Csebisev-egyenlőtlenség

A Csebisev-egyenlőtlenség a valószínűségszámítás egyik egyenlőtlensége. Nevét Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikusról kapta. Lényege, hogy jelentőséget ad a szórásnak, azaz arra ad becslést a szórás felhasználásával, hogy egy valószínűségi változó mekkora eséllyel tér el egy előre adott mértéknél jobban a várható értéktől.

Állítás

Formálisan, legyen $X$ véges szórású valószínűségi változó, várható értéke

$\mu :=\mathrm{E}(X)$

és szórásnégyzete

${\sigma }^2:=\mathrm{Var}(X)$.

Ekkor a $k>0$ valós számokra

$\mathrm{P}[|X-\mu |\ge k]\le \frac{{\sigma }^2}{k^2}$.

A komplementer eseményre

$\mathrm{P}[|X-\mu |<k]\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{k^2}$.

A becslés jósága

A Csebisev-egyenlőtlenség éles abban az értelemben, hogy vannak valószínűségi változók, amelyekre a becslés egyenlőséggel teljesül.

Legyen például $X$ diszkrét valószínűségi változó, és

$\mathrm{P}[X=0]=1-p$

továbbá

$\mathrm{P}[X=-a]=\mathrm{P}[X=a]=p/2$,

ahol $a$ egy pozitív szám, és $p\in (0,1)$. Ekkor $\mu =\mathrm{E}(X)=0$ és ${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X)=a^{2}p$, így a becslés

$P(|X-0|\ge k)\le \frac{a^{2}p}{k^2}$

ami $k=a$ esetén egyenlőséggel teljesül, mivel ekkor $P(|X|\ge k)=P(|X|\ge a)=p$.

Általában a becslés nem sokat mond. Például, ha $k\le \sigma$, akkor a becslés triviális. A tétel mégis gyakran hasznos, mivel ehhez nem kell ismerni az eloszlást, és minden véges szórású valószínűségi változóra alkalmazható, még a normális eloszlástól távol állókra is. A korlátok is egyszerűen meghatározhatók.

Változatok

Standard eltéréssel

Ha a $\sigma$ standard eltérés nem nulla, és $\lambda$ pozitív, akkor a $k=\lambda \sigma$ helyettesítéssel az egyenlőtlenség gyakran idézett alakját kapjuk:

$\mathrm{P}[|X-\mu |\ge \lambda \sigma ]\le \frac{1}{{\lambda }^2}$.

Ez csak $\lambda >1$ esetén ad érdemi becslést, mivel a $0<\lambda \le 1$ esetben triviális, hiszen a valószínűségek sosem nagyobbak 1-nél.

Magasabb momentumokra

Az egyenlőtlenség magasabb momentumokra is általánosítható. Ezt nem ritkán szintén Csebisev-egyenlőtlenségnek nevezik, A valószínűségszámításban ez inkább Markov-egyenlőtlenségként ismert. Néhány szerző a Csebisev-Markov elnevezést használja.

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\nu )$ mértéktér, $f:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}_0^{+}$ mérhető függvény, és $\epsilon ,p\in {ℝ}^{+}$, akkor teljesül, hogy:

$\nu (\{x\mid f(x)\ge \epsilon \})\le \frac{1}{{\epsilon }^p}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}^p\mathrm{d}\nu$.

Ez következik abból, hogy:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}^p\mathrm{d}\nu \ge \underset{\{x\mid f(x)\ge \epsilon \}}{\int }{f}^p\mathrm{d}\nu \ge \underset{\{x\mid f(x)\ge \epsilon \}}{\int }{\epsilon }^p\mathrm{d}\nu ={\epsilon }^p\nu (\{x\mid f(x)\ge \epsilon \})$

Ebből speciális esetben adódik az eredeti egyenlőtlenség, ha $\nu =P$, $f=|X-\mu |$ és $p=2$, akkor :$P(|X-\mu |\ge k)=P(|X-\mu {|}^2\ge k^2)\le \frac{1}{k^2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|X-\mu {|}^2\mathrm{d}P=\frac{{\sigma }^2}{k^2}$.

