Poligamma-függvény

Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-edik deriváltja:

${\psi }^{(m)}(z)=\frac{d^m}{d{z}^m}\psi (z)=\frac{d^{m+1}}{d{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z).$

Itt:

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

a digamma-függvény, és $\mathrm{\Gamma }(z)$ a gamma-függvény. A ${\psi }^{(1)}(z)$ függvényt gyakran trigamma-függvénynek is hívják.

A gamma-függvény logaritmusa, és néhány első poligamma-függvény a komplex síkon

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$	${\psi }^{(0)}(z)$	${\psi }^{(1)}(z)$	${\psi }^{(2)}(z)$	${\psi }^{(3)}(z)$	${\psi }^{(4)}(z)$

Képlet integrállal

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$

mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény.

Rekurzív képlet

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+(-1{)}^{m}m!z^{-(m+1)}.$

Multiplikációs elmélet

A multiplikációs elmélet szerint

$k^m{\psi }^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m-1)}(z+\frac{n}{k})$

$m>1$ esetén, és $m=0$, ez a digamma-függvény:

$k(\psi (kz)-\log (k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k}).$

Sorozattal kifejezve

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}}$

mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész. Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája $1/\mathrm{\Gamma }(z)=z{\text{e}}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n}){\text{e}}^{-z/n}$. Ezután, a gamma-függvény így is definiálható:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\text{e}}^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{\text{e}}^{z/n}$

Taylor sor

A Taylor sor z=1 esetén

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

mely konvergál |z| < 1 felé. Itt ζ a Riemann zéta-függvény. Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.

Források

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Gamma-függvény
• Trigamma-függvény
• Digamma-függvény
• Derivált
• Riemann-integrál
• Komplex analízis
• Riemann-féle zéta-függvény