Szabályos feltételes eloszlás

Egy valószínűségi változó szabályos feltételes eloszlása a valószínűségszámításban a valószínűségi változó eloszlását általánosítja. Tekintetbe veszi azt az információt, amit a lehetséges kimenetelekről tudunk. A Bayes-statisztika és a sztochasztikus folyamatok elméletében fontos. Szemben a közönséges feltételes eloszlással a szabályos feltételes eloszlást a feltételes várható értékkel definiálják, ezzel annál lényegesen általánosabb.

Definíció

Adva legyen egy $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi mező, egy $(E,ℰ)$ mértéktér és $𝒜$ egy $ℱ$ rész-σ-algebrája. Továbbá legyen $Y$ egy valószínűségi változó $(\mathrm{\Omega },𝒜)$-ban $(E,ℰ)$ szerint.

Ekkor $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ egy $(E,ℰ)$ szerinti ${\kappa }_{Y,ℱ}$ Markov-magja az $Y$ valószínűségi változó $ℱ$-re vett feltételes eloszlásának szabályos verziója, ha

${\kappa }_{Y,ℱ}(\omega ,B)=P(Y^{-1}(B)|ℱ)(\omega )$

minden $B\in ℰ$ esetén $P$-majdnem mindenütt $\omega$-ban.

Itt $P(A|ℱ)(\omega ):=\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A|ℱ)(\omega )$ a feltételes valószínűség, amit feltételes várható értékkel definiálnak.

A ${\kappa }_{Y,ℱ}:\mathrm{\Omega }\times ℰ\to [0,1]$ függvény definíciójában szereplő feltételek a következőket is jelentik:

• Minden $\omega \in \mathrm{\Omega }$ esetén ${\kappa }_{Y,ℱ}(\omega ,\cdot )$ valószínűségi mérték $(E,ℰ)$-n.
• Minden $B\in ℰ$ $𝒜$-mérhető függvény ${\kappa }_{Y,ℱ}(\cdot ,B)$-n.
• Minden $B\in ℰ$ és minden $F\in ℱ$

esetén $\underset{F}{\int }{\kappa }_{Y,ℱ}(\cdot ,B)dP=P(Y^{-1}(B)\cap F)$.

Létezése

Ha a valós számokat a Borel-algebrával látjuk el, akkor valós értékű valószínűségi változóknak mindig van szabályos feltételes eloszlása. Általában, Borel-terekből származó értékeket felvevő valószínűségi változóknak mindig van szabályos feltételes eloszlása. Erre példák a valós valószínűségi vektorváltozók ${ℝ}^n$-ben a Borel-algebrával, illetve azok a valószínűségi változók, amelyek lengyel terekből vesznek fel értékeket.

Példa

Adva legyen két valós valószínűségi változó az $f_{X,Y}(x,y)$ közös sűrűségfüggvénnyel a Lebesgue-mérték szerint. Ekkor az $Y$ feltéve $X$ szabályos feltételes eloszlás sűrűségfüggvénye

$f_{Y|X}(y|x):=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$,

vagyis

${\kappa }_{Y,\sigma (X)}(\omega ,B)=\frac{\underset{B}{\int }f(X(\omega ),y)dy}{f_X(X(\omega ))}$.

Itt $f_X(x)=\underset{ℝ}{\int }f(x,y)dy$ a peremeloszlás sűrűségfüggvénye. Ez a peremeloszlás lehet nulla, de ez nem probléma, mivel ez csak egy $P_X$-nullmértékű halmazon fordulhat elő.

Feltételes várható értékek kiszámítása

Ha ${\kappa }_{Y,ℱ}$ egy $Y$ integrálható valós valószínűségi változó feltételes eloszlásának $ℱ$-re vett szabályos verziója, akkor $Y$ $ℱ$-re vett feltételes várható értéke

$\mathrm{E}(Y|ℱ)(\omega )=\underset{ℝ}{\int }y{\kappa }_{Y,ℱ}(\omega ,dy)$

$P$-majdnem minden $\omega \in \mathrm{\Omega }$ esetén.

Változatai

A feltételes várható érték változataihoz hasonlóan a szabályos feltételes eloszlásnak is definiálhatók különböző változatai, amelyek mind visszavezethetők a fenti definícióra.

• Valószínűségi változók bevezetése nélkül definiálható $P$ szabályos feltételes eloszlása adott $ℱ$-re Markov-magként, mint

$\kappa (\omega ,A)=P(A|ℱ)(\omega )$

$P$-majdnem minden $\omega$ és minden $A\in 𝒜$ esetén.

• Ha $X$ egy másik valószínűségi változója $(\mathrm{\Omega },𝒜)$-nak egy további $(E_1,{ℰ}_1)$ mértéktéren, akkor az $ℱ$ σ-algebra helyettesíthető az $X$ valószínűségi változó által generált $\sigma (X)$ generált σ-algebrával, hogy megkapjuk az $Y$ feltéve $X$ szabályos feltételes eloszlást.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book