Független valószínűségi változók

A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi tér, $(E_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$ és $(E_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ mértékterek, ekkor az

$X_1:(\mathrm{\Omega },𝒜,P)\to (E_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$

és

$X_2:(\mathrm{\Omega },𝒜,P)\to (E_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$

valószínűségi változók függetlenek, ha minden $B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1$ és $B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$ esetén

$P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_1(\omega )\in B_1\text{,}{X}_2(\omega )\in B_2\})=P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_1(\omega )\in B_1\})\cdot P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_2(\omega )\in B_2\})$.

A definíció több változóra is kiterjeszthető.

A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.

Jelölések, alternatív definíció

A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz $\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_2(\omega )\in B_2\}$ helyett inkább az $\{X_2\in B_2\}$ kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:

$P(\{X_1\in B_1,X_2\in B_2\})=P(\{X_1\in B_1\})\cdot P(\{X_2\in B_2\})$

minden $B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1,B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$ halmazra.

Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor

$A_{B_1}^1=\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_1(\omega )\in B_1\}$

$A_{B_2}^2=\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_2(\omega )\in B_2\}$.

Azaz ha $X_1,X_2$ valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden $B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1,B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$ halmazra $A_{B_1}^1$ és $A_{B_2}^2$ független események, tehát

$P(A_{B_1}^1\cap A_{B_2}^2)=P(A_{B_1}^1)P(A_{B_2}^2)$

Példa

Legyen $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ eseménytér, ahol $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}$ mint alaphalmaz, $𝒜=𝒫(\mathrm{\Omega })$ σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá $E_1=E_2=\{0,1\}$ és ${\mathrm{\Sigma }}_1={\mathrm{\Sigma }}_2=𝒫(\{0,1\})$. Állítjuk, hogy az

$X_1(\omega )=\{\begin{array}{cc}1& \text{ ha }\omega \in \{1,2\}\\ 0& \text{ ha }\omega \in \{3,4\}\end{array}$

$X_2(\omega )=\{\begin{array}{cc}1& \text{ ha }\omega \in \{2,3\}\\ 0& \text{ ha }\omega \in \{1,4\}\end{array}$.

valószínűségi változók függetlenek.

Mindkét σ-algebrának négy eleme van: $\mathrm{\varnothing },\{0\},\{1\},\{0,1\}$, emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben $B_1=\{0\}$ vagy $B_1=\{1\}$ kombinálódik a következőkkel.

1. Legyen $B_1=B_2=\{0\}$. Ekkor $A_{B_1}^1=\{3,4\}$ és $A_{B_2}^2=\{1,4\}$ továbbá $A_{B_1}^1\cap A_{B_2}^2=\{4\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{4\})=\frac{1}{4}=P(\{3,4\})P(\{1,4\})$:
2. Legyen $B_1=B_2=\{1\}$. Ekkor $A_{B_1}^1=\{1,2\}$ és $A_{B_2}^2=\{2,3\}$ továbbá $A_{B_1}^1\cap A_{B_2}^2=\{2\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{2\})=\frac{1}{4}=P(\{1,2\})P(\{2,3\})$.
3. Legyen $B_1=\{1\}$ és $B_2=\{0\}$. Ekkor $A_{B_1}^1=\{1,2\}$ és $A_{B_2}^2=\{1,4\}$ továbbá $A_{B_1}^1\cap A_{B_2}^2=\{1\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{1\})=\frac{1}{4}=P(\{1,2\})P(\{1,4\})$.
4. Legyen $B_1=\{0\}$ és $B_2=\{1\}$. Ekkor $A_{B_1}^1=\{3,4\}$ és $A_{B_2}^2=\{2,3\}$ továbbá $A_{B_1}^1\cap A_{B_2}^2=\{3\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{3\})=\frac{1}{4}=P(\{3,4\})P(\{2,3\})$.

Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.

Általános eset

Valószínűségi változók $X_i:(\mathrm{\Omega },𝒜,P)\to (E_i,{\mathrm{\Sigma }}_i)$ egy családja, ahol $i\in I$ tetszőleges indexhalmazzal $I$ független, ha teljesül indexek minden $J$ részhalmazára, hogy

$P(\bigcap _{j\in J}\{X_j\in B_j\})=\prod _{j\in J}P(X_j\in B_j)$

minden $B_j\in {\mathrm{\Sigma }}_j$ esetén.

Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek. Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek ${ℝ}^n$ értékűek) is alkalmazható. Nincsenek további követelmények a komponensekre.

Kritériumok

Generátorrendszerek

A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van ${\mathrm{\Sigma }}_i$ ${ℰ}_i$ metszetstabil generátor, akkor $\sigma ({ℰ}_i)={\mathrm{\Sigma }}_i$, tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:

$P(\bigcap _{j\in J}\{X_j\in B_j\})=\prod _{j\in J}P(X_j\in B_j)$

minden $B_j\in {ℰ}_j$ halmazra és minden $J$ véges részhalmazára $I$-nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok.

