Transzcendens számok forrásának megtekintése

A [[matematika|matematikában]] azokat a [[Valós számok|valós]] vagy [[komplex számok|komplex]] számokat nevezik '''transzcendensnek''', amelyek nem [[algebrai szám]]ok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós [[polinom]]nak, más szóval nem megoldásai

:<math> a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 </math>

alakú egyenletnek, ahol ''n'' ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha [[majdnem minden]] szám transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában [[Georg Cantor|Cantor]], [[1874]]), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az ''[[Euler-féle szám|e]]'' számról [[Charles Hermite|Hermite]] [[1873]]-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve [[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] [[1882]]-ben bebizonyította, hogy [[Pí (szám)|π]] is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha ''β''<sub>1</sub>, ..., ''β''<sub>n</sub> egymástól, ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>n</sub> pedig nullától különböző algebrai számok, akkor
:<math>a_1 e^{\beta_1} + \cdots+a_n e^{\beta_n} \ne 0.</math>
Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes ''e''<sup>iπ</sup>+1=0 [[Euler-összefüggés]]. 1934-ben [[Alekszandr Oszipovics Gelfond]] és [[Theodor Schneider]] egymástól függetlenül igazolták, hogy ha ''a''∉{0,1}, ''a'' algebrai szám, ''b'' pedig irracionális algebrai szám, akkor ''a''<sup>b</sup> transzcendens, ilyen szám például a &radic;{{overline|2}}<sup>&radic;{{overline|2}}</sup>.

Az [[1960-as évek]]ben [[Alan Baker]] bebizonyította, hogy ha ''α''<sub>1</sub>, ..., ''α''<sub>n</sub> nemnulla algebrai számok, amelyekre log ''α''<sub>1</sub>, ..., log ''α''<sub>n</sub> lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log ''α''<sub>1</sub>, ..., log ''α''<sub>n</sub> lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.<ref>https://books.google.hu/books?id=SmsCqiQMvvgC&pg=PA10&cad=0_0#PPA10,M1</ref>

==Bizonyítottan transzcendens számok==
Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

