Hohmann-pálya

Hohmann-pálya szemléltetése:
1 - a kisebb sugarú körpálya
2 - a Hohmann-pálya
3 - a nagyobb sugarú körpálya

A Hohmann-pálya (vagy Hohmann transzfer pálya) energia-felhasználás szempontjából két, azonos síkban lévő, kör alakú keringési pálya közötti leghatékonyabb (időtartam szempontjából azonban a leghosszabb) átmeneti pálya az égi mechanikában.

A művelet során mindössze kétszer kell az űrhajó meghajtását igénybe venni: először a kisebb sugarú körpálya elhagyásakor, amikor az űrhajó a körpályáról elliptikus pályára tér át, majd az ellipszis nagyobbik sugaránál, ahol az ellipszis a nagyobb körpályát érinti, és az űrhajó az elliptikus pályáról a nagyobbik kör alakú pályára tér át.

Az ellipszis alakú átmeneti pálya egyik érintője a kisebb, a másik érintője a nagyobb sugarú pályánál van.

Műhold pályamódosítása

Ugyanez a technika alkalmazható egyetlen objektum körüli keringés során is, amikor a keringő objektum alacsonyabb pályáról magasabb pályára tér át (vagy fordítva).

A nagyobb sugarú körpályáról a kisebb sugarú körpályára való átmenet során hasonlóképpen kétszeri fékezésre van szükség.

Elmélet és gyakorlat

A pályamódosító műveleteket elméletileg nulla idő alatt, impulzusszerűen kellene végrehajtani, a gyakorlatban nagy tolóerejű hajtóművekre van szükség. Kisebb tolóerejű hajtóművel csak úgy kapunk Hohmann-pályát, ha a hajtóművet pontosan kiszámított időpontokban, többször használjuk. Ilyenkor a kezdeti körpálya fokozatosan „öblösödik” és végül olyan ellipszissé alakul, ami megfelel a normál Hohmann-pálya ellipszisének. Ebben az esetben azonban az átmenethez szükséges idő a többszörösére növekszik.

Számítások

Egy nagyobb test körül keringő kisebb test teljes energiája (amilyen például egy műhold a Föld körül) a mozgási energia és a potenciális energia összege. Ez az energia egyenlő az ellipszis fél nagytengelyénél lévő potenciális energia felével.

Ha $a$ a fél nagytengely,

$E=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}m{v}^2-\frac{GMm}{r}=\frac{-GMm}{2a}$

Megoldva az egyenletet a $v$ sebességre, a következőt kapjuk:

$v^2=\mu (\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$

ahol:

• $v$ a keringő test sebessége
• $\mu =GM$ annak a testnek a standard gravitációs állandója, ami körül a másik test kering
• $r$ a keringő test távolsága az elsődleges fókusztól
• $a$ a keringő test fél nagytengelye

Ezek alapján a Hohmann-pálya eléréséhez szükséges sebességváltozás (delta-v) számítása (az azonnali változás esetére):

$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1)$,

$\mathrm{\Delta }{v}^{\prime }=\sqrt{\frac{\mu }{r_2}}(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}})$,

ahol $r_1$ és $r_2$ az indulási és az érkezési körpályák sugarai

Kepler harmadik törvénye szerint a két pálya közötti átmenet ideje:

$t_H=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\sqrt{\frac{4{\pi }^2{a}_H^3}{\mu }}=\pi \sqrt{\frac{(r_1+r_2{)}^3}{8\mu }}$

(a keringési periódus fele az ellipszisen), ahol $a_H$ a fél nagytengelye a Hohmann-pályának.

Példák

Alacsony Föld körüli pályáról geoszinkron pályára való átállás Hohmann-pályán haladva 5 órát vesz igénybe. Alacsony Föld körüli pályáról Hold körüli pályára körülbelül 5 napot, míg a Földtől a Mars pályájáig körülbelül 259 napot. A megcélzott égitesttel való találkozás, illetve a külső pálya megfelelő pontjának elérése érdekében figyelemmel kell lenni az indítási ablakra is.

Nevének eredete

A Hohmann-pálya a nevét Walter Hohmann német mérnök iránti tiszteletből kapta, aki 1925-ben megjelent munkájában javasolta.

Irodalom

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

Külső hivatkozások

• Orbital Mechanics