Lineáris arboricitás

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy irányítatlan gráf lineáris arboricitása (linear arboricity) azon lineáris erdők minimális száma, melyekbe a gráf élei felbonthatók. Itt a lineáris erdő alatt olyan körmentes gráf értendő, melynek maximális fokszáma kettő, tehát útgráfok diszjunkt uniójaként áll elő. Sablon:Megoldatlan Egy $\mathrm{\Delta }$ maximális fokszámú $G$ gráf lineáris arboricitása legalább $\lceil \mathrm{\Delta }/2\rceil$, hiszen egy maximális fokszámú csúcs élei közül minden lineáris erdő kettőt használhat fel. Sablon:Harvtxt lineáris arboricitási sejtése (vagy Akijama-sejtés) szerint ez az alsó korlát éles, és minden gráf lineáris arboricitása legfeljebb $\lceil (\mathrm{\Delta }+1)/2\rceil$. Ezt azonban egyelőre nem sikerült bizonyítani, az ismert legjobb érvényes felső korlát ennél nagyobb: $\mathrm{\Delta }/2+O({\mathrm{\Delta }}^{2/3}(\log \mathrm{\Delta }{)}^{1/3})$.

Egy reguláris gráfban a lineáris arboricitás nem lehet egyenlő $\mathrm{\Delta }/2$-vel, mivel minden útra igaz, hogy a lineáris erdők valamelyikében nem lenne két szomszédos éle, amit abban az erdőben felhasználtunk. Ezért reguláris gráfokban a lineáris arboricitási sejtés szerint a lineáris arboricitás értéke pontosan $\lceil (\mathrm{\Delta }+1)/2\rceil$.

A lineáris arboricitás az arboricitás egy változata – az arboricitás alatt az erdők minimális számát értjük, amire a gráf élei felbonthatók. Vizsgálták a lineáris arboricitás azon változatát, ahol a lineáris erdő egy-egy útja legfeljebb Sablon:Mvar éllel rendelkezhet, ez a lineáris Sablon:Mvar-arboricitás.

A polinom időben meghatározható arboricitástól eltérően a lineáris arboricitás kiszámítása NP-nehéz. Még a kettő lineáris arboricitású gráfok felismerése is NP-teljes. 3-reguláris gráfok és egyéb 3 maximális fokszámú gráfok lineáris arboricitása mindig kettő, és a két lineáris erdőre való felbontás mélységi keresési algoritmussal lineáris időben elvégezhető.

Fordítás

• Sablon:Fordítás