Wieferich-prímek forrásának megtekintése

A [[számelmélet]]ben ha ''p'' [[prímszámok|prímszám]], és ''p''<sup>2</sup> osztója 2<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;−&nbsp;1-nek, akkor ''p'' '''Wieferich-prím'''.<ref name="The Prime Glossary">{{Citation |url=http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WieferichPrime.html |title=The Prime Glossary: Wieferich prime}}</ref> A Wieferich-prímek a [[kis Fermat-tétel]]hez kapcsolódnak, ami azt állítja, hogy ha ''p'' páratlan prím, akkor osztója 2<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;−&nbsp;1-nek. Arthur Wieferich 1909-ben írta le őket az akkori Fermat-sejtéshez, ma [[nagy Fermat-tétel]]hez kapcsolódó feljegyzéseiben. Akkoriban már Fermat mindkét állítása közismert volt.<ref name=Kleiner>{{Citation |author=Israel Kleiner |title=From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem |journal=Elem. Math. |volume=55 |year=2000 |page=21 |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |doi=10.1007/PL00000079 |postscript=. }} {{Wayback|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |date=20110608052614 }} {{Cite web |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |title=Archivált másolat |accessdate=2012-11-03 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110608052614/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |archivedate=2011-06-08 }}</ref><ref name=Euler>{{Citation|author=Leonhard Euler |title=Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio |journal=Novi Comm. Acad. Sci. Petropol. |volume=8 |year=1736 |language=Latin |pages=33–37 |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E054tr.pdf|postscript=.}}</ref>

A Wieferich-prímek azóta más témákban is felbukkantak a számok és prímek különböző típusaival együtt, így a [[Mersenne-prímek|Mersenne-]] és a [[Fermat-prímek|Fermat-számokkal]], bizonyos típusú [[álprím]]ekkel és a Wieferich-prímek eredeti definíciójának általánosításával kapott számokkal együtt. Idővel jobban megismerve ezeket a kapcsolatokat bizonyos prímszámok újabb tulajdonságait fedezték fel olyan általánosabb témákban, mint az [[abc-sejtés]] vagy a [[test (algebra)|számtestek]].

A kutatások ellenére eddig csak két Wieferich-prímet ismerünk, ezek az [[1093 (szám)|1093]] és a [[3511 (szám)|3511]] {{OEIS|id=A001220}}.

== Példák ==
A kis Fermat-tétel erősítését a 2<sup>''p'' − 1</sup> &equiv; 1 (mod ''p''<sup>2</sup>) kongruenciával fejezik ki, amiből az egész számok kongruenciájának definíciójával következik, hogy ennek teljesítése ekvivalens a bevezetőben megadott állítás teljesítésével. Így ha ''p'' prím, és eleget tesz a [[kongruencia|kongruenciának]], ekvivalens azzal, hogy ''p'' osztója a <math>\tfrac{2^{p-1}-1}{p}</math> Fermat-hányadosnak.

A 11 nem Wieferich-prím, mert ha ''p'' = 11, akkor <math>\tfrac{2^{10}-1}{11}=93</math>, ami 11-gyel osztva 5-öt ad maradékul. Ellenben 1093 Wieferich-prím, mert <math>\tfrac{2^{1092}-1}{1093}</math> (339 jegyű szám) osztható 1093-mal.

== Történetük ==
1902-ben W. F. Meyer belátott egy tételt a ''a''<sup>''p'' − 1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>r</sup>) kongruencia megoldásairól.<ref name=Solutions>{{Citation |author=Wilfrid Keller; Jörg Richstein |title=Solutions of the congruence ''a''<sup>''p''−1</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>''r''</sup>) |journal=Math. Comp. |volume=74 |year=2005 |pages=927–936 |doi=10.1090/S0025-5718-04-01666-7 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/2005-74-250/S0025-5718-04-01666-7/S0025-5718-04-01666-7.pdf |postscript=. |issue=250}}</ref> Arthur Wieferich még ebben az évtizedben megmutatta, hogy ha a Fermat-sejtés megoldható lenne egy ''p'' páratlan prím kitevőre, akkor ennek a prímnek a fenti kongruencia megoldásának kell lennie ''a'' = 2 és ''r'' = 2 paraméterekkel. Más szavakkal, ha ''x''<sup>''p''</sup> + ''y''<sup>''p''</sup> + ''z''<sup>''p''</sup> = 0 megoldható lenne a pozitív ''x'', ''y'', ''z'' egészekre és a ''p'' páratlan prímre, ahol ''p'' nem osztója ''xyz''-nek, akkor teljesül 2<sup>''p'' − 1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>) is. 1913-ban P. G. H. Bachmann a <math>\tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p</math> maradékot vizsgálta, hogy mikor lesz nulla.<ref>{{cite journal | last = Bachmann | first = P. | title = Über den Rest von <math>\tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p</math> | journal = Journal für Mathematik | volume = 142 | issue = 1 | pages = 41–50 | language=German | year = 1913 | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167646}}</ref>

Az 1093 Wieferich-prím voltát még Waldemar Meissner bizonyította be 1913-ban, és megerősítette, hogy 2000 alatt nincs több ilyen prím. Minden 2000-nél kisebb prímre megvizsgálta <math>\tfrac{2^{t}-1}{p}\,\bmod\,p</math> legkisebb maradékát. Azt találta, hogy ez a maradék nulla, ha ''t'' = 364 és ''p'' = 1093. Ez megcáfolta [[Dmitrij Alekszandrovics Grave|Grave]]{{wd|Q931398}} sejtését, hogy ilyen prímek márpedig nincsenek.<ref name=Meissner>{{citation | first=W. |last=Meissner |title=Über die Teilbarkeit von 2<sup>''p''</sup> − 2 durch das Quadrat der Primzahl ''p''=1093 | journal=Sitzungsber. D. Königl. Preuss. Akad. D. Wiss. | volume=Zweiter Halbband. Juli bis Dezember | place=Berlin | language=German | year=1913 | pages=663–667}}</ref> E. Haentzschel elemi számításokkal ellenőrizte Meissner konguenciáját.<ref>{{citation | first=E. | last=Haentzschel | title=Über die Kongruenz 2<sup>1092</sup> ≡ 1 (mod 1093<sup>2</sup>) | journal=[[Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung]] | volume=34 | year=1926 | language=German | page=284 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN00212534X}}</ref> Euler nyomán először belátta, hogy 1093<sup>2</sup> | (2<sup>182</sup> + 1), és megjegyezte, hogy (2<sup>182</sup> + 1) egy tényezője (2<sup>364</sup> − 1)-nek.<ref>{{citation | first=E. | last=Haentzschel | title=Über die Kongruenz 2<sup>1092</sup> ≡ 1 (mod 1093<sup>2</sup>) | journal=[[Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung]] | volume=34 | year=1925 | language=German | page=184 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002127695}}</ref> Azt is sikerült megmutatni, hogy 1093 Wieferich-prím volta bizonyítható a komplex számok használata nélkül, Meissner számításaival ellentétben.<ref>{{citation | first=P. | last=Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | title=1093 | journal=The Mathematical Intelligencer | volume=5 | issue=2 | year=1983 | pages=28–34 | doi=10.1007/BF03023623}}</ref> although Meissner himself hinted at that he was aware of a proof without complex values.<ref name=Meissner />