Példák

1. példa

A példa kedvéért tegyük fel, hogy egy Wikipédián a cikkek hosszának várható értéke 1000 bájt, a szórás 200 bájt! Ekkor a Csebisev-egyenlőtlenség szerint a cikkek legalább 75%-ának hossza 600 és 1400 közé esik ($k=400,\mu =1000,\sigma =200$).

A számítás:

$\mathrm{P}[|X-1000|<400]\ge 1-\frac{200^2}{400^2}=0,75=75\mathrm{\%}$

2. példa

Az egyenlőtlenség egy másik alkalmazása az, hogy ha egy véges szórású valószínűségi változó várható értéke $\mu$ és szórása $\sigma$, akkor az értékek fele az $(\mu -\sqrt{2}\sigma ,\mu +\sqrt{2}\sigma )$ intervallumba esik.

3. példa

Egy véletlen esemény $p$ valószínűséggel következik be. A kísérletet $n$-szer végzik el, az esemény $k$-szor következik be. Ekkor $k$ binomiális eloszlású, várható értéke $np$, szórásnégyzete $np(1-p)$; a bekövetkezés relatív gyakorisága $\frac{k}{n}$, ennek várható értéke $p$ és szórásnégyzete $\frac{p(1-p)}{n}$. A Csebisev-egyenlőtlenség szerint a relatív gyakoriság eltérése a várható értéktől

$\mathrm{P}[|\frac{k}{n}-p|\ge ϵ]\le \frac{p(1-p)}{{ϵ}^{2}n}\le \frac{1}{4{ϵ}^{2}n}$,

ahol a második becslést a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségéből következő $\sqrt{p(1-p)}\le \frac{1}{2}$ adja.

Ez a forma már a nagy számok gyenge törvényének speciális esete, ami a relatív gyakoriságok sztochasztikus konvergenciáját mutatja a várható értékhez.

Ennél a példánál a Csebisev-egyenlőtlenség csak durva közelítést ad, pontosabb becslést a Chernoff-egyenlőtlenség szolgáltat.

Alkalmazások

• Felhasználják a Borel-Cantelli-lemma és a nagy számok gyenge törvényének bizonyításában.
• Az általánosítással megmutatható, hogy a függvénysorozatok $L^p$ értelemben vett konvergenciájából következik a mérték szerinti konvergencia.
• Az $m$ mediánra igaz, hogy $|\mu -m|\le \sigma$.

Bizonyítása

A legtöbb szerző a Markov-egyenlőtlenségből vezeti le. A Markov-egyenlőtlenség

$P[Y\ge k]\le \frac{\mathrm{E}[h(Y)]}{h(k)}.$

ahol $Y=|X-\mu |$ és $h(x)=x^2$.

Önálló bizonyítás található például Wirthsnél. Legyen

$A_k=\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid |X-\mu |\ge k\}$.

és jelölje ${\mathrm{𝟏}}_A$ az $A$ halmaz indikátorfüggvényét. Ekkor minden $\omega$ esetén teljesül az

$|X(\omega )-\mu {|}^2\ge k^2{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(\omega )$

egyenlőtlenség.

Ha $\omega \notin A_k$, akkor a jobb oldal nulla, és az egyenlőtlenség teljesül. Ha $\omega \in A_k$, akkor definíció szerint a bal oldalon az $A_k$ halmaz definíciója szerint tartalmaz legalább egy $k^2$ értéket, így az egyenlőtlenség megint teljesül. A várható érték monotonitása miatt és a vele való számolás szabályai miatt a szórásnégyzet írható, mint

${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}(|X-\mu {|}^2)\ge \mathrm{E}(k^2{\mathrm{𝟏}}_{A_k})=k^{2}P(A_k)=k^{2}P(|X-\mu |\ge k)$.

$k^2$-tel osztva az egyenlőtlenség az állításban megadott alakot ölti.

Története

Csebisev a diszkrét valószínűségi változókra bizonyította a tételt, és ezt 1867-ben jelentette meg Szentpéterváron és Párizsban, ott Joseph Liouville újságjában, aminek címe Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Azonban egy általánosabb bizonyítás már 1853-ban megjelent Irénée-Jules Bienaymé tollából, a Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. című lapban. Ez nem sokkal Csebisev cikkének megjelenése előtt újra közölte a cikket, és Csebisev elismerte Bienaymé elsőbbségét.