Viviani-féle test

Sablon:Lektor A Viviani-test a nevét Vincenzo Viviani olasz matematikusról kapta, aki megrajzolta. A test egy gömbből és két hengerből áll.

A Viviani-test térfogata

Tekintsük az $x^2+y^2+z^2=1$ egyenletű egységgömböt, és távolítsuk el belőle az $x^2-x+y^2=0$ és az $x^2+x+y^2=0$ egyenletű egyenes hengerekbe eső részt.

A T tartomány feletti rész a nyolcadrésze a testnek, mert a test szimmetrikus (4-4 ilyen egybevágó darab van az xy sík alatt és felett is). Területi integrállal (kettős integrál) számolunk. Ez azt jelenti, hogy a gömb egyenletét átrendezve kapjuk, hogy $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$. Innen a kettős integrált felírva a Viviani-test térfogata: $V=8\int \underset{T}{\int }\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm{d}xdy$. Polártranszformáció segítségével számolunk. A két kör poláregyenlete r(α)=1 és r(α)=cosα. Ebből a térfogat:

$V=8\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}$$\left(\underset{\cos \alpha }{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-r^2}r\mathrm{d}r\right)\mathrm{d}\alpha$ $=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}$$[$ $\frac{2}{3}\cdot \frac{-1}{2}$${(1-r^2)}^{\frac{3}{2}}$ ${]}_{\cos \alpha }^1$ $=\frac{8}{3}$ $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}$ ${(\sin \alpha )}^3\mathrm{d}\alpha$ $=\frac{8}{3}$ $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}$$\sin \alpha$$(1-{\cos }^2\alpha )\mathrm{d}\alpha$ $=\frac{8}{3}$ $\underset{1}{\overset{0}{\int }}$$(1-u^2)(-\mathrm{d}u)$ $=\frac{8}{3}$ $[u-\frac{u^3}{3}{]}_0^1$$=\frac{16}{9}$

(ahol u=cosα - felhasználtuk az integrálási szabályokat)

Érdekesség

A gömb és a hengerek által határolt test térfogatára eredményül racionális számot kaptunk, azaz nincs benne π. A térfogat meghatározásában egység sugarú gömböt vettünk. Ha nem egység sugarú a gömb, akkor is racionális az eredmény, méghozzá a 16/9-nek a gömb sugárhossz-szorosa.

Források

• http://mathworld.wolfram.com/VivianisCurve.html
• http://www.pandd.demon.nl/rhino/viviani.htm