A 3511 hasonló tulajdonságát N. G. W. H. Beeger vette észre 1922-ben,<ref>{{citation | first=N. G. W. H. | last=Beeger | authorlink=N. G. W. H. Beeger | title=On a new case of the congruence 2<sup>''p'' − 1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>) | journal=[[Messenger of Mathematics]] | volume=51 | year=1922 | pages=149–150 | url=http://www.archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuoft#page/148/mode/2up }} {{Cite web |url=http://www.archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuoft |title=Archivált másolat |accessdate=2012-11-04 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121111110125/http://www.archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuoft |archivedate=2012-11-11 }}</ref> és R. K. Guy 1965-ben egy másik bizonyítással állt elő.<ref>{{citation | first=R. K. | last=Guy | authorlink=Richard K. Guy | title=A property of the prime 3511 | journal=The Mathematical Gazette | volume=49 | issue=367 | year=1965 | pages=78–79 | url=http://www.jstor.org/stable/3614249}}</ref> 1960-ban Kravitz<ref>{{cite journal |author=Kravitz, S. |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1960-14-072/S0025-5718-1960-0121334-7/S0025-5718-1960-0121334-7.pdf |title=The Congruence 2<sup>''p''-1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>) for ''p'' < 100,000 |journal=Math. Comp. |volume=14 |year=1960 |pages=378 |doi=10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7}}</ref> megduplázta a Fröberg által megadott határt,<ref>{{cite journal |author=Fröberg C. E. |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1958-12-064/S0025-5718-58-99270-6/S0025-5718-58-99270-6.pdf |title=Some Computations of Wilson and Fermat Remainders |journal=Math. Comp. |volume=12 |year=1958 |pages=281 |doi=10.1090/S0025-5718-58-99270-6}}</ref> majd 1961-ben Riesel kiterjesztette ezt a határt egészen 500&nbsp;000-ig a [[BESK]] felhasználásával.<ref>{{cite journal |author=[[Hans Riesel|Riesel, H.]] |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1964-18-085/S0025-5718-1964-0157928-6/S0025-5718-1964-0157928-6.pdf |title=Note on the Congruence ''a''<sup>''p''-1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>) |journal=Math. Comp. |volume=18 |year=1964 |pages=149–150 |doi=10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6}}</ref> 1980 körül Lehmer folytatta a keresést egészen 6·10<sup>9</sup>-ig.<ref>{{cite journal | last = Lehmer | first = D. H. | authorlink = Derrick Henry Lehmer | title = On Fermat's quotient, base two | journal = Math. Comp. | volume = 36 | issue = 153 | pages = 289–290 | url = http://www.ams.org/journals/mcom/1981-36-153/S0025-5718-1981-0595064-5/S0025-5718-1981-0595064-5.pdf |doi=10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5}}</ref> 2006-ban ezt tovább emelték 2,5·10<sup>15</sup>-re,<ref name="Ribenboim, 2004"/> végül 3·10<sup>15</sup>-re. Azóta azt is tudjuk, hogy ha van még Wieferich-prím, akkor nagyobbnak kell lennie, mint 6,7·10<sup>15</sup>.<ref name=Dorais>{{cite journal | last = Dorais | first = F. G. | coauthors = Klyve, D. | title = A Wieferich Prime Search Up to 6.7{{e|15}} | journal = Journal of Integer Sequences | volume = 14 | issue = 9 | year = 2011 | url = http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Klyve/klyve3.pdf | zbl = 05977305 | accessdate = 2011-10-23}}</ref> Jelenleg elosztott számításokkal folytatják a kutatást az újabb Wieferich-prímek után. Ezek egyike a Wieferich@Home, a másika a PrimeGrid, ami 2011 decemberében indult.<ref>PrimeGrid [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=3894 Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches]</ref> 2012 májusában a PrimeGrid 7·10<sup>15</sup>-re tolta ki a határt.<ref>PrimeGrid [http://prpnet.mine.nu:13000/ Wieferich prime search server statistics] {{Wayback|url=http://prpnet.mine.nu:13000/ |date=20140406133340 }}</ref>

Nem ismert, hogy egyáltalán vannak-e még Wieferich-prímek, és ha igen, akkor végtelen sok van-e. Chris Caldwell sejtése szerint véges sok van,<ref name="The Prime Glossary"/> de vannak, akik azt sejtik, hogy végtelen sok ilyen prím létezik, és hogy egy ''x'' korlátig számuk log(log(''x'')). Ez azt feltételezi, hogy a (''p''&nbsp;−&nbsp;1)-edik primitív egységgyökök egyenletesen oszlanak el modulo ''p''<sup>2</sup>.<ref>{{Citation | last1 = Franco | first1 = Z. | last2 = Pomerance | first2 = C. | author2-link = Carl Pomerance | title = On a conjecture of Crandall concerning the qx+1 problem | journal = Math. Of Comput. | volume = 64 | issue = 211 | pages = 1333–1336 | publisher = American Mathematical Society | year = 1995 | url = http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper101.pdf | doi = 10.2307/2153499 | postscript =.}}</ref>

== Tulajdonságaik ==
=== A nagy Fermat-tétel ===
A következő tétel kapcsolatot teremt a Wiefeich-prímek és a nagy Fermat-tétel között:

:Legyen ''p'' prím, és legyenek az ''x'', ''y'', ''z'' pozitív egészek olyanok, hogy ''x''<sup>''p''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''p''</sup>&nbsp;+&nbsp;''z''<sup>''p''</sup>&nbsp;=&nbsp;0.

