos, monoton csökkenő függvény, ahol $\phi (1)=0$. Jelölje ennek pszeudoinverzét ${\phi }^{[-1]}:[0,\mathrm{\infty }]\to [0,1]$, azaz

${\phi }^{[-1]}(t):=\{\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}(t),& \text{ha}0\le t\le \phi (0)\\ 0& \text{<mo stretchy="false">.</mo>}\end{array}$

$\phi$ és ${\phi }^{[-1]}$ segítségével definiálják a

$C:[0,1{]}^2\to [0,1],C(u,v):={\phi }^{[-1]}(\phi \left(u\right)+\phi \left(v\right))$

kétváltozós függvényt. $C$ akkor és csak akkor kopula, ha $\phi$ konvex. Ekkor $\phi$ a kopula generátora. $C$ nyilván szimmetrikus, azaz $C(u,v)=C(v,u)$ ha $u,v\in [0,1]$.

Gyakran használnak arkhimédészi kopulákat, mivel használatuk egyszerű. Néhány példa:

• Gumbel-kopula: Generátora az $\phi (t)=(-\ln t{)}^{\lambda }$ mfüggvény, ahol $\lambda \ge 1$ paraméter.

Ezzel ${\phi }^{[-1]}(t)=\exp (-t^{\frac{1}{\lambda }})$ így a Gumbel-kopula $C_{\lambda }(u,v)$ ahogy fent.

• Clayton-kopula: Generátora a $\phi (t)=\frac{1}{\mathrm{\Theta }}(t^{-\mathrm{\Theta }}-1)$ függvény, ahol $\mathrm{\Theta }>0$.

Ezzel ${\phi }^{[-1]}(t)={(\mathrm{\Theta }\cdot t+1)}^{-\frac{1}{\mathrm{\Theta }}}$ így a kétváltozós Clayton-kopula:

$C(u,v)={(u^{-\mathrm{\Theta }}+v^{-\mathrm{\Theta }}-1)}^{-\frac{1}{\mathrm{\Theta }}}$

• Frank-kopula: Generátora a $\phi (t)=-\ln \left(\frac{e^{-\mathrm{\Theta }\cdot t}-1}{e^{-\mathrm{\Theta }}-1}\right)$ függvény, ahol $\mathrm{\Theta }>0$.

Szélsőértékkopula

Egy $C$ kopula szélsőértékkopula, ha egy többváltozós szélsőérték-eloszlás kopulája. Azaz van egy $G$ többváltozós szélsőérték-eloszlás, $G_1,\dots ,G_n$ egydimenziós peremeloszlásokkal, úgy, hogy $C(u_1,\dots ,u_n)=G(G_1^{-1}(u_1),\dots ,G_n^{-1}(u_n))$.

Egy $C$ kopula akkor és csak akkor szélsőértékkopula, ha $\mathrm{𝟎}\le 𝐮=(u_1,\dots ,u_n{)}^T\le \mathrm{𝟏}$ és $t>0$ esetén $C(u_1^t,\dots ,u_n^t)=C^t(u_1,\dots ,u_n)$.

Ha $C$ szélsőértékkopula, és $G_1,\dots ,G_n$ egyváltozós szélsőérték-eloszlások, akkor $G((x_1,\dots ,x_n{)}^T):=C(G_1(x_1),\dots ,G_n(x_n))$ is szélsőérték-eloszlás.

Alkalmazások

Arra használják a kopulákat, hogy célzottan modellezzék az összefüggést különböző valószínűségi változók között, vagy következtessenek függetlenségükre. Így például hitelek kockázatosságát vizsgálják, hogy egyfajta hitel adósainak tömeges csődkockázatáról tegyenek kijelentéseket. Hasonlóan alkalmazzák a biztosításban is, a különféle káresetek együttes előfordulására, mint például árvíz és vihar okozta károkra.

Források

• Joe, Harry: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, Sablon:ISBN
• Mai, J.-F., Scherer, M.: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, Sablon:ISBN
• Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas (Lecture Notes in Statistics). Springer Verlag, 2006, Sablon:ISBN
• Sklar, A.: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward in Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes - Monograph Series Number 28), 1997, Sablon:ISBN
• Fischer, Rico: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk, Logos Berlin, 2009, Sablon:ISBN