Andrica-sejtés

Sablon:Több kép A számelmélet területén a Dorin Andrica román matematikusról elnevezett Andrica-sejtés a prímszámok közötti hézagokról szóló sejtés.

A sejtés állítása szerint a

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1$

egyenlőtlenség minden $n$-re teljesül, ahol $p_n$ az n-edik prímszám. Ha $g_n=p_{n+1}-p_n$ jelöli az n-edik prímhézagot, akkor az Andrica-sejtés a következőképpen is megfogalmazható:

$g_n<2\sqrt{p_n}+1.$

Empirikus bizonyítékok

Imran Ghory a legnagyobb prímhézagokra vonatkozó adatok felhasználásával igazolta a sejtést egészen 1,3002 · 10¹⁶-ig. A fenti prímhézag-egyenlőtlenség és a táblázatok segítségével a sejtés egészen 4 · 10¹⁸-ig bizonyított.

Az $A_n=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$ diszkrét függvény grafikonja a jobb oldalon látható. Az $A_n$ csúcsértékei n = 1, 2 és 4-nél találhatók; A₄ ≈ 0,670873..., aminél nincs nagyobb érték az első 10⁵ prím között. Mivel az Andrica-függvény értéke n növekedésével aszimptotikusan csökken, nagy n-eknél egyre nagyobb prímhézagra van szükség a különbség növeléséhez. Emiatt erősen valószínűnek tűnik, hogy a sejtés igaz, bár még nem sikerült bizonyítani.

Általánosításai

Az Andrica-sejtés egyszerű általánosítása a következő egyenlőség:

$p_{n+1}^x-p_n^x=1,$

ahol $p_n$ az n-edik prímszám, x pedig bármely pozitív valós szám lehet.

Az x legnagyobb lehetséges értéke nyilvánvalóan $n=1$-nél van, amikor x_max = 1. A sejtések szerint x-re a legkisebb megoldás x_min ≈ 0,567148... Sablon:OEIS, ami n = 30-nál teljesül.

Az általánosított Andrica-sejtést fel lehet írni egyenlőtlenség formájában is:

$p_{n+1}^x-p_n^x<1$, ahol $x<x_{\min }.$

Kapcsolódó szócikkek

• Cramér-sejtés
• Legendre-sejtés
• Firoozbakht-sejtés

Jegyzetek

• Sablon:Cite book

További információk

• Andrica's Conjecture Sablon:Wayback at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
• Sablon:MathWorld