Ha még azt is feltesszük, hogy a ''p'' prím nem osztója az ''xyz'' szorzatnak, akkor ''p'' Wieferich-prím kell, hogy legyen. Ezt a tételt még Wieferich látta be 1909-ben.<ref>{{Citation | first=A. |last=Wieferich | authorlink=Arthur Wieferich | title=Zum letzten Fermat'schen Theorem | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=136 | year=1909 | language=German | pages=293–302 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002166968 | doi=10.1515/crll.1909.136.293 | issue=136 | postscript=.}}</ref> Az oszthatósági kikötés a nagy Fermat-tétel első eseteként ismert.(FLTI)<ref>{{Citation | last=Coppersmith | first=D. | authorlink=Don Coppersmith | title=Fermat's Last Theorem (Case I) and the Wieferich Criterion | journal=Math. Comp. | volume=54 | issue=190 | pages=895–902 | publisher=[[American Mathematical Society|AMS]] | year=1990 | jstor=2008518 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1990-54-190/S0025-5718-1990-1010598-2/S0025-5718-1990-1010598-2.pdf | postscript=.}}</ref><ref>{{Citation | last=Cikánek | first=P. | title=A Special Extension of Wieferich's Criterion | journal=Math. Comp. | volume=62 | issue=206 | pages=923–930 | jstor=3562296 | publisher=[[American Mathematical Society|AMS]] | year=1994 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1994-62-206/S0025-5718-1994-1216257-9/S0025-5718-1994-1216257-9.pdf | postscript=.}}</ref> és az FLTI megbukik egy ''p'' prímre, ha a Fermat-egyenlet megoldható ezzel a ''p''-vel, különben az FLTI teljesül ''p''-re.<ref name=Dilcher,Skula>{{Citation | last1=Dilcher | first1=K. | last2=Skula | first2=L. | title=A new criterion for the first case of Fermat's last theorem | journal=Math. Comp. | volume=64 | issue=209 | pages=363–392 | jstor=2153341 | publisher=AMS | year=1995 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1995-64-209/S0025-5718-1995-1248969-6/S0025-5718-1995-1248969-6.pdf}}</ref>
1910-ben [[Mirimanoff]] kibővítette a tételt,<ref>{{Citation | first=D. |last=Mirimanoff |title=Sur le dernier théorème de Fermat | language=French | journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences | volume=150 | year=1910 | pages=293–206 | postscript=.}}</ref> megmutatva, hogy ha teljesülnek a tétel előfeltételei, akkor a ''p'' prímre az is teljesül még, hogy ''p''<sup>2</sup> osztója 3<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;−&nbsp;1-nek is. Sőt, Granville és Monagan szerint ''p''<sup>2</sup>-nek még az ''m''<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;−&nbsp;1 mennziségnek osztójának is kell lennie az összes ''m'' ≤ 89 prímre.<ref name="Granville, Monagan">{{Citation | first1=A. | last1=Granville | first2=M. B. | last2=Monagan | title=The First Case of Fermat's Last Theorem is true for all prime exponents up to 714,591,416,091,389 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=306 | issue=1 | year=1988 | pages=329–359 | doi=10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5 | postscript=.}}</ref> Suzuki ezt a határt tovább emelte minden ''m'' ≤ 113 prímre.<ref>{{citation | first=Jiro |last=Suzuki | title=On the generalized Wieferich criteria | journal=Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. | volume=70 | pages=230–234 | year=1994 | url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195510946}}</ref>

Legyen ''H<sub>p</sub>'' relatív prím számpárokból alkotott halmaz, a ''p'' prím relatív prím az ''x'', ''y'' és ''x'' + ''y'', (''x'' + ''y'')<sup>''p''-1</sup> ≡ 1 (mod p<sup>2</sup>)-hez, (''x'' + ''ξy'') a ''K'' ideál ''p''-edik hatványa, ahol ''ξ'' = 2''π''/''p'' + ''i'' sin 2''π''/''p''! ''K'' = '''Q'''(''ξ'') a racionális számoknak az a [[testbővítés]]e, amit az ''&xi;'' [[algebrai számok]] [[minimálpolinom]]jainak összes gyökének hozzávételével kapunk. Mivel ''&xi;'' egységgyök, ezért körosztási testet kapunk.<ref name="Granville, Monagan" /> A '''Q'''(ξ) ideáljainak egyértelmű faktorizációjából kapjuk, hogy ha a nagy Fermat-tétel első esetének van ''x'', ''y'', ''z'' megoldása, akkor ''p'' osztója ''x''+''y''+''z''-nek, és (''x'', ''y''), (''y'', ''z'') és (''z'', ''x'') a ''H<sub>p</sub>'' elemei.<ref name="Granville, Monagan" />
Granville és Monagan belátta, hogy (1, 1) ∈ ''H<sub>p</sub>'' akkor és csak akkor, ha ''p'' Wieferich-prím.<ref name="Granville, Monagan" />

=== Az abc-sejtés ===
Ha ''p'' egy prímszám, ami nem tesz eleget a Wieferich-prímek definiáló kongruenciájának, vagyis 2<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;≢&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>), akkor ''p'' nem Wieferich-prím. J. H. Silverman 1988-ban megmutatta, hogy ha teljesül az [[abc-sejtés]], akkor végtelen sok nem Wieferich-prím van.<ref>Charles, D. X. [http://pages.cs.wisc.edu/~cdx/Criterion.pdf On Wieferich primes]</ref> Pontosabban, létezik egy csak ''α''-tól függő konstans, hogy egy ''X'' határ alatti ''α'' alapú nem Wieferich-prímek száma nagyobb, mint log(''X''), vagyis a végtelenbe tart.<ref>{{citation | first=J. H. |last=Silverman | authorlink=Joseph H. Silverman | title=Wieferich's criterion and the abc-conjecture | journal=[[Journal of Number Theory]] | volume=30 | issue=2 | year=1988 | pages=226–237 | doi=10.1016/0022-314X(88)90019-4}}</ref> Az eddigi számítások szerint egy adott intervallumon nagyon kevés Wieferich-prím található. A Wieferich-prímek ''W<sub>2</sub>'' és a nem Wieferich-prímek ''W<sub>2</sub><sup>c</sup>'' halmaza komplementerek,<ref name=DeKoninckDoyon>{{citation | first1=J.-M. | last1=DeKoninck | first2=N. | last2=Doyon | title=On the set of Wieferich primes and of its complement | journal=Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. | volume=27 | year=2007 | pages=3–13 | url=http://ac.inf.elte.hu/Vol_027_2007/003.pdf}}</ref> tehát ha az egyik véges, a másiknak végtelennek kell lennie, mivel végtelen sok prímszám van.Később belátták azt is, hogy ha végtelen sok nem Wieferich-prím van, akkor következik az abc-sejtés egy ''ABC-(k, ε)-sejtésként'' ismert gyengített verziója.<ref>{{citation | first=K. | last=Broughan | title=Relaxations of the ABC Conjecture using integer ''k'' 'th roots | journal=New Zealand J. Math. | volume=35 | issue=2 | year=2006 | pages=121–136 | url=http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/abc01.pdf}}</ref> Sőt, végtelen sok nem Wieferich-prím esetén végtelen sok [[négyzetmentes számok|négyzetmentes]] [[Mersenne-szám]] létezik.<ref>{{cite book | last = Ribenboim | first = P. | authorlink = Paulo Ribenboim | title = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Springer | year = 1979 | location = New York | page = 154 | url = https://books.google.de/books?id=w2o67-lBGhIC&lpg=PP1&dq=13%20lectures%20on%20Fermat’s%20last%20theorem&hl=de&pg=PA154#v=onepage&q=%22Let%20me%20add%20that%20Schinzel%20has%20conjectured%22&f=false | isbn = 0-387-90432-8}}</ref>
=== A Mersenne- és a Fermat-számok ===
Az ''n''-edik Mersenne-szám, ''M''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1 akkor lehet prím, ha ''n'' is prím. A kis Fermat-tétel állítása szerint ha ''p''&nbsp;>&nbsp;2 prím, akkor ''M''<sub>''p''−1</sub> (=&nbsp;2<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;−&nbsp;1) osztható lesz ''p''-vel. Mivel az ''M''<sub>''p''</sub> és az ''M''<sub>''q''</sub> prím indexű Mersenne-számok relatív prímek, azért
:Ha ''q'' prím, akkor ''M''<sub>''q''</sub> egy ''p'' prímosztója Wieferich-prím akkor és csak akkor, ha ''p''<sup>2</sup> is osztója ''M''<sub>''q''</sub>-nak.<ref>{{Citation |url=http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown |title=Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems}}</ref>

