Polinommaradék-tétel

A polinommaradék-tétel (vagy más néven kis Bézout-tétel) az algebra egy tétele polinomok euklideszi osztására vonatkozóan. Azt állítja, hogy a az $f(x)$ polinom maradéka az $x-a$-val való osztás után $f(a)$. Szélső esetként kapjuk azt a tételt, hogy $x-a$ osztója $f(x)$-nek akkor és csak akkor, ha $f(a)=0$ (Faktorizációs tétel).

Bizonyítás

A bizonyítás a polinomok euklideszi osztásából következik, vagyis abból, hogy adott $f(x)$-hez (az osztandó) és a $g(x)$-hez (az osztó) létezik egy egyértelműen meghatározott hányados $q(x)$ és maradék $r(x)$ úgy, hogy:

$f(x)=q(x)g(x)+r(x)\text{ és }r(x)=0\text{ vagy }\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(g).$

Legyen $g(x)=x-a$, ekkor r vagy 0 vagy 0-adfokú polinom. Bármely esetben r konstans vagyis x-től független, vagyis:

$f(x)=g(x)(x-a)+r.$

Legyen most $x=a$ a fenti egyenletben, így kapjuk, hogy:

$f(a)=r.$