Riemann-féle kszi-függvény

A $\xi (s)$ Riemann-féle kszi függvény a komplex síkon. Az $s$ pont színe függvény értékét jelöli. A sötétebb színek a nullához közelebbi (kisebb abszolútértékű) értékeket jelentik. A színárnyalat az argumentumszöget jelzi.

A matematikában a Riemann-féle kszi függvény a Riemann-féle zéta-függvény egy változata, és egyszerű függvényegyenlettel definiálható. Bernhard Riemann után nevezték el.

Definíciója

Riemann a ξ betűt használta, ezt Landau változtatta nagybetűsre (Ξ). Landua ξ-függvényének definíciója:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$

ahol $s\in ℂ$. Ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvényt jelöli, és Γ(s) a gammafüggvény. A függvényegyenlet, avagy tükrözési képlet:

$\xi (1-s)=\xi (s).$

A nagybetűs Ξ függvényt Landau úgy definiálta, mint:

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

és ez a fenti függvényegyenletnek is eleget tesz:

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z).$

Landau szerint (loc. cit., p. 894) ez a Riemann által ξ-nek nevezett függvény. Mindkét függvény valós számokhoz valós értékeket rendelnek. A Riemann-sejtés ekvivalens azzal, hogy Ξ minden nullhelye valós. A zavaros jelölés oka Riemann egy nyilvánvaló hibája, aminek azonban nincs semmi következménye a cikken belül.

Értékek

Páros egészekre az általános képlet:

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{n!}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n-1)$

ahol B_n az n-edik Bernoulli-szám. Például:

$\xi (2)=\frac{\zeta (2)}{\pi }=\frac{\pi }{6}$

$\xi (4)=\frac{6}{{\pi }^2}\zeta (4)=\frac{{\pi }^2}{15}.$

További speciális értékek:

$\xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)=\frac{1}{2}$

$\xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(1/4)}{8{\pi }^{\frac{1}{4}}}=0,4971207781...$ (Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, Sablon:OEIS)

$\xi (3)=\frac{3}{2\pi }\zeta (3)$

$\xi (5)=\frac{15}{2{\pi }^2}\zeta (5).$

Sorfejtés

A $\xi$-függvény sorfejtése

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n,$

ahol

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n],$

ahol a ρ indexek a zéta-függvény nem triviális nullhelyei, $|\mathrm{\Im }(\rho )|$ szerint növekvő sorrendben.

Ennek a sorfejtésnek fontos szerep jut a Li-kritériumban, ami azt állítja, hogy a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy λ_n > 0 minden pozitív n esetén.

Hadamard-szorzat

Egy egyszerű végtelen szorzat alakban adott kifejtés

$\mathrm{\Xi }(s)=\mathrm{\Xi }(0)\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho }),$

ahol ρ a ξ gyökeit futja be.

A konvergencia biztosítása érdekében a nullhelyeket párokba kell állítani, ahol a párok tagjai ρ és 1−ρ.

Kapcsolat a Riemann–Siegel-féle Z-függvénnyel

A Riemann–Siegel-féle Z-függvény kifejezhető a Riemann-féle kszi függvénnyel:

$Z(t)=-\frac{2{\pi }^{1/4}}{(t^2+\frac{1}{4})|\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}it)|}\mathrm{\Xi }(t).$

Aszimptotikus viselkedés

Valós s értékekre

$\ln \xi (s)=\mathrm{\Theta }(\frac{1}{2}s\ln s)(s\in ℝ,s\to \mathrm{\infty })$

továbbá

$\xi (s)=\mathrm{\Theta }({\sqrt{s}}^s)$

ahol $\mathrm{\Theta }$ a Landau-szimbólum. Ennek megfelelően t valós értékeire

$\mathrm{\Xi }(t)=\xi (\frac{1}{2}+it)=O(t^{1/4}{e}^{-\pi t/4})(t\in ℝ,t\to \mathrm{\infty })$

Li-együtthatók

A $\xi$ kszi-függvény kapcsolódik a Li-együtthatókhoz:

${\lambda }_n=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n],$

mivel teljesülnek a következők:

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{s}^n}[s^{n-1}\ln \xi (s)]|}_{s=1}(n\geqq 1)$

és

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \xi \left(\frac{z}{z-1}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n.$

A Li-kritérium a ${\lambda }_n>0$ tulajdonság minden pozitív $n$ esetén.. Ez ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

Források

• Sablon:Mathworld
• Sablon:Cite journal
• Sablon:CitLib
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:CitLib