Ezért egy Mersenne-prím nem lehet Wieferich-prím. A számelmélet egy fontos megoldatlan kérdése, hogy minden prím sorszámú Mersenne-szám négyzetmentes-e. Ha egy ''M''<sub>''q''</sub> prím sorszámú Mersenne-szám nem négyzetmentes, akkor van egy ''p'' prím, aminek négyzete osztója ''M''<sub>''q''</sub>-nak. Ekkor ''p''-nek Wieferich-prímnek kell lennie. Tehát, ha csak véges sok Wieferich-prím van, akkor legfeljebb véges sok nem négyzetmentes prím sorszuámú Mersenne-szám van, mivel ezek páronként relatív prímek. Rotkiewicz az állítás megfordítását is igazolta, tehát ha végtelen sok prím sorszámú négyzetmentes Mersenne-szám van, akkor a nem Wieferich-prímek száma is végtelen.<ref>{{cite journal | last = Rotkiewicz | first = A. | title = Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n<sup>2</sup>&#x2223;2<sup>n</sup>-2 | journal = Mat. Vesnik | volume = 2 | issue = 17 | pages = 78–80 | year = 1965 | language = francia | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN311571026_0017}}</ref>

Hasonlóan, ha ''p'' prím, és osztója egy ''F''<sub>''n''</sub> =&nbsp;2<sup>2<sup>''n''</sup></sup>&nbsp;+&nbsp;1 Fermat-számnak, akkor ''p'' Wieferich-prím.<ref>{{Citation |authorlink=Paulo Ribenboim |last=Ribenboim |first=Paulo |title=The little book of big primes |place=New York |publisher=Springer |year=1991 |page=64 |isbn=0-387-97508-X |url=https://books.google.com/?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA64}}</ref> Az ismert két Wieferich-prímről, 1093-ról és 3511-ről belátták, hogy egyik sem osztójsa egy Fermat- vagy Mersenne-számnak sem.<ref>{{citation | first1=H. G. | last1=Bray | first2=L. J. | last2=Warren | title=On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers | journal=Pacific J. Math. | volume=22 | issue=3 | year=1967 | pages=563–564 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102992105 | mr=0220666 | zbl=0149.28204}}</ref>
=== Kapcsolat más egyenletekkel ===
Scott és Styer megmutatta, hogy az ''p''<sup>x</sup> – 2<sup>y</sup> = ''d'' egyenletnek egy megoldása van az pozitív egész számpárok halmazán az (''x'', ''y'') párra, kivéve ha ''p''<sup>2</sup> | 2<sup>ord<sub>''p''</sub> 2</sup> – 1 ahol ord<sub>''p''</sub> 2 a 2 multiplikatív rendje modulo ''p''.<ref>{{cite journal | last = Scott | first = R. | coauthors = Styer, R. | title = On p<sup>x</sup>-q<sup>y</sup>=c and related three term exponential Diophantine equations with prime bases | journal = Journal of Number Theory | volume = 105 | issue = 2 | pages = 212–234 | publisher = Elsevier | date = April 2004 | doi = 10.1016/j.jnt.2003.11.008}}</ref> Azt is belátták, hogy az ±a<sup>x<sub>1</sub></sup> ± 2<sup>y<sub>1</sub></sup> = ±a<sup>x<sub>2</sub></sup> ± 2<sup>y<sub>2</sub></sup> = ''c'' egyenlet egy általánosabb egyenlethalmaz specifikus alakja, kivéve ha ''a'' egy 1,25 x 10<sup>15</sup>-nél nagyobb Wieferich-prím.<ref>{{cite journal | last = Scott | first = R. | coauthors = Styer, R. | title = On the generalized Pillai equation ±''a''<sup>''x''</sup>±''b''<sup>''y''</sup>=''c'' | journal = Journal of Number Theory | volume = 118 | issue = 2 | pages = 236–265 | year = 2006 | url = http://pdn.sciencedirect.com/science?_ob=MiamiImageURL&_cid=272482&_user=10&_pii=S0022314X05002064&_check=y&_origin=mlkt&_zone=rslt_list_item&_coverDate=2006-06-30&wchp=dGLbVlS-zSkzS&md5=366dd2dd517f054251ec74c2947bcec0&pid=1-s2.0-S0022314X05002064-main.pdf | doi = 10.1016/j.jnt.2005.09.001 }}{{Halott link|url=http://pdn.sciencedirect.com/science?_ob=MiamiImageURL&_cid=272482&_user=10&_pii=S0022314X05002064&_check=y&_origin=mlkt&_zone=rslt_list_item&_coverDate=2006-06-30&wchp=dGLbVlS-zSkzS&md5=366dd2dd517f054251ec74c2947bcec0&pid=1-s2.0-S0022314X05002064-main.pdf |date=2019-06 }}</ref>
=== Periodikusság kettes számrendszerben ===
Johnson megfigyelte,<ref name=John>{{Citation |author=Wells Johnson |title=On the nonvanishing of Fermat quotients (mod&nbsp;''p'') |journal=J. Reine angew. Math. |volume=292 |year=1977 |pages=196–200 |url=http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=resolveppn&PPN=GDZPPN002193698}}</ref> hogy mindkét ismert Wieferich-prím alsó szomszédja a kettes számrendszerben periodikus jegyekből áll: 1092 = 010001000100<sub>2</sub>; 3510 = 110110110110<sub>2</sub>. A Wieferich@Home projekt ebből a megfigyelésből kiindulva kettes számrendfszerben periodikus számok felső szomszédját vizsgálja, de a legfeljebb 3500 bites legfeljebb 24 periódushosszú számok felső szomszédai nem Wieferich-prímek.<ref name=DoKu>{{Citation |last1=Dobeš |first1=Jan |last2=Kureš |first2=Miroslav |title=Search for Wieferich primes through the use of periodic binary strings |journal=Serdica Journal of Computing |volume=4 |year=2010 |pages=293–300 |url=http://sci-gems.math.bas.bg/jspui/bitstream/10525/1595/1/sjc104-vol4-num3-2010.pdf |zbl=05896729 |postscript=.}}</ref>
=== Ekvivalens kongruenciák ===
A Wieferich-prímek más kongruenciákkal is definiálhatók. Ha ''p'' Wieferich-prím, akkor a 2<sup>''p''-1</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>) kongruenciát 2-vel megszorozva kapjuk, hogy 2<sup>''p''</sup>&nbsp;≡&nbsp;2&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>). ''p''-edik hatványra emelve 2<sup>''p''<sup>2</sup></sup>&nbsp;≡2<sup>''p''</sup>&nbsp;≡&nbsp;2&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>), és innen 2<sup>''p''<sup>k</sup></sup>&nbsp;≡&nbsp;2&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>) minden ''k''&nbsp;≥&nbsp;1-re. Megfordítva, 2<sup>''p''<sup>k</sup></sup>&nbsp;≡&nbsp;2&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>) egy ''k''&nbsp;≥&nbsp;1-re implikálja, hogy 2 multiplikatív rendje modulo ''p''<sup>2</sup> osztója a (''p''<sup>k</sup>-1, φ(''p''<sup>2</sup>))=''p''-1 legnagyobb közös osztónak. Másként, 2<sup>''p''-1</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>), és így ''p'' Wieferich-prím.

