Simson-egyenes

Tétel: A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldalegyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek, ez az egyenes a Simson-egyenes.

Bizonyítás:

$ACPB$ húrnégyszög $⟶\beta +ϵ+\alpha =180^{\circ }$.

$ASPM$ húrnégyszög ($S$-nél és $M$-nél lévő szögei derékszögek) $⟶\beta +ϵ+\theta =180^{\circ }⟶\theta =\alpha$.

$PIMC$ húrnégyszög, mert $MPC\measuredangle =\alpha =MIC\measuredangle$ ($PMC△$ derékszögű) $⟶\beta +90^{\circ }+\alpha =180^{\circ }$.

$BSPI$ húrnégyszög ($S$, $I$-nél fekvő szögek derékszögűek) $⟶BPS\measuredangle =\theta =BIS\measuredangle$; $BSP△$ derékszögű: $SPK△\sim BIK△$ (két oldal és közbezárt szög – váltószögek) $\to$ a többi szög is azonos.

$⟶\theta =\alpha$ (váltószögek), így egy egyenesbe esnek az $S$, $I$, $M$ pontok.

Külső hivatkozások

• Bizonyítás angolul, lépésről lépésre