Véges családok

Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz $I=\{1,\dots ,n\}$, akkor elegendő, hogy

$P(\bigcap _{i\in I}\{X_i\in B_i\})=\prod _{i\in I}P(X_i\in B_i)$

minden $B_i\in {\mathrm{\Sigma }}_i$ halmatra. Le lehet mondani a $J\subset I$ részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy $\{X_i\in E_i\}=\mathrm{\Omega }$. A $J⫋I$ eset automatikusan következik a fentiből, ha $i\in I\setminus J$-t helyettesítünk, ekkor $B_i=E_i$ így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz.

Diszkrét valószínűségi változók véges családjai

A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen $I=\{1,\dots ,n\}$ és legyenek az $X_i$ valószínűségi változók $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$-beliek, és diszkrétek $(E_i,{\mathrm{\Sigma }}_i)$ szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha

$P(X_1=x_1,\dots ,X_n=x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i=x_i)$

minden $x_i\in E_i$ esetén.

Valós valószínűségi változók diszkrét családjai

Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az $(X_i{)}_{i\in I}$ valószínűségi változók függetlenek, ha

$P(X_1\le x_1,\dots ,X_n\le x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\le x_i)$

minden $x_1,\dots ,x_n\in ℝ$ esetén. Ha az $F_{X_i}(x)=P(X_i\le x)$ függvények az $X_i$ valószínűségi változók eloszlásfüggvényei, akkor $F_I(x_1,\dots ,x_n):=P(X_1\le x_1,\dots ,X_n\le x_n)$ a közös eloszlásfüggvény, akkor az $X_i$ valószínűségi változók függetlenek, ha

$F_I(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(x_i)$

teljesül. Ha az $X_i$ valószínűségi változóknak van közös $f_I$ sűrűségfüggvénye, akkor éppen akkor függetlenek, ha

$f_I(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{f}_{X_i}(x_i)$.

Ahol $f_{X_i}$ az $X_i$ szerinti peremsűrűség.

Létezés

Véletlen valószínűségi változók véges családjai számára adódik a kérdés, hogy van-e egy elég nagy valószínűségi tér, amiben a teljes család független erre a térre. Nem nyilvánvaló, hogy ez lehetséges; alternatívája lenne, hogy ha elég sokan vannak, akkor σ-algebráik mindig összefüggnek.

A kérdés a szorzatmértékek segítségével igenlően megválaszolható. A

$(\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}_i,\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨂}}{𝒜}_i,\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨂}}{P}_i)$

szorzatmodellt tekintve az i-edik komponens $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}=({\pi }_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$, azaz éppen az i indexű vetület. Így a szorzatmodell és a szorzatmérték definíciója miatt a család független, és a ${\pi }_i$ vetületek eloszlása megegyezik $P_i$ eloszlásával a $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ eseménytéren. A szorzatmodell elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza független valószínűségi változók egy családját. A végtelen sok független valószínűségi változó létezését végtelen szorzatmérték létezésére vezettük vissza, ami nem magától értetődő. Ez belátható tetszőleges indexhalmazra például az Andersen-Jessen-tétellel, megszámlálható esetre alkalmazhsató az Ionescu-Tulcea-tétel, Borel-terekre Kolmogorov kiterjesztési tétele.

Korrelálatlanság és függetlenség

Ha $X,Y$ valószínűségi változók, akkor $X,Y$ korrelálatlan, ha kovarinaciájuk nulla.

$X,Y$ függetlenségéből következik korrelálatlanságuk. Ugyanis függetlenség esetén a várható értékekre teljesül, hogy $\mathrm{E}(XY)=\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$; így

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}(XY)-\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)-\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)=0$.

Az első egyenlőség a kovariancia eltolástételéből, a második a függetlenségből és a várható értékekre vonatkozó fenti egyenlőségből következik.

Megfordítva azonban a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Legyen az $X$ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az $[-1,1]$ intervallumon, és $Y=X^2$. Ekkor

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}(X^3)-\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(X^2)=0-0\cdot \mathrm{E}(X^2)=0$,

tehát a valószínűségi változók korrelálatlanok. De nem függetlenek, hiszen például

$P(\{X\in [0,\frac{1}{2}],Y\in [0,\frac{1}{9}]\})=P([0,\frac{1}{2}]\cap [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}])=\frac{1}{6}$

és

$P(\{X\in [0,\frac{1}{2}]\})=P([0,\frac{1}{2}])=\frac{1}{4}\text{ s }P(\{Y\in [0,\frac{1}{9}]\})=P([-\frac{1}{3},\frac{1}{3}])=\frac{1}{3}$.

A függés adódik abból, hogy $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}\ne \frac{1}{6}$.

Analízis függetlenségre

A függetlenségi analízis a korrelációt vizsgálja, ha ez nem nulla, akkor a függetlenségről szóló hipotézis elvehető. Másrészt azonban ez még nem jelent biztos függetlenséget, mert ez csak a lineáris kapcsolatot mutatja ki. Viszont például, ha a közös eloszlás normális, akkor a függetlenség igazolva van. Végezhetők további tesztek is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége

A feltételes várható értékre hagyatkozva definiálható valószínűségi változó és halmazrendszer függetlensége is. Legyen $X$ valószínűségi változó, és $ℰ$ halmazrendszer. Függetlenek, ha $ℰ$ és az $X$ által generált σ-algebra független.

Általánosítások

Hasonlóan definiálható a feltételes várható érték felhasználásával halmazrendszerek és valószínűségi változók feltételes függetlensége.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, Sablon:ISBN ([1]).