Még Bolyai<!--Melyik?--> megmutatta, hogy ha ''p'' és ''q'' prímek, ''a'' egyikkel sem osztható pozitív egész, és {{nowrap|''a''<sup>''p''-1</sup> ≡ 1 (mod ''q'')}}, {{nowrap|''a''<sup>''q''-1</sup> ≡ 1 (mod ''p'')}}, akkor {{nowrap|''a''<sup>''pq''-1</sup> ≡ 1 (mod ''pq'')}}. A ''p'' = ''q'' helyettesítéssel{{nowrap|''a''<sup>''p''<sup>2</sup>-1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>)}}.<ref name="Kiss">{{cite journal | last = Kiss | first = E. | coauthors = Sándor, J. | title = On a congruence by János Bolyai, connected with pseudoprimes | journal = Mathematica Pannonica | volume = 15 | issue = 2 | pages = 283–288 | year = 2004 | url = http://ttk.pte.hu/mii/html/pannonica/index_elemei/mp15-2/mp15-2-283-288.pdf}}</ref> Azt is belátták, hogy {{nowrap|''a''<sup>''p''<sup>2</sup>-1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>)}} akkor és csak akkor, ha {{nowrap|''a''<sup>''p''-1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>)}}.<ref name="Kiss" />
=== Álprímek ===
Megfigyelték, hogy mindkét ismert Wieferich-prím négyzetes prímtényezője az összes 2 alapú Fermat-álprímnek egészen 25·10<sup>9</sup>-ig.<ref>{{Citation | author1-link=Paulo Ribenboim | last1=Ribenboim | first1=P. | title=The Little Book of Bigger Primes | location=New York | publisher=Springer-Verlag New York, Inc. | year=2004 | isbn=0-387-20169-6 | page=99 |chapter=[http://trex58.files.wordpress.com/2010/01/ribenboimbook1.pdf Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime]}} {{Cite web |url=http://www.google.de/url?sa=t |title=Archivált másolat |accessdate=2023-07-03 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20230514132112/http://www.google.de/url?sa=t |archivedate=2023-05-14 }}</ref> A későbbi számítások megmutatták, hogy az álprímek egyetlen magasabb hatványon szereplő tényezői egészen 10<sup>12</sup>-ig csak 1093 és 3511.<ref>{{cite journal | last = Pinch | first = R. G. E. | title = The Pseudoprimes up to 10<sup>13</sup> | journal = Lecture Notes in Computer Science | volume = 1838 | pages = 459–473 | year = 2000 | url = http://130.203.133.150/viewdoc/download?doi=10.1.1.32.3849&rep=rep1&type=pdf | doi = 10.1007/10722028_30 }}{{Halott link|url=http://130.203.133.150/viewdoc/download?doi=10.1.1.32.3849&rep=rep1&type=pdf |date=2019-04 }}</ref> Sőt, a következők is teljesülnek: legyen ''n'' 2 alapú álprím, és ''p'' prímosztója ''n''-nek. Ha <math>\tfrac{2^{n-1}-1}{n}\not\equiv 0 \pmod{p}</math>, akkor <math>\tfrac{2^{p-1}-1}{p}\not\equiv 0 \pmod{p}</math> is teljesül.<ref name=Dilcher,Skula /> Továbbá, ha ''p'' Wieferich-prím, akkor ''p''<sup>2</sup> [[Catalan-álprím]].<ref>{{cite journal | last1 = Aebi | first1 = C. | last2 = Cairns | first2 = G. | title = Catalan numbers, primes and twin primes | journal = Elemente der Mathematik | volume = 63 | issue = 4 | pages = 153–164 | year = 2008 | url = http://www.latrobe.edu.au/mathstats/staff/cairns/papers/catalan.pdf | doi = 10.4171/EM/103 | accessdate = 2012-11-09 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20110401100036/http://www.latrobe.edu.au/mathstats/staff/cairns/papers/catalan.pdf | archivedate = 2011-04-01 }}</ref>

