Kommutátor (csoportelmélet)

A matematika csoportelmélet nevű ágában egy $G$ csoport két $a,b\in G$ elemének kommutátora az $[a,b]=a^{-1}{b}^{-1}ab$ csoportelem. Az elnevezést az indokolja, hogy egy szorzatnak a szorzandók kommutátorával való szorzása megfordítja a szorzandók sorrendjét: $ba[a,b]=ba{a}^{-1}{b}^{-1}ab=ab$. Két csoportelem éppen akkor felcserélhető egymással, ha a kommutátoruk a csoport egységeleme. Egy csoport éppen akkor Abel-csoport ha benne az egységelem az egyetlen kommutátor.

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.

Kommutátor-részcsoport

A kommutátorok általában nem alkotnak részcsoportot, mert két kommutátor szorzata nem feltétlenül kommutátor. Beszélhetünk viszont viszont a kommutátorok által generált részcsoportról. Ezt a csoportot $G$ kommutátor-részcsoportjának vagy derivált csoportjának nevezzük, és hagyományosan $G^{\prime }$-vel jelöljük.

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója. Mivel a kommutátorok halmaza zárt a konjugálásra nézve, az általuk generált részcsoport is az, tehát $G^{\prime }$ normálosztó $G$-ben.

A $G/G^{\prime }$ faktorcsoport kommutatív, mi több, $G^{\prime }$ a legszűkebb olyan csoport, amely ezzel a tulajdonsággal bír: Más szóval, ha $G/K$ kommutatív, akkor szükségképpen $G^{\prime }\subseteq K$.

$G^{\prime }$ akkor és csak akkor a triviális csoport, ha $G$ kommutatív, hiszen Abel-csoportban az egyetlen kommutátor az 1, és viszont, ha $G^{\prime }$ triviális, akkor nincs nemtriviális kommutátor $G$-ben, tehát a csoport kommutatív. A fentiekből következik, hogy egyszerű nemkommutatív $G$ csoportokra $G=G^{\prime }$.

Kapcsolódó szócikkek

• Kommutátor (gyűrűelmélet)