* ''[[Euler-féle szám|e]]<sup>a</sup>'', ha ''a'' nullától különböző [[algebrai szám]] (a [[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).
*[[Pí (szám)|π]] (a [[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).
* ''e''<sup>π</sup>, a [[Gelfond-állandó]]{{Wd|Q306375}}, továbbá ''e''<sup>−π/2</sup>=''i'' <sup>i</sup> (a Gelfond–Schneider-tétel alapján).
* ''a<sup>b</sup>'', ahol ''a'' algebrai és nem 0 vagy 1, ''b'' pedig irracionális algebrai szám (a Gelfond–Schneider-tétel alapján), különösen:
::<math>2^\sqrt{2},</math> a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).
*A lánctört-állandó, Carl Ludwig Siegel (1929) 
:<math>
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{6+\ddots}}}}}}
</math>
*[[Szögfüggvények|sin]](''a''), cos(''a'') és tan(''a''), valamint multiplikatív inverzük: cosec(''a''), sec(''a'') és cot(''a''), bármely nem nulla ''a'' algebrai számon véve (a [[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).
*a koszinuszfüggvény attraktív [[fixpont]]ja, ami a <math>cos(x)=x</math> egyenlet egyetlen megoldása (a [[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).<ref name="wolfram_dottie">{{cite web|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Dottie Number|url=http://mathworld.wolfram.com/DottieNumber.html|website=Wolfram MathWorld|publisher=Wolfram Research, Inc.|accessdate=23 July 2016}}</ref>
*[[Természetes logaritmus|ln]](''a''), ha ''a'' algebrai szám és nem 1, a logaritmusfüggvény bármely ágán (a [[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).
*''[[Lambert-féle W-függvény|W]]''(''a''), ha ''a'' algebrai szám és nem 0, a Lambert-féle W-függvény bármely ágán (a [[Lindemann–Weierstrass-tétel]] alapján).
*[[Gamma-függvény|Γ]](1/3),<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables ({{ISBN|2-7056-1407-9}}). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> Γ(1/4),<ref name = "Chudnovsky">{{cite book | last=Chudnovsky | first=G. V. | title=Contributions to the Theory of Transcendental Numbers | isbn=0-8218-1500-8 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1984 }} via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> és Γ(1/6).<ref name = "Chudnovsky"/> a Gamma-függvény adott értékei.
*<math>C</math>, a [[Cahen-állandó]]{{Wd|Q1025756}} (0,64341054629...).<ref>{{harvnb|Davison|Shallit|1991}}</ref>
*<math>C_{10} </math>, a [[Champernowne-állandó]] (0,12345678910111213141516...) .<ref>{{cite journal|author=K. Mahler|title=Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen|journal=Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A.|issue=40|year=1937|pages=421–428}}</ref><ref>Mahler (1976) p.12</ref>
*<math>\Omega</math>, a [[Chaitin-állandó]]{{Wd|Q735775}} (ugyanis értékét nem lehet kiszámítani).<ref>{{cite book | title=Information and Randomness: An Algorithmic Perspective | url=https://archive.org/details/informationrando00calu_934 | series=Texts in Theoretical Computer Science |first=Cristian S. |last=Calude | edition=2nd rev. and ext. | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=3-540-43466-6 | zbl=1055.68058 | page=[https://archive.org/details/informationrando00calu_934/page/n257 239] }}</ref>
* a Fredholm-szám<ref>Allouche & Shallit (2003) pp.385,403</ref><ref name=Sha1999>{{cite book | editor1-first=Dennis A. | editor1-last=Hejhal | editor1-link=Dennis Hejhal | editor2-last=Friedman | editor2-first=Joel | editor3-last=Gutzwiller | editor3-first=Martin C. | editor3-link=Martin Gutzwiller | editor4-last=Odlyzko | editor4-first=Andrew M. | editor4-link=Andrew Odlyzko | title=Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996 | series=The IMA volumes in mathematics and its applications | volume=109 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1999 | isbn=0-387-98824-6 | last=Shallit | first=Jeffrey | author1-link=Jeffrey Shallit | chapter=Number theory and formal languages | pages=547–570 }}</ref>
:<math>\sum_{n=0}^\infty 2^{-2^n}</math>
:vagy általánosabban bármely, a következő alakban felírható szám:
::<math>\sum_{n=0}^\infty \beta^{2^n}</math>
::ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.<ref name=Lox1988>{{cite book | first=J. H. | last=Loxton | chapter=13.  Automata and transcendence | title=New Advances in Transcendence Theory | url=https://archive.org/details/newadvancestrans1986bake | editor1-link=Alan Baker (mathematician) | editor1-first=A. |  editor1-last=Baker | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=0-521-33545-0 | zbl=0656.10032 | pages=[https://archive.org/details/newadvancestrans1986bake/page/n113 215]–228 }}</ref>
* <math>L</math>, a [[Liouville-állandó]]{{Wd|Q1755697}}
:<math>\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!};</math>
:vagy általánosabban bármely, a következő formában felírható szám:
::<math>\sum_{n=1}^\infty \beta^{n!}</math> 
::ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.
* <math> \tau </math>, a [[Prouhet–Thue–Morse-állandó]]{{Wd|Q2994918}}.<ref>{{cite journal | first=Kurt | last=Mahler | authorlink=Kurt Mahler | title=Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen | journal=[[Math. Annalen]] | volume=101 | year=1929 | pages=342–366 | jfm=55.0115.01 | doi=10.1007/bf01454845}}</ref><ref>Allouche & Shallit (2003) p.387</ref>
* bármely szám, melynek számjegyei valamely számrendszerben [[Sturmian-szó]]<nowiki/>t{{Wd|Q3325046}} képeznek.<ref>{{cite book | last=Pytheas Fogg | first=N. | others=Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. | title=Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1794 | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=3-540-44141-7 | zbl=1014.11015 }}</ref>
* bármely β > 1-re
:<math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor};</math>
:ahol <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math> az [[egészrész]]-függvény.