=== Irányított gráfok ===
A {{szám|100000}}-nél kisebb prímek esetén ''L''(''p''<sup>''n''+1</sup>) = ''L''(''p''<sup>''n''</sup>) kétszer teljesül: ''L''(''1093''<sup>''2''</sup>) = ''L''(''1093'') = 364 és ''L''(''3511''<sup>''2''</sup>) = ''L''(''3511'') = 1755, ahol ''m'' a kétszerező diagram modulusa, és ''L''(''m'') az 1 körén levő csúcsok száma. A kétszerező diagram csúcsai az ''m''-nél kisebb <math>\N_0</math>-beli természetes számok, és csak az ''x''-ből a modulo ''m'' redukált 2''x''-be mutató élek léteznek.<ref name="Ehrlich">{{Citation | first=A. | last=Ehrlich | title=Cycles in Doubling Diagrams mod m | journal=The Fibonacci Quarterly | volume=32 | issue=1 | year=1994 | pages=74–78 | url=http://www.fq.math.ca/Scanned/32-1/ehrlich.pdf | postscript=.}}</ref>{{rp|74}} Megmutaták, hogy minden páratlan prímszám esetében vagy az ''L''(''p''<sup>''n''+1</sup>) = ''p'' × ''L''(''p''<sup>''n''</sup>) vagy az ''L''(''p''<sup>''n''+1</sup>) = ''L''(''p''<sup>''n''</sup>) állítás teljesül.<ref name="Ehrlich" />

=== Számtestek ===
Tudjuk, hogy <math>\chi_{D_{0}} \big(p \big) = 1</math> és <math>\lambda\,\!_p \big( \mathbb{Q} \big(\sqrt{D_{0}} \big) \big) = 1</math> akkor és csak akkor, ha 2<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;≢&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>)ahol ''p'' páratlan prím és <math>D_{0} < 0</math> a képzetes <math>\mathbb{Q} \big(\sqrt{1 - p^2} \big)</math> kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Legyen ''p'' Wieferich-prím. Ha {{nowrap|''p'' ≡ 3 (mod 4)}}, akkor legyen <math>D_{0} < 0</math> a <math>\mathbb{Q} \big(\sqrt{1 - p} \big)</math> képzetes kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Ha {{nowrap|''p'' ≡ 1 (mod 4)}}, akkor legyen <math>D_{0} < 0</math> a <math>\mathbb{Q} \big(\sqrt{4 - p} \big)</math> képzetes kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Ekkor <math>\chi_{D_{0}} \big(p \big) = 1</math> és <math>\lambda\,\!_p \big( \mathbb{Q} \big(\sqrt{D_{0}} \big) \big) = 1</math> ahol ''χ'' és ''λ'' Iwasawa-invariánsok.<ref>{{citation | first=D. | last=Byeon | title=Class numbers, Iwasawa invariants and modular forms | journal=Trends in Mathematics | volume=9 | issue=1 | year=2006 | pages=25–29 | url=http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999.pdf }} {{Wayback|url=http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999.pdf |date=20120426012529 }} {{Cite web |url=http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999.pdf |title=Archivált másolat |accessdate=2012-11-09 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120426012529/http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999.pdf |archivedate=2012-04-26 }}</ref>

Továbbá: legyen ''q'' páratlan prím, ''k'' és ''p'' prímek úgy, hogy {{nowrap|1=''p'' = 2''k'' + 1,}} {{nowrap|''k'' ≡ 3 (mod 4),}} {{nowrap|''p'' ≡ −1 (mod ''q''),}} {{nowrap|''p'' &#8802; −1 (mod ''q''<sup>3</sup>)}} és ''q'' rendje modulo ''k'' is <math>\tfrac{k-1}{2}</math>. Tegyük fel továbbá, hogy ''q'' osztója ''h''<sup>+</sup>-nak, ami a <math>\mathbb{Q} \big( \zeta\,\!_p + \zeta\,\!_p^{-1} \big)</math> valós [[körosztási test]] osztályszáma. Ekkor ''q'' Wieferich-prím.<ref name="Jakubec">{{citation | first=S. | last=Jakubec | title=Connection between the Wieferich congruence and divisibility of h<sup>+</sup> | journal=Acta Arithmetica | volume=71 | issue=1 | year=1995 | pages=55–64 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7114.pdf}}</ref> Ez akkor is teljesül, ha a {{nowrap|''p'' ≡ −1 (mod ''q'')}} és a {{nowrap|''p'' &#8802; −1 (mod ''q''<sup>3</sup>)}} feltételeket {{nowrap|''p'' ≡ −3 (mod ''q'')}} és {{nowrap|''p'' &#8802; −3 (mod ''q''<sup>3</sup>)}} helyettesíti, vagy ha {{nowrap|''p'' ≡ −1 (mod ''q'')}} helyett {{nowrap|''p'' ≡ −5 (mod ''q'')}}, amikor is ''q'' [[Wall−Szun−Szun prím]], és az inkongruencia helyett {{nowrap|''p'' &#8802; −5 (mod ''q''<sup>3</sup>)}} teljesül.<ref>{{citation | first=S. | last=Jakubec | title=On divisibility of the class number h<sup>+</sup> of the real cyclotomic fields of prime degree l | journal=Mathematics of Computation | volume=67 | issue=221 | year=1998 | pages=369–398 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00916-8/S0025-5718-98-00916-8.pdf}}</ref>

=== Periódusuk ===
Ha ''x'' egész szám, akkor legyen a ''b'' alapú periódusa reciprokának periódusának hossza! Például a 3 10-es alapú periódusa 1, mivel 1/3 = 0,<span style="text-decoration: overline;">3</span>; 2-es alapú periódusa viszont 2, merthogy 3 = 0,<span style="text-decoration: overline;">01</span> a kettes számrendszerben. Általában igaz, hogy ha ''x'' egész, akkor periódusa megegyezik ''b'' multiplikatív rendjével modulo ''x''.<ref name="Garza, Young">{{citation | first1=G. | last1=Garza | first2=J. | last2=Young | author2-link=Jeff Young | title=Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions | journal=Math. Mag. | volume=77 | issue=4 | year=2004 | pages=314–319 | doi=10.2307/3219294}}</ref> Ha ''x'' Wieferich-prím, akkor ''b''<sup>''x''−1</sup> ≡ 1 (mod ''x''<sup>2</sup>). Ha ''x''<sup>2</sup> osztója ''b''<sup>''p''</sup> − 1-nek, akkor ''x''<sup>2</sup> periódushossza megegyezik ''x'' periódusával.<ref name="Garza, Young" /> Garza és Young azt állította, hogy 1093 periódusa 1092, és hogy ugyanez 1093<sup>2</sup> periódusa is,<ref name="Garza, Young" /> de 2 multiplikatív rendje modulo 1093<sup>2</sup> 364, ami rácáfol erre az állításra.

