Theorema egregium

A theorema egregium (magyarul: „nevezetes tétel”) a differenciálgeometria fontos tétele, amely kimondja, hogy egy felület Gauss-görbülete csak a felület első alapmennyiségeitől függ. Más szavakkal: a felület Gauss-görbületét meghatározza a felület metrikája (azaz, hogy a felületen hogyan mérünk szöget illetve távolságot), és ez független a felület térbeli alakjától (amit a második alapmennyiségek írnak le). Ez messze nem nyilvánvaló, hiszen a felület főnormálgörbületei függenek a második alapmennyiségektől. Mivel az első alapmennyiségek izometriával szemben invariánsak, ezért a tétel értelmében a Gauss-görbület is.

Bizonyítás

A theorema egregiumot először Carl Friedrich Gauss bizonyította. Az alább közölt bizonyítás Szőkefalvi-Nagy Gyula könyvében található. Legyen a felület paraméterezése $𝐫(u,v)$. Ekkor a szokásos jelölésekkel a felület Gauss-görbülete:

$𝒦=\frac{ln-m^2}{EG-F^2}$

.

Ezek szerint elég lenne belátnunk, hogy az $ln-m^2$ mennyiség kifejezhető az $E,F,G$ függvényekkel és azok parciális deriváltjaival.

A Gauss-féle egyenletek szerint:

${𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uu}={\mathrm{\Gamma }}_{11}^1𝐫{\text{'}}_u+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2𝐫{\text{'}}_v+l𝐍$$$ ${𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uv}={𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{vu}={\mathrm{\Gamma }}_{12}^1𝐫{\text{'}}_u+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2𝐫{\text{'}}_v+m𝐍$$$ ${𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{vv}={\mathrm{\Gamma }}_{22}^1𝐫{\text{'}}_u+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2𝐫{\text{'}}_v+n𝐍,$

ahol a

${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$

együtthatók a Christoffel-szimbólumok,

$𝐍$

pedig a felület normálvektora.

Ebből

${𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uu}{𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{vv}-({𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uv}{)}^2=ln-m^2+{ℛ}_1,$

ahol ${ℛ}_1$ csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, hiszen a Christoffel-szimbólumok is csak ezektől függenek. Most fejezzük ki az ${𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uu}{𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{vv}-({𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uv}{)}^2$ mennyiséget $E,F,G$ parciális deriváltjaival. Az első alapmennyiségeket definiáló egyenleteket deriválva kapjuk:

$E^{\prime }{\text{'}}_{vv}=2{𝐫}^{″}{\text{'}}_{uvv}𝐫{\text{'}}_u+2({𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uv}{)}^2$$$ $F^{\prime }{\text{'}}_{uv}={𝐫}^{″}{\text{'}}_{uuv}𝐫{\text{'}}_v+{𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uu}{𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{vv}+𝐫{\text{'}}_u{𝐫}^{″}{\text{'}}_{uvv}+({𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uv}{)}^2$$$ $G^{\prime }{\text{'}}_{uu}=2{𝐫}^{″}{\text{'}}_{uuv}𝐫{\text{'}}_v+2({𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uv}{)}^2$

Ebből

${𝐫}^{\prime }{\text{'}}_{uu}{𝐫}_{vv}-({𝐫}_{uv}{)}^2=F^{\prime }{\text{'}}_{uv}-\frac{1}{2}(E^{\prime }{\text{'}}_{vv}-G^{\prime }{\text{'}}_{uu})=:{ℛ}_2$

Ezt összevetve az előbbi eredményünkkel, kapjuk, hogy

$ln-m^2={ℛ}_2-{ℛ}_1$

Mivel ${ℛ}_1$ és ${ℛ}_2$ csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, ezért $ln-m^2$ is. Ezt akartuk belátni.

Egyszerű alkalmazások

Egy R sugarú gömbfelület és egy sík Gauss-görbülete is állandó, $R^{-2}$ illetve $0$. Így a tétel szerint a két felület nem képezhető izometrikusan (torzításmentesen) egymásra. Ennek nyilvánvaló a térképészeti jelentősége: nem lehet torzításmentes térképet készíteni.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, Sablon:ISBN