Hányadostest

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritástartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a $(6,42)$ ekvivalens az $(5,35)$-tel, mert a $\frac{6}{42}$ és a $\frac{5}{35}$ egyaránt $\frac{1}{7}$-re egyszerűsödik.
3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre. Például az $(1,2)$-t tartalmazó ekvivalenciaosztály és a $(3,4)$-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az $(5,4)$-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a $(3,8)$-at tartalmazó ekvivalenciaosztály. Hasonló példa, amelyben az egyszerűsítés lehetősége is fellép: $(1,6)+(1,3)=(3,6)=(1,2)$, és $(1,6)(1,3)=(1,18)$.
4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója

Legyen $𝕀$ egy integritási tartomány és jelölje ${𝕋}^{*}$ az $𝕀$ elemeiből alkotott $(a,b)$ rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy $b\ne 0$. ${𝕋}^{*}$ elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy $(a,b)\sim (c,d)$ akkor és csak akkor, ha $ad=bc$ (az $𝕀$-ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát $𝕋$-vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt $\frac{a}{b}$-vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy $𝕋$ elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

1. Tetszőleges $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in 𝕋$-re $\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. Az így definiált szorzás egységeleme az $\frac{a}{a}$ ekvivalenciaosztály (tetszőleges $a\ne 0$ elemre).
2. Tetszőleges $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in 𝕋$-re $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$. Az így definiált összeadás nulleleme a $\frac{0}{a}$ ekvivalenciaosztály (tetszőleges $a\ne 0$ elemre).
3. Tetszőleges $\frac{a}{b}\in 𝕋$ additív inverze $\frac{-a}{b}$.
4. Ha $a\ne 0$, $\frac{a}{b}\in 𝕋$ multiplikatív inverze $\frac{b}{a}$.

Az így konstruált $𝕋$ testet $𝕀$ hányadostestének nevezzük.

Vegyük észre, hogy $𝕀$-ben nem feltétlenül van egységelem, de ez nem befolyásolja a konstrukciót. Konkrét példaként ha $𝕀=2\mathbb{Z}$, a páros számok integritástartománya, akkor a keletkező $𝕋$ hányadostest a racionális számok teste, amelyben $\frac{2}{2}$ az egységelem.

Tulajdonságai

$𝕋$ tartalmazza $𝕀$ izomorf képét ($a\leftrightarrow \frac{a}{1}$ természetes megfeleltetést ad $a\in 𝕀$ és $\frac{a}{1}\in 𝕋$) között. $𝕋$ a legszűkebb olyan test, amelybe $𝕀$ beágyazható.

$𝕀$ (az izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghatározza $𝕋$-t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. (Például a racionális számok teste hányadosteste az egész számoknak is és a páros számoknak is.) Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

$𝕀$ és $𝕋$ karakterisztikája megegyezik. Ha $𝕀$ végtelen, akkor $𝕀$ és $𝕋$ számossága is megegyezik, hiszen $𝕋$ számosságának alsó korlátja $𝕀$ számossága, és felső korlátja az $𝕀$ elemeiből képzett rendezett párok halmazának számossága, amely végtelen halmazok esetén megegyezik $𝕀$ számosságával.

Példák

• Amint feljebb láttuk, ha $𝕀=\mathbb{Z}$, akkor $𝕋=\mathbb{Q}$.
• Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Általánosítások

A hányadostest-konstrukció speciális esete a lokalizációnak: ebben a konstrukcióban a nevezőkben az elemeknek csak egy multiplikatívan zárt részhalmazát engedjük meg. A lokalizáció integritási tartományok helyett bármely kommutatív gyűrűre értelmezhető. Ha az imént említett részhalmaz a gyűrű összes nemzéróosztójából áll, akkor teljes hányadosgyűrűről beszélünk. Speciálisan egy integritási tartomány teljes hányadosgyűrűje a hányadostest.Sablon:Refhely

Források

• Sablon:Pelikán
• Sablon:Hely Sablon:CitWeb

További információk

• Sablon:CitWeb