==Nem bizonyítottan transzcendens számok==
Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:
* A π és az [[Euler-féle szám|''e'']] legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + ''e'', π − ''e'', π''e'', π/''e'', π<sup>π</sup>, ''e''<sup>''e''</sup>, π<sup>''e''</sup>, π<sup>&radic;{{overline|2}}</sup>, ''e''<sup>π<sup>2</sup></sup> nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + ''e''<sup>π</sup>, π''e''<sup>π</sup> és az ''e''<sup>π&radic;''{{overline|n}}''</sup> (bármely pozitív egész ''n''-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.<ref>{{MathWorld|IrrationalNumber|Irrational Number}}</ref><ref>[http://mr.crossref.org/iPage/?doi=10.1070%2FSM1996v187n09ABEH000158 Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319]</ref>
* A ''γ'' [[Euler–Mascheroni-állandó]]  (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
* A [[Catalan-állandó]], amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
* A ζ(3) [[Apéry-állandó]], (amit [[Roger Apéry|Apéry]] irracionálisnak talált)
* A [[Riemann-féle zéta-függvény]] páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
* A δ és α [[Feigenbaum-állandók]] 
* A [[Mills-állandó]].

Kapcsolódó sejtések:
* [[Schanuel-sejtés]]
* [[négy exponenciális-sejtés]].

==Általánosítás==
Általánosan, ha <math>L/K</math> testbővítés, akkor lehet beszélni arról, hogy <math>L</math> egyes elemei algebraiak vagy transzcendensek <math>K</math> fölött.
==Történetük==
Nagy 18. századi matematikusok, mint  [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (omnem rationem transcendunt) és [[Leonhard Euler]] már rendelkeztek a transzcendencia fogalmával, habár nem adtak rá egzakt definíciót. Euler nehezen megfogható számokról beszélt, melyeket túllépik az algebrai módszerek hatását. 1748-ban ''Introductio in Analysin Infinitorum'' című tankönyvében arról írt, hogy ha <math>a \neq 1</math> pozitív racionális szám, és <math>b</math> pozitív egész szám, ami nem négyzetszám, akkor <math>a^{\sqrt{b}}</math> nem algebrai, de nem irracionális; ez utóbbin algebrai irracionális számot értve. Ezt 1934-ben egy általánosabb eredmény részeként bizonyította az orosz [[Alekszandr Oszipovics Gelfond]], illetve a német [[Theodor Schneider]] is igazolta. A két bizonyítás lényegi pontokon különbözik.

[[Joseph Liouville]] 1844-ben elsőként látta be transzcendens számok létezését, sőt explicit konstrukcióval példát is adott. Cikkében megmutatta, hogy minden <math>x</math> legalább másodfokú algebrai számhoz van egy <math>c>0</math> konstans, hogy minden <math>p/q</math> approximációra:

:<math>\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^n}</math>

Innen következik, hogy a Liouville-konstans is transzcendens:

:<math>L = \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0{,}110001000000000000000001000\dots</math>

Lásd: [[b:de:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Approximationssatz von Liouville|Beweis des Approximationssatz von Liouville im ''Beweisarchiv.'']]

[[Georg Cantor]] 1874-ben belátta, hogy nemcsak hogy vannak transzcendens számok, hanem hogy [[majdnem]] minden [[valós számok|valós szám]] transzcendens. Cantor konkrétan azt látta be, hogy az algebrai számok halmaza [[Megszámlálhatóság|megszámlálható]] ([[számosság]]a megegyezik a természetes számok halmazával), miközben a valós számok halmaza ennél nagyobb, kontinuum számosságú.

