Feltételes valószínűség

Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény már bekövetkezett vagy bekövetkezik. Jelölése P(A | B), szóban: A feltéve B.

Két esemény

Ha A és B események, és B valószínűsége pozitív, akkor

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

ahol $P(A\cap B)$ annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik. Így is írják: $P(A,B)$ illetve $P(AB)$.

A feltételes valószínűség kiszámítására szolgáló képletet átalakítva:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A).$

Ha A és B független, akkor

$P(A\cap B)=P(A)P(B)\Rightarrow P(A|B)=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A).$

Ha csak P(B), P(A|B) és P(B|A) ismert, akkor A valószínűsége:

$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B}),$

ahol $\bar{B}$ a B esemény komplementerét jelöli.

A Bayes-tétellel kiszámítható az egyik feltételes valószínűség a másik feltételes valószínűség és a nem feltételes valószínűségek segítségével:

$P(A\mid B)=P(B\mid A)\frac{P(A)}{P(B)}.$

Véges sok esemény

Nemcsak két eseményt tekinthetünk, hanem többet is. Jelölje őket rendre $A_1,A_2,\dots ,A_n$!

A két eseményre vonatkozó képletet általánosítva:

$\begin{array}{cc}P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)& =P(A_1)\cdot \frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}\cdot \frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}\cdot \dots \cdot \frac{P(A_1\cap \dots \cap A_n)}{P(A_1\cap \dots \cap A_{n-1})}\\ & =P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1\cap A_2)\cdot \dots \cdot P(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\end{array}$

A számítás döntési fával modellezhető.

Teljes valószínűség tétele

Az $A$ esemény valószínűsége kiszámítható, ha ismert az $(A\mid B)$ és $(A\mid B^c)$ feltételes valószínűség, ahol $B^c$ a $B$ esemény be nem következése. Ekkor

$P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid B^c)\cdot P\left(B^c\right),$

Általában, legyen $B_1,B_2,\dots$ teljes eseményrendszer, és $P(B_j)>0$ minden $j$-re. A teljes eseményrendszer a teljes $\mathrm{\Omega }$ eseménytér partíciója. Ekkor

$P(A)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}P(A\mid B_j)\cdot P\left(B_j\right)$

Folytonos valószínűségi változók

Az $f_{X,Y}$ közös sűrűségfüggvényű X és Y folytonos valószínűségi változók feltételes valószínűsége

$f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)dx$.

Ha $f_Y(y)>0$, akkor értelmezhető X $f_{X|Y}$ feltételes sűrűségfüggvénye egy adott $y=y_0$-ra:

$f_{X|Y}(x,y_0)=\frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$.

X sűrűségfüggvénye is meghatározható:

$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)dy=\int f_Y(y_0)f_{X|Y}(x,y_0)d{y}_0$.

A teljes valószínűség tételével az $f_X$ marginális sűrűségfüggvény Y-tól függetlenül is meghatározható, ha y szerint integráljuk az $f_{X,Y}$ függvényt.

Ügyelni kell arra, hogy a sűrűségfüggvény nem egyértelmű. $f_{X,Y}$, $f_X$, és $f_Y$ sűrűségfüggvényének megfelel minden olyan mérhető függvény, ami $P(X\in A,Y\in B)$, $P(X\in A)$ és $P(Y\in B)$-re a megfelelő valószínűségeket adja. Az $f_{X|Y}$ függvénynek az

$P(X\in A,Y\in B)=\underset{B}{\int }{f}_Y(y)\underset{A}{\int }{f}_{X|Y}(x,y)dxdy$

összefüggésnek kell eleget tennie.

Függetlenség

Két esemény együttes bekövetkeztét az események szorzatának, szorzateseménynek nevezzük. Két esemény, A és B akkor és csak akkor független, ha szorzateseményük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Ekkor, ha A és B is pozitív valószínűségű, akkor az egyik feltéve a másik feltételes valószínűségek megegyeznek a feltétel nélküliekkel:

$P(A|B)=P(A)$

és

$P(B|A)=P(B).$

Kizáró események

Két esemény kizárja egymást, ha nem következhetnek be egyszerre, $A\cap B=\varnothing$ Például ilyen egy esemény és komplementere, vagy hogy a kockával hatost, vagy egyest dobunk-e. Két esemény akkor és csak akkor lehet kizáró is és független is, ha egyik az üres, másik ennek komplementere, a teljes esemény.

Mivel üres esemény valószínűsége nulla, ezért $P(A\cap B)=0$. Így, ha B valószínűsége pozitív, akkor $P(A\mid B)=0$.

Források

• Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
• Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya