Méretkorlátozási axióma

Sablon:Nincs forrás A méretkorlátozási axióma vagy Neumann-axióma az osztályrealista halmazelméletek jellegzetes axiómája. Legáltalánosabb formájában:

Egy osztály akkor és csak akkor valódi osztály, ha ekvivalens bármely valódi osztállyal.

$\mathrm{\forall }X\mathrm{\forall }Y((\mathrm{p}\mathrm{r}(X)\wedge \mathrm{p}\mathrm{r}(Y))\leftrightarrow (\mathrm{p}\mathrm{r}(X)\wedge X\sim Y))$

($\mathrm{p}\mathrm{r}(X)$ azt rövidíti, hogy X valódi osztály; $X\sim Y$ pedig azt, hogy X ekvivalens Y-nal, vagyis létezik közöttük bijekció.)

Következmények

A méretkorlátozási axióma nagyon erős állítás. A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet többi axiómájának jelenlétében következik belőle többek között:

• a behelyettesítési axióma (más néven a pótlás axiómája);
• a globális kiválasztási axióma;
• az unió-axióma.

Másfelől a többi NBG-axióma jelenlétében a behelyettesítési axióma és a globális kiválasztási axióma maga után vonja a méretkorlátozási axiómát.

Változatok

Az axiómát gyakran az alábbi egyszerűbb alakban idézik:

Egy osztály akkor és csak akkor valódi osztály, ha ekvivalens az univerzális osztállyal.

$\mathrm{\forall }X(\mathrm{p}\mathrm{r}(X)\leftrightarrow X\sim \mathrm{V}))$

(ahol $\mathrm{V}$ az univerzális osztály).

Ez a változat csak akkor ekvivalens az előző szakaszban megadottal, ha más axiómákból bizonyítható, hogy az univerzális osztály valódi osztály (lásd: Cantor-paradoxon).