Vandermonde-determináns

A Vandermonde-determináns egy speciális, a lineáris algebrában és a matematika más ágaiban is gyakran használt nevezetes determináns.

Alakja:

$V(x_1,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \dots & x_2^{n-1}\\ 1& x_3& x_3^2& \dots & x_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$

A felírásból rögtön látszik, hogy $x_1,\dots ,x_n$ változóknak csaknem – előjel erejéig – szimmetrikus polinomja. Ez a kis hiányosság a szimmetriában adja voltaképp a Vandermonde-determináns diszkrét báját a csoportelméletben, mert $x_1,\dots ,x_n$ változóknak pontosan azok a páros permutációi, amikkel permutálva a Vandermonde-determináns argumentumait az fixen marad.

Kiszámítása

Értéke szorzattá alakítható:

$V(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{j<i}(x_i-x_j).$

Bizonyítás

Indukcióval

Ezt az azonosságot n-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az n=2 eset

$V(x_1,x_2)=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ x_1& x_2\end{array}\right|=x_2-x_1$

nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n-1-re tudjuk az állítást és adott a

$V(x_1,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \dots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \dots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$

determináns.

Az első oszlopot a további oszlopokból kivonva

$\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ x_1& x_2-x_1& x_3-x_1& \dots & x_n-x_1\\ x_1^2& x_2^2-x_1^2& x_3^2-x_1^2& \dots & x_n^2-x_1^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}-x_1^{n-1}& x_3^{n-1}-x_1^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}-x_1^{n-1}\end{array}\right|$

adódik.

E determinánst az első sor szerint kifejtve kapjuk, hogy értéke megegyezik a következő determináns értékével:

$\left|\begin{array}{cccc}{x}_2-x_1& x_3-x_1& \dots & x_n-x_1\\ x_2^2-x_1^2& x_3^2-x_1^2& \dots & x_n^2-x_1^2\\ x_2^3-x_1^3& x_3^3-x_1^3& \dots & x_n^3-x_1^3\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_2^{n-1}-x_1^{n-1}& x_3^{n-1}-x_1^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}-x_1^{n-1}\end{array}\right|$

adódik.

Az első oszlopból $(x_2-x_1)$-et, a másodikból $(x_3-x_1)$-et, … sorra kiemelve az alábbi determináns marad vissza:

$\left|\begin{array}{ccc}1& \dots & 1\\ x_2+x_1& \dots & x_n+x_1\\ x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2& \dots & x_n^2+x_n{x}_1+x_1^2\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_2^{n-2}+x_2^{n-3}{x}_1+\cdots +x_1^{n-2}& \dots & x_n^{n-2}+x_n^{n-3}{x}_1+\cdots +x_1^{n-2}\end{array}\right|$

Az utolsó, utolsó előtti,… sorból egymásután levonva az előző sor $x_1$-szeresét $V(x_2,\dots ,x_n)$-et kapjuk azaz

$V(x_1,\dots ,x_n)=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots (x_n-x_1)V(x_2,\dots ,x_n)$

és indukciós feltevésünkkel készen vagyunk.

Felhasználva, hogy antiszimmetrikus polinom

Könnyen látható, hogy $V(x_1,\dots ,x_n)$-nek mint $x_1$ polinomjának gyöke $x_2$, hiszen beírva a determináns első két sora lineárisan összefügg. Így $(x_1-x_2)$ kiemelhető, és ezért a sajátos szimmetriából adódóan $\pm (x_i-x_j)$ is minden különböző i,j-re, de tekintve, hogy a $x_1,\dots ,x_n$ polinomjainak a gyűrűjében az $x_i-x_j$ alakú polinomok, ahol $i\ne j$, páronként relatív prímek, ezek szorzata is kiemelhető V-ből. Mivel ennek a szorzatnak a foka $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$, azaz éppen V foka, egymástól csak konstans szorzóban térnek el. Hogy ezt a konstansszorzót megállapítsuk, elegendő ugyanannak a tagnak az együtthatóját megvizsgálnunk: Mindkét polinomban könnyen meghatározhatjuk $x_2{x}_3^2\dots x_n^{n-1}$ együtthatóját, ami történetesen mindkét ízben egy, így kapjuk, hogy:

$V=\prod _{j<i}(x_i-x_j)$. Sablon:QED

Források

• Sablon:Pelikán
• Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe, Kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest 1971.
• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. 55. old.