Bretschneider-formula

Sablon:Nincs forrás A Bretschneider-formula egy geometriai összefüggés, mely a négyszögek területe és oldalaik hossza, és két szemközti szögük közötti összefüggést adja meg.

Bretschneider-formula

Tétel

$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$ ahol a, b, c, és d a négyszög oldalai, s a félkerület, $\theta$ pedig két szemközti szög összegének fele.

Bizonyítás

Az ABCD négyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
$T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}=\frac{1}{2}cd\sin \alpha +\frac{1}{2}ab\sin \gamma$
$4T_{ABCD}^2=(cd{)}^2{\sin }^2\alpha +a{b}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma$
A koszinusz tételt alkalmazva:
$c^2+d^2-2cd\cos \alpha =a^2+b^2-2ab\cos \gamma$
$\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(cd{)}^2{\cos }^2\alpha -2abcd\cos \alpha \cos \gamma +(ab{)}^2{\cos }^2\gamma$
Adjuk össze az előbbi és a területegyenletet:
$4T_{ABCD}^2+\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(cd{)}^2+(ab{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )$
Az egyenlet átalakítható:
$16T_{ABCD}^2=(c+d+a-b)(b+c+d-a)(a+b+c-d)(a+b+d-c)-16abcd{\cos }^2(\frac{\alpha +\gamma }{2})$
Bevezetve a félkerületet és a $\theta$ szöget:
$s=\frac{a+b+c+d}{2}$
$\theta =\frac{\alpha +\gamma }{2}$
$T^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta$
$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$ ■

Speciális esetek

Húrnégyszögek (Brahmagupta-tétel)

A Bretschneider-formula egyik leggyakoribb felhasználása a húrnégyszögek területének kifejezése oldalaik hosszának, és a húrnégyszög félkerületének segítségével.

Tétel

$T_{ABCD}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ahol a, b, c, és d a húrnégyszög oldalai, s pedig a félkerület.

Bizonyítás

Az ABCD húrnégyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel: $T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}=\frac{1}{2}cd\sin \alpha +\frac{1}{2}ab\sin \gamma$
Mivel ABCD húrnégyszög, és $\alpha$ és $\gamma$ szemközti szögek: $\gamma =180^{\circ }-\alpha$, tehát $\sin \alpha =\sin \gamma$
$T_{ABCD}^2=\frac{1}{4}(cd+ab{)}^2{\sin }^2\alpha$
$4T_{ABCD}^2=(cd+ab{)}^2(1-{\cos }^2\alpha )$
$4T_{ABCD}^2=(cd+ab{)}^2-(cd+ab{)}^2{\cos }^2\alpha$
Alkalmazva a koszinusz tételt az ABD és a BCD háromszög DB oldalára:
$c^2+d^2-2cd\cos \alpha =a^2+b^2-2ab\cos \gamma$
$c^2+d^2-2cd\cos \alpha =a^2+b^2+2ab\cos \alpha$
$c^2+d^2-a^2-b^2=2(ab+cd)\cos \alpha$
Ezt behelyettesítve a terület egyenletbe:
$4T_{ABCD}^2=(cd+ab{)}^2-\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2$
$16T_{ABCD}^2=4(cd+ab{)}^2-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2$
$16T_{ABCD}^2=\left(2(cd+ab)+c^2+d^2-a^2-b^2\right)\left(2(cd+ab)-c^2-d^2+a^2+b^2\right)$
$16T_{ABCD}^2=\left((c+d{)}^2-(a-b{)}^2\right)((a+b{)}^2-(c-d{)}^2)=(c+d+b-a)(c+d-b+a)(b+a+c-d)(b+a-c+d)$
Bevezetve a félkerületet:
$s=\frac{a+b+c+d}{2}$
$16T_{ABCD}^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$
$T_{ABCD}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ■

Háromszögek (Hérón-képlet)

Tétel

$T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)s}$ ahol a, b, és c a háromszög oldalai, s pedig a félkerület.

Bizonyítás

Az állítás következik a húrnégyszögekre bebizonyított alakból, ha a háromszöget olyan elfajult húrnégyszögnek tekintjük, melynek két csúcsa egybeesik.