=== A Wieferich-prímek hatványainak rendje modulo 2 ===
Egészen 4 x 10<sup>12</sup>-ig csak két prímre teljesül az {{nowrap|1=ord<sub>''p''<sup>2</sup></sub> 2 = ord<sub>''p''</sub> 2}} állítás, és ezek az 1093 és a 3511. Ismert továbbá, hogy ord<sub>1093</sub> 2 = 364 és ord<sub>3511</sub> 2 = 1755.<ref name="MPW">{{cite journal | last = Martínez-Pérez | first = C. | coauthors = Willems, W. | title = Is the Class of Cyclic Codes Asymptotically Good? | journal = IEEE Transactions on information theory | volume = 52 | issue = 2 | pages = 696–700 | publisher = IEEE | year = 2006 | url = http://www.math.umass.edu/~hajir/m499c/martinez-willems-agcyclic.pdf | doi = 10.1109/TIT.2005.862123}}</ref><ref>{{Citation | last = Stevens | first = W. H. | title = Periodicity for the '''Z'''/''p''<sup>r</sup>-homology of cyclic covers of knots and '''Z'''-homology circles | date = 19 June 1995 | url = https://www.math.lsu.edu/~gilmer/waynestevenspaper.pdf | accessdate = 29 September 2012}}</ref>

H. S. Vandiver belátta, hogy {{nowrap|1=2<sup>''p''-1</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>3</sup>)}} akkor és csak akkor, ha <math>1 + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{p-2} \equiv 0 \pmod{p^2}</math>.<ref>{{citation | first=L. E. | last=Dickson | title=Fermat's Last Theorem and the Origin and Nature of the Theory of Algebraic Numbers | journal=Annals of Mathematics | volume=18 | issue=4 | year=1917 | pages=161–187| url=http://www.jstor.org/stable/pdfplus/2007234}}</ref>
== Általánosítások ==
=== Majdnem Wieferich-prímek ===
A majdnem Wieferich-prímek éppen azok a prímek, amelyeket ''p''-be helyettesítve 2<sup>(''p''−1)/2</sup> ≡&nbsp;±1&nbsp;+&nbsp;''Ap'' (mod ''p''<sup>2</sup>), ahol |''A''| abszolútértéke kicsi. {{OEIS|id=A195988}}.<ref name=Crandall>{{Citation | first=Richard E. |last=Crandall |first2=Karl |last2=Dilcher |first3=Carl |last3=Pomerance | title=A search for Wieferich and Wilson primes | journal=Math. Comput. | volume=66 | issue=217 | pages=433–449 | year=1997 | doi=10.1090/S0025-5718-97-00791-6 |url=http://gauss.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper111.pdf | postscript=.}}</ref><ref name=Knauer>{{Citation |author=Joshua Knauer; Jörg Richstein |title=The continuing search for Wieferich primes |journal=Math. Comp. |volume=74 |year=2005 |pages=1559–1563 |doi=10.1090/S0025-5718-05-01723-0 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/2005-74-251/S0025-5718-05-01723-0/S0025-5718-05-01723-0.pdf |postscript=. |issue=251}}</ref> Az ''A'' = 0 majdnem Wieferich-prímek éppen a Wieferich-prímek. A Wieferich-prímeket kereső kutatások majdnem Wieferich-prímeket is keresnek.<ref name=Dorais/><ref name=elmath>{{Cite web |url=http://www.elmath.org/index.php?id=main |title=About project Wieferich@Home |accessdate=2012-11-10 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120322140402/http://www.elmath.org/index.php?id=main |archivedate=2012-03-22 }}</ref> Az alábbi táblázat felsorolja az [1{{e|9}}, 3{{e|15}}] intervallumba eső majdnem Wieferich-prímeket.<ref>PrimeGrid, [http://www.primegrid.com/download/wieferich_list.pdf Wieferich & near Wieferich primes p < 11e15] {{Wayback|url=http://www.primegrid.com/download/wieferich_list.pdf |date=20121018120338 }}</ref> Ezt a határt P. Carlisle, R. Crandall és M. Rodenkirch közös kutatással érték el.<ref name="Ribenboim, 2004">{{Citation | last = Ribenboim | first = Paulo | authorlink = Paulo Ribenboim | title = Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde | publisher = Springer | year = 2004 | location = New York | page = 237 | language = German | url = https://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237 | isbn = 3-540-34283-4}}</ref><ref>{{Citation | last = Ribenboim | first = Paulo | authorlink = Paulo Ribenboim | title = My numbers, my friends: popular lectures on number theory | publisher = Springer | year = 2000 | location = New York | pages = 213–229 | isbn = 978-0-387-98911-2}}</ref>

{| class="wikitable" style="width:40%; border:0; text-align:right;"
|-
! p !! 1 vagy −1 !! A
|-
| 3520624567 || +1 || −6
|-
| 46262476201 || +1 || +5
|-
| 47004625957 || −1 || +1
|-
| 58481216789 || −1 || +5
|-
| 76843523891 || −1 || +1
|-
| 1180032105761 || +1 || −6
|-
| 12456646902457 || +1 || +2
|-
| 134257821895921 || +1 || +10
|-
| 339258218134349 || −1 || +2
|-
| 2276306935816523 || −1 || −3
|}

Dorais és Klyve<ref name=Dorais/> egy másik definíciót adott a majdnem Wieferich-prímekre. Ha ''p'' prím, pontosan akkor lesz majdnem Wieferich-prím, ha <math>\left|\tfrac{\omega(p)}{p}\right|</math> ahol <math>\omega(p)=\tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p</math> kis abszolútértékű, és megegyezik 2 Fermat-hányadosa ''p''-re modulo ''p'', ahol a modulo maradék a legkisebb abszolútértékű reprezentánst adja. A következő táblázat a ''p'' ≤ 6.7&nbsp;×&nbsp;10<sup>15</sup> prímeket tartalmazza, amelyekre <math>\left|\tfrac{\omega(p)}p\right|\leq 10^{-14}</math>.

