Bernoulli-számok

Sablon:Nincs forrás A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló sajátos értékek. A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot $((B_n{)}_{n\ge 0})$ a következő rekurzió határozza meg:

$B_0=1,$ továbbá

$B_0+2B_1=0,$

$B_0+3B_1+3B_2=0,$

$B_0+4B_1+6B_2+4B_3=0,$

$B_0+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0,$ és így tovább.

Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot: $B_n=-\frac{1}{n+1}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})\cdot B_k)$.

Így adódik a $B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30},B_5=0,B_6=\frac{1}{42},\dots$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{t}^n$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy $B_3=B_5=B_7=\cdots =B_{2k+1}=\cdots =0$.

A páros indexű Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

$B_{2n}=2(-1{)}^{n+1}\frac{\zeta (2n)(2n)!}{(2\pi {)}^{2n}}.$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például:

$\sum _{k=0}^{m-1}{k}^n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})B_k{m}^{n+1-k};$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!};$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}.$

A Bernoulli-számok számlálói és nevezői

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha $m\ge 1$, akkor $(B_{2m}+\sum \frac{1}{p})\in \mathbb{Z}$, ahol azon p prímszámokat összegezzük, amelyekre $(p-1)\mid 2m$.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor $B_{2m}$ nevezője osztható 6-tal.

Aszimptotikus becslés

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula: $\left|B_{2n}\right|\sim 4\sqrt{\pi n}{\left(\frac{n}{\pi e}\right)}^{2n}$.Sablon:Portál