Markov-egyenlőtlenség (valószínűségszámítás)

A Markov-egyenlőtlenség a valószínűségszámításban becslést ad arra, hogy a valószínűségi változó kimenetele mekkora valószínűséggel halad meg egy megadott számot. Andrej Andrejevics Markov után nevezték el.

Állítás

Legyen $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ valószínűségi mező, $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ valós értékű valószínűségi változó, $a$ adott valós szám és $h:D\to [0,\mathrm{\infty })$ monoton növő függvény. Továbbá $h$ $D\subseteq ℝ$ értelmezési tartománya tartalmazza $X$ képhalmazát. Ekkor az általános Markov-egyenlőtlenség szerint

$h(a)P[X\ge a]\le \mathrm{E}[h(X)],$

ami $h(a)>0$ esetén írható úgy is, mint

$P[X\ge a]\le \frac{\mathrm{E}[h(X)]}{h(a)}.$

Változatok

Legyen $h(x)=x$, ha $x\ge 0$, és legyen $|X|$ valós valószínűségi változók, ekkor $a>0$ esetén adódik a speciális eset:

$P[|X|\ge a]\le \frac{\mathrm{E}[|X|]}{a}.$

Ezt a speciális esetet területek összehasonlításával lehet bizonyítani, és hasonló módon a Csebisev-egyenlőtlenség is bizonyítható.

Legyen $a=c\cdot \mathrm{E}[|X|]$, ahol $c>0$, akkor következik a $c>0$-szeres túllépést becslő változat:

$P[|X|\ge c\cdot \mathrm{E}[|X|]]\le \frac{\mathrm{E}[|X|]}{c\cdot \mathrm{E}[|X|]}=\frac{1}{c}.$

Legyen $h(x)=I_{{ℝ}^{+}}(x)x^2$ és alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az $Y=|X-\mathrm{E}[X]|$ valószínűségi változóra. Ekkor $a>0$ esetén a Csebisev-egyenlőtlenséghez jutunk:

$P[|X-\mathrm{E}[X]|\ge a]\le \frac{\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]}{a^2}=\frac{\mathrm{Var}[X]}{a^2}.$

Korlátos valószínűségi változó esetén Markov-szerű becslés adható arra, hogy a valószínűségi változó értéke a várható érték $(1-c)$-szerese alatt marad. Legyenek $a,b>0$ és legyen $X$ valószínűségi változó úgy, hogy $|X|\le a$ és $\mathrm{E}[|X|]\ge \frac{a}{b}$. Ekkor minden $c>0$ esetén:

$P[|X|\le (1-c)\mathrm{E}[|X|]]\le 1-\frac{c}{b}.$

Ez a változat önállóan is bizonyítható, az eredeti Markov-egyenlőtlenséghez hasonlóan.

Ha $h(x)=e^{tx}$, akkor alkalmas $t>0$ paraméterrel nagyon jó becslést lehet nyerni, lásd Csernov-egyenlőtlenség. Sőt, megfelelő feltételek esetén ez a becslés optimális.

Bizonyítás

Legyen $I_A$ az $A$ halmaz indikátorfüggvénye. Ekkor

$h(a)P[X\ge a]=\int I_{\{X\ge a\}}h(a)dP\le \int I_{\{X\ge a\}}h(X)dP\le \mathrm{E}[h(X)].$