{| class="wikitable" style="width:40%; border:0; text-align:right;"
|-
! ''p'' !! <math>\omega(p)</math> !! <math>\left|\tfrac{\omega(p)}{p}\right|\times 10^{14}</math>
|-
| 1093 || 0 || 0
|-
| 3511 || 0 || 0
|-
| 2276306935816523 || +6 || 0.264
|-
| 3167939147662997 || −17 || 0.537
|-
| 3723113065138349 || −36 || 0.967
|-
| 5131427559624857 || −36 || 0.702
|-
| 5294488110626977 || −31 || 0.586
|-
| 6517506365514181 || +58 || 0.890
|}
=== Az ''a'' alapú Wieferich-prímek ===
Egy prímszám, ''p'' ''a'' alapú Wieferich-prím, ha
: ''a''<sup>''p''&nbsp;−&nbsp;1</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>).<ref name="Solutions"/>

Egy ilyen prím nem lehet az ''a'' alap osztója, mert akkor 1 osztójának is kellene lennie.
=== Wieferich-párok ===
Két prímszám, ''p'' és ''q'' Wieferich-párt alkot, ha:
: ''p''<sup>''q'' − 1</sup> ≡ 1 (mod ''q''<sup>2</sup>) and ''q''<sup>''p'' − 1</sup> ≡ 1 (mod ''p''<sup>2</sup>)

Egy Wieferich-prím Wieferich-párt alkot a 2-vel, ha ''p''-be helyettesítve ''p'' ≡ 1 (mod 4). Jelenleg csak egyetlen ilyen példát ismerünk, a ''p''&nbsp;=&nbsp;1093-at. Összesen 6 Wieferich-párt ismerünk.<ref>{{mathworld| |urlname=DoubleWieferichPrimePair |title=Double Wieferich Prime Pair}}</ref>
=== Wieferich-számok ===
A ''w'' ≥ 3 páratlan egész Wieferich-szám, ha teljesül rá, hogy 2<sup>''φ''(''w'')</sup> ≡ 1 (mod ''w''<sup>2</sup>), ahol ''φ''(·) az [[Euler-függvény]]. Ha ''w'' Wieferich-szám és prím, akkor Wieferich-prím. A legkisebb Wieferich-számok:
: [[1093 (szám)|1093]], [[3279 (szám)|3279]], [[3511 (szám)|3511]], [[7651 (szám)|7651]], 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … {{OEIS|A077816}}

Belátható, hogy ha véges sok Wieferich-prím van, akkor a Wieferich-számok száma is véges. Pontosabban, ha az összes Wieferich-prím 1093 és 3511, akkor pontosan 104 Wieferich-szám van, és ezek azok, amelyeket mind ismerünk.<ref name="Banks, Luca">{{Citation | last1 = Banks | first1 = W. D. | last2 = Luca | first2 = F. | last3 = Shparlinski | first3 = I. E. | title = Estimates for Wieferich numbers | journal = The Ramanujan Journal | volume = 14 | issue = 3 | pages = 361–378 | publisher = Springer | year = 2007 | url = http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf | doi = 10.1007/s11139-007-9030-z | postscript = . }} {{Wayback|url=http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf |date=20130503091812 }} {{Cite web |url=http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf |title=Archivált másolat |accessdate=2012-11-12 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130503091812/http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf |archivedate=2013-05-03 }}</ref>

Általánosabban, ''w'' ''a'' alapú Wieferich-szám, ha egész, és ''a''<sup>''φ''(''w'')</sup> ≡ 1 (mod ''w''<sup>2</sup>).<ref>{{citation | first1=T. | last1=Agoh | first2=K. | last2=Dilcher | first3=L. | last3=Skula | title=Fermat Quotients for Composite Moduli | journal=Journal of Number Theory | volume=66 | issue=1 | year=1997 | pages=29–50 | doi=10.1006/jnth.1997.2162}}</ref>

Egy másik definíció szerint ''q'' Wieferich-szám, ha páratlan egész, és nem relatív prím <math>\tfrac{2^m-1}{q}</math>-hoz, ahol ''m'' a 2 multiplikatív rendje modulo ''q''. Az első néhány ilyen szám:
<ref>{{cite journal | last = Müller | first = H. | journal = Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg | volume = 28 | pages = 121–130 | year = 2009 | language = német | publisher = Mathematische Gesellschaft in Hamburg | chapter = Über Periodenlängen und die Vermutungen von Collatz und Crandall | url = https://books.google.com/books?ei=BTWeT5XzF_TV4QTTurGqDg&hl=de&id=hgYTAQAAMAAJ&dq=wieferich+21%2C+39%2C+55%2C+57%2C+105%2C+111%2C+147%2C+155%2C+165%2C+171%2C+183&q=21%2C+39%2C+55%2C+57%2C+105%2C+111%2C+147%2C+155%2C+165%2C+171%2C+183#search_anchor}}</ref>
: 21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, … {{OEIS|A182297}}

Eszerint a definíció szerint is, ha egy Wieferich-szám prím, akkor Wieferich-prím.

=== Lucas–Wieferich-prímek ===
Ha ''(P, Q)'' egész számokból alkotott számpár, akkor ''p'' hozzájuk asszociált Lucas–Wieferich-prím, ha ''U<sub>p-ε</sub>(P, Q)'' ≡ 0 (mod ''p''<sup>2</sup>), ahol ''U<sub>n</sub>(P, Q)'' a [[Lucas-sorozat]], és ''ε'' a ''P''<sup>2</sup> - 4''Q'' [[Legendre-szimbólum]]a modulo ''p''. A Wieferich-prímek egyben a (3, 2) párhoza asszociált Lucas–Wieferich-prímek.<ref name="McIntosh, 2007">{{Citation | last1 = McIntosh | first1 = R. J. | last2 = Roettger | first2 = E. L. | title = A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes | journal = Mathematics of Computation | volume = 76 | issue = 260 | pages = 2087–2094 | publisher = [[American Mathematical Society|AMS]] | year = 2007 | url = http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf | archiveurl = http://www.webcitation.org/5usCeulfL | archivedate = 2010-12-10 | doi = 10.1090/S0025-5718-07-01955-2}}</ref>

=== Wieferich-helyek ===
Legyen ''K'' számtest, vagy egy változós függvénytest egy véges test fölött, és legyen ''E'' elliptikus görbe! Ha ''v'' nem arkhimédészi helye a ''K'' test ''q<sub>v</sub>'' normájának, és az ''a'' ∈ K elemre ''v''(''a'') = 0, akkor ''v''(a<sup>''q<sub>v</sub>''-1</sup>-1) ≥ 1. ''v'' ''a'' alapú Wieferich-hely, ha ''v''(a<sup>''q<sub>v</sub>''-1</sup>-1) > 1. ''P'' alapú Wieferich-hely, ha ''P'' ∈ ''E'', és ''N<sub>v</sub>P'' ∈ ''E''<sub>2</sub>. Erős ''P'' alapú Wieferich-hely, ha ''P'' ∈ ''E'', és ''n<sub>v</sub>P'' ∈ ''E''<sub>2</sub>, ahol ''n<sub>v</sub>'' a ''P'' pont rendje modulo ''v'', és ''N<sub>v</sub>'' az ''E'' görbe redukciójának racionális pontjainak száma modulo ''v''.<ref>{{Citation | first = J. F. | last = Voloch | title = Elliptic Wieferich Primes | journal = Journal of Number Theory | volume = 81 | year = 2000 | pages = 205–209 | doi = 10.1006/jnth.1999.2471}}</ref>

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
{{Prímszámok osztályozása}}
[[Kategória:Számelmélet]]