Gábriel harsonája

Gábriel harsonája egy végtelen felszínű, de véges térfogatú test, amelyet Evangelista Torricelli olasz matematikus fedezett fel.

A Harsona

Térbeli modell

Matematikai jellemzők

A test az $y=\frac{1}{x}$ görbe $x\ge 1$ részének háromdimenziós, x tengely körüli elforgatásával keletkezik. A kürt felszínének és térfogatának 1 és $a\ge 1$ közé eső része integrálszámítás segítségével (lásd improprius integrál) kiszámítható:

Felszín

A felszín 1 és $a$ között:

$A_a=2\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x>2\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\sqrt{1}}{x}\mathrm{d}x=2\pi \ln a$

$a$ tetszőlegesen nagy lehet, így:

$A=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_a=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }2\pi \ln a=\mathrm{\infty }$

Térfogat

Résztérfogat:

$V_a=\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\pi (1-\frac{1}{a})$

$a\to \mathrm{\infty }$:

$V=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_a=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (1-\frac{1}{a})=\pi$

azaz végtelenbe tartva a térfogat $\pi$-hez konvergál, viszont a felszínre nincs felső korlát.

Felfedezésekor paradoxonnak tartották, hogy egy végtelen területet az x tengely körül forgatva véges térfogat kapható.

Festési paradoxon

Intuíciónk számára úgy fordítható ez le egyszerűen a paradoxon, hogy a harsona megtölthető véges mennyiségű festékkel, ugyanakkor a lefestéséhez végtelen mennyiségre lenne szükség, ami azért meglepő, hiszen a megtöltés során gyakorlatilag lefestettük. A paradoxon feloldása az, hogy a két esetben a festék más minőségű: a feltöltéshez 3 dimenziós festéket használtunk, viszont a felszín lefestését 2 dimenziós festékkel végeznénk el.

Magyarázat

Amikor a görbét x tengely körül elforgatva térfogatot és felszínt számolunk, az olyan mintha a keresztmetszeti körök területét és kerületét összegeznénk, a területekből a térfogat, a kerületekből a felszín adódik.

$T=\pi \frac{1}{x^2}\ll 2\pi \frac{1}{x}=K$

Azaz ahogy x tart a végtelenbe, a $\pi \frac{1}{x^2}$ kifejezés nagyságrendekkel gyorsabban csökken, mint a $2\pi \frac{1}{x}$

Irodalom

• Gabriel's Other Possessions, Melvin Royer, Sablon:DOI
• Gabriel's Wedding Cake, Julian F. Fleron, https://web.archive.org/web/20160108170652/http://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf
• A Paradoxical Paint Pail, Mark Lynch, http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail
• Supersolids: Solids Having Finite Volume and Infinite Surfaces, William P. Love, Sablon:JSTOR

További információk

• Információk és diagramok Gábriel harsonájáról

Források

• Information and diagrams about Gabriel's Horn
• Torricelli's Trumpet at PlanetMath Sablon:Wayback
• Sablon:MathWorld
• "Gabriel's Horn" by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area by Jean S. Joseph.