Testháló forrásának megtekintése

[[Fájl:Cube net pic.png|bélyegkép|A kocka 11 testhálója]]

'''Testhálónak''' nevezzük egy [[poliéder]]{{jegyzet*|megj=Általában egy test, bár nem minden testre igaz}} lapjainak [[Sík (geometria)|síkba]] vetítését úgy, hogy azok a szomszédsági viszonyaikat részben megtartják. Ez alatt értendő, hogy ha két lap a hálóban szomszédos, akkor azoknak a poliéderen van közös élük, azonban két lap közös éle nem szükségszerűen teszi a hálóban őket szomszédossá.

Hagyományosan úgy lehet ezt értelmezni, hogy a testháló az a síkidom, aminek összehajtogatásával az adott poliédert megkaphatjuk. Ilyen módon a testhálóknak lényeges szerepük van például az [[origami]]ban.

A testhálónak szerep jut az [[Euler-féle poliédertétel]] bizonyításában, valamint a kombinatorikus geometriában.

Érdekes kérdés lehet, hogy egy adott testnek hányféle testhálója lehet. Nyilvánvalóan lehet egynél több, erre akár konkrét példákat is találhatunk. Szintén nem kézenfekvő, hogy vajon minden testnek van-e testhálója. Érdekes probléma a magasabb dimenziós testek hálójának létezése.

== A testháló értelmezése ==

A testháló naív értelmezése matematikailag nehezen kezelhető. Sokkal többet mond azonban, ha észrevesszük a poliéderek egy lényeges tulajdonságát: a csúcsaikat élek kötik össze, az élek sorozata pedig egy lapot, azaz síktartományt határoz meg. Ez feltűnően hasonlít a gráfelmélet néhány alapvető fogalmára, ez motivál arra, hogy a testhálót síkgráfként értelmezzük.

Legyen az <math>A_1;\,A_2;\dots;A_n</math> pontsorozat a síkon és a <math>B_1B_2\dots B_m\,(m\leq n)</math> poliéder. A pontsorozathoz rendelt <math>\mathcal{G}</math> összefüggő síkgráfot a poliéder testhálójának nevezzük, ha teljesülnek az alábbi feltételek:
* <math>\mathcal{G}</math> minden pontjának megfelel a poliéder pontosan egy csúcsa és minden poliédercsúcs képe valamelyik gráfcsúcsnak;{{jegyzet*|Azaz létezik [[Szürjekció|szürjektív]] függvény a gráf csúcsaiból a poliéder csúcsaira}}
* Ha a gráf két csúcsa között fut él, akkor a megfelelő csúcsok között van a testnek is éle;
* A gráf minden tartományának megfeleltethető a poliéder egy-egy lapja, aminek csúcsai a gráf megfelelő csúcsaihoz, élei a gráf megfelelő éleihez vannak rendelve.
* A gráf tartományi egybevágóak a megfelelő lapokkal.{{jegyzet*|Természetesen itt a gráf ábrájára kell gondolni.}}

Az világos, hogy a testháló ezen értelmezése nem egyértelmű, egy testnek többféle testhálója is lehet, a számuk ráadásul a csúcsok és élek számának növekedésével gyorsan nő. Például a tetraédernek négy, a kockának már 11 hálója létezik.

== Néhány test hálója ==

=== Platoni testek ===
<gallery>
File:Tetrahedron flat.svg|Tetraéder
File:Hexahedron flat color.svg|Hexaéder
File:Octahedron flat.svg|Oktaéder
File:Dodecahedron flat.svg|Dodekaéder
File:Icosahedron flat.svg|Ikozaéder
</gallery>

== Megjegyzések ==
{{megjegyzések}}

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
*{{cite book
|title=Geometria
|author=Pelle Béla
|year=1979
|editor=Tankönyvkiadó
|isbn=2310005476518
}}
* {{cite book
|title=A geometriák alapjai
|author=Harold Scott Macdonald Coxeter
|editor=Typotex Elektronikus Kiadó Kft.
|year=2012
|location=Budapest
|translate=Sztrókay Kálmán
|isbn=	9789632791210
}}
* {{cite book
|title=Matematikai kézikönyv
|author=I. N. Bronstejn
|coauthors=K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig
|year=2000
|editor=Typotex
|isbn=9789639326538
}}

[[Kategória:Mértani alakzatok]]
[[Kategória:Kombinatorikus geometria]]
[[Kategória:Gráfelméleti objektumok]]