Nilpotens elem

Az algebrában nilpotens elemnek nevezzük a zéruselemes félcsoportok azon elemeit, amelyeknek létezik olyan hatványa, ami megegyezik a zéruselemmel. Gyűrűk esetében a gyűrű valamely elemét akkor mondjuk nilpotens elemnek, ha az adott elem nilpotens elem a gyűrű multiplikatív félcsoportjában.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges zéruselemes félcsoport. Azt mondjuk, hogy az $a\in A$ elem az A félcsoport nilpotens eleme, ha valamely $n\in \mathbb{N}$ esetén $a^n=0$, ahol $0$ a félcsoport zéruseleme.

Legyen $(R;+,\cdot )$ tetszőleges gyűrű. Akkor mondjuk az $a\in R$ elem az R gyűrű nilpotens eleme, ha az $a$ elem nilpotens elem a gyűrű $(R;\cdot )$ multiplikatív félcsoportjában.

Tulajdonságok

• A zéruselem mindig nilpotens elem.
• Ha valamely $n\in \mathbb{N}$ esetén $a^n=0$, akkor minden $m\in \mathbb{N}$-re $a^{n+m}=0$ is teljesül.
• A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei zérusosztók.
• Kommutatív gyűrűben a nilpotens elemek ideált alkotnak. (Ha a gyűrű nem kommutatív, akkor nem biztos, pl. a 2×2-es valós mátrixok gyűrűjében sem teljesül.)

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)