Természetes számok forrásának megtekintése

'''Természetes számok'''nak nevezik
* a [[Negatív és nemnegatív számok#Nemnegatív számok|nemnegatív]] [[egész számok]]at, tehát a [[0 (szám)|0]], [[1 (szám)|1]], [[2 (szám)|2]], [[3 (szám)|3]], [[4 (szám)|4]] … számtani sorozat tagjait,<ref>Hajnal Imre: ''Matematika I.'', Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1987</ref><ref>Szász Gábor: ''Matematika I.'', Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 21. o.</ref><ref>''Négyjegyű függvénytáblázatok – Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések'', Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, {{ISBN|963-18-7970-4}}</ref>
* más értelmezés szerint a [[Negatív és nemnegatív számok|pozitív]] egész számokat, tehát az 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait.<ref>''Matematikai kislexikon'', Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1972</ref>

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.

A természetes számok [[Halmaz (matematika)|halmaz]]át a [[Matematika|matematikában]] egy tipográfiailag kiemelt [[Fettelés|félkövér]] <math>\mathbf{N}</math> vagy „blackboard bold” (kontúros) <math>\mathbb{N}</math> (Unicode: U+2115) betűvel jelölik (a latin ''naturalis'', azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának [[Számosság|megszámlálhatóan végtelen számú eleme van]].

A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.

== Történelmi vonatkozások ==
=== A „természetes” elnevezés eredete ===

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a [[19. század]] végén alakult ki. [[Richard Dedekind|R. Dedekind]], akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy [[1872]]-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).<ref>Richard Dedekind: ''[http://www.gutenberg.org/files/21016/21016-pdf.pdf A folytonosság és az irracionális számok]'' (angol nyelven, W. W. Beman ford.); 15. old.</ref><!--<ref>er. ...</ref>--> [[Grosschmid Lajos]] magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében<ref>[[Grosschmid Lajos]]: ''A négyzetes binóm-kongruencziák gyökeiről''. Mathematikai és Physikai Lapok XX. (1911). Kiadja a Mathematikai és Physikai Társulat. Teljes cikk 4.-72. old., hivatkozások: 53. és 61. o.</ref> (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.<ref>[[Dirichlet|Dirichlet, P. G. L.]] - [[Richard Dedekind|Dedekind, R.]]: ''Vorlesungen über Zahlentheorie''. Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1894.</ref> XI. Suppl. 436. l.”).

=== Természetes szám-e a nulla? ===

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:
:„''természetes számok: pozitív egész számok;''”<ref>''Magyar értelmező kéziszótár'' (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)</ref>
:„''A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.''”<ref>Obádovics József Gyula: ''Matematika'' (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal</ref>
:„''Tegyük fel, hogy <math>A\subset\mathbb{N}</math>, és
::''i) <math>1