Az <math>e</math> és a <math>\pi</math> transzcendenciáját [[Charles Hermite]], illetve [[Ferdinand von Lindemann]] vezette le elsőként. Ezeket a bizonyításokat más matematikusok sokat egyszerűsítették, [[David Hilbert]] (1862–1943) bizonyítása 1893-ban jelent meg, „Über die Transcendenz der Zahlen <math>e</math> und <math>\pi</math>“ című dolgozatában.<!--Vajon milyen nyelven írt?-->

Lásd:[[b:de:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π]].

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Transzcendenciaelmélet]]
* [[Diofantikus approximáció]]
* [[Algebrai szám]]
* [[Pí (szám)]]
* [[Euler-féle szám]]

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Irodalom ==
* {{cite book |last=Baker |first=Alan |authorlink= |coauthors= |editor= |others= |title=Transcendental Number Theory |origdate= |origyear=1975 |origmonth= |url=https://books.google.hu/books?id=SmsCqiQMvvgC&pg=PR5&source=gbs_selected_pages&cad=0_1 |format= |accessdate= |accessyear= |accessmonth= |edition=reissue, reprint, illustrated, revised |date= |year=1990 |month= |publisher=Cambridge University Press |location= |language= |id={{ISBN|0-521-39791-X}}, {{ISBN|978-0-521-39791-9}} |doi=10.2277/052139791X |pages= |chapter= |chapterurl= |quote= }}, ''[[A Google szolgáltatásainak listája#Book Search (Könyvkeresés)|Google Könyvkereső]]'' {{en}}
* {{cite web |url=http://www.math.u-szeged.hu/~klukovit/Hallgatoknak/Szamelm/szamelm0708/al-tra1.pdf |title=Algebrai és transzcendens számok |accessdate=2010-10-12 |author=Klukovits Lajos |format=PDF }}{{Halott link|url=http://www.math.u-szeged.hu/~klukovit/Hallgatoknak/Szamelm/szamelm0708/al-tra1.pdf |date=2018-11 }}
* [[Alan Baker (Mathematiker)|Alan Baker]]: ''Transcendental number theory.'' Reprinted edition. Cambridge University Press, London u.&nbsp;a. 1990, {{ISBN|0-521-39791-X}} (Ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
* Peter Bundschuh: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1998, {{ISBN|3-540-64630-2}} (Bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
* [[David Hilbert]]: ''Ueber die Transcendenz der Zahlen <math>e</math> und <math>\pi</math>.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, {{doi|10.1007/BF01443645}}.
* Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: ''Abstract Algebra and Famous Impossibilities.'' Corrected 2nd printing. Springer, New York u.&nbsp;a. 1994, {{ISBN|0-387-97661-2}} (Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für <math>\pi).</math>.)
* [[Oskar Perron]]: ''Irrationalzahlen.'' (= ''Göschens Lehrbücherei.'' Gruppe 1: ''Reine Mathematik.'' Bd. 1, {{ZDB|503797-9}}). de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 1921.
* [[Theodor Schneider (Mathematiker)|Theodor Schneider]]: ''Einführung in die transzendenten Zahlen.'' (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.'' Bd. 81, {{ISSN|0072-7830}}). Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1957.
* Andrei Borisovich Shidlovskii: ''Transcendental numbers.'' (= ''De Gruyter Studies in Mathematics.'' Bd. 12). de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 1989, {{ISBN|3-11-011568-9}} (Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).

==Fordítás==
{{fordítás|de|Transzendente Zahl}}
{{wikiszótár|a|Transzcendens szám}}

{{számhalmazok}}
{{csonk-matematika}}
{{Portál|matematika}}

[[Kategória:Polinomok]]
[[Kategória:Analízis]]
[[Kategória:Valós számok]]
[[Kategória:Komplex számok]]
[[Kategória:Transzcendens számok]]