Chevalley-tétel

A Chevalley-tétel egy számelméleti tétel, amit 1936-ban Claude Chevalley bizonyított be, így az ő nevét viseli.

Különféle változatai

Legyen p prímszám, n pozitív egész, továbbá legyenek $f_1,f_2,\dots ,f_k$ olyan n-változós polinomok, melyek fokszámaiknak összege n-nél kisebb. Tekintsük a következő kongruenciarendszert: $f_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)\equiv 0(\mathrm{mod}p)i=1,2,\dots ,k$.

• a Chevalley-tétel szerint ha $x_1\equiv x_2\equiv \dots \equiv x_n\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ kielégíti a kongruenciarendszert (ún. triviális megoldás), akkor a kongruenciarendszernek van ettől eltérő (ún. nemtriviális) megoldása is.
• a Chevalley-Warning-tétel szerint a kongruenciarendszert teljesítő $(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n$ szám-n-esek száma osztható p-vel.

Világos, hogy a Chevalley-tétel a Chevalley-Warning-tétel azonnali következménye, de egyszerűbb hivatkozás céljából mégis megkülönböztetjük a kettőt.

Bizonyítása

A bizonyításhoz felhasználjuk, hogy $\sum _{x=0}^{p-1}{x}^{\ell }\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ teljesül minden $0\le \ell \le p-2$ esetén. (Ez könnyen belátható indukcióval, a $\sum _{m=0}^{p-1}\frac{m(m-1)\dots (m-\ell +1)}{\ell !}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{\ell +1})$ azonosság felhasználásával, lásd itt.)

Megmutatjuk, hogy ebből az állításból következik, hogy ha $g(x_1,\dots ,x_n)$ egy olyan n-változós polinom, melynek foka kisebb, mint $n(p-1)$, akkor

$\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n}g(x_1,\dots ,x_n)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

Ennek a bizonyításához írjuk fel $g$ polinomot $a_{{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n}{x}^{{\ell }_1}{x}^{{\ell }_2}\dots x^{{\ell }_n}$ alakú monomok összegeként, ahol a $g$ fokszámára tett megszorítás szerint ${\ell }_1+\dots +{\ell }_n<n(p-1)$. Először rögzítsünk néhány ilyen ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_n$ kitevőt: mivel nem lehet mindegyik kitevő $\ge p-1$, így van olyan $1\le i\le n$, hogy ${\ell }_i<p-1$. Most pedig a szummát átcsoportosítva, a segédállításunk szerint adódik, hogy

$\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n}{a}_{{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n}{x}^{{\ell }_1}{x}^{{\ell }_2}\dots x^{{\ell }_n}=$

$=\sum _{(x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^{n-1}}{a}_{{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n}{x}_1^{{\ell }_1}\dots x_{i-1}^{{\ell }_{i-1}}{x}_{i+1}^{{\ell }_{i+1}}\dots x_n^{{\ell }_n}\left(\sum _{x_i=0}^{p-1}{x}_i^{{\ell }_i}\right)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

Ebből pedig azonnal kapjuk, hogy

$\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n}g(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n}\sum _{{\ell }_1+\dots +{\ell }_n<n(p-1)}{a}_{{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n}{x}^{{\ell }_1}{x}^{{\ell }_2}\dots x^{{\ell }_n}=$

$=\sum _{{\ell }_1+\dots +{\ell }_n<n(p-1)}(\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n}{a}_{{\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n}{x}^{{\ell }_1}{x}^{{\ell }_2}\dots x^{{\ell }_n})\equiv 0(\mathrm{mod}p).$

Miután beláttuk állításunkat, alkalmazzuk ezt a

$g(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^k(1-f_i(x_1,\dots ,x_n{)}^{p-1})$

polinomra: ezt megtehetjük, hisz mivel az $f_i$ polinomok fokszámösszege kisebb n-nél, azért a $g$ polinom fokszáma $n(p-1)$-nél kisebb lesz. Tehát fennáll, hogy

$\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in \{0,1,\dots ,p-1{\}}^n}\prod _{i=1}^k(1-f_i(x_1,\dots ,x_n{)}^{p-1}))\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

Viszont előbbi összeg (modulo p értve) éppen a kongruenciarendszer megoldásainak számát adja meg! Ugyanis a Kis-Fermat-tétel szerint $1-f_i(x_1,\dots ,x_n{)}^{p-1}$ értéke 1 vagy 0 lehet modulo p, aszerint, hogy $f_i(x_1,\dots ,x_n)$ osztható-e p-vel vagy sem, így a $\prod _{i=1}^k(1-f_i(x_1,\dots ,x_n{)}^{p-1}))$ szorzat pontosan akkor 1, ha minden i-re $f_i(x_1,\dots ,x_n)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$, és egyébként zérus.

Ezzel bebizonyítottuk a Chevalley-Warning-tételt, amiből következik a Chevalley-tétel is.

Két fontos alkalmazás

• Ha p prím, $a,b,c\in \mathbb{Z}$, akkor az $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ kongruenciának van nemtriviális megoldása.
• Erdős–Ginzburg–Ziv-tétel: 2m-1 db egész szám között biztosan van m darab, melyek összege osztható m-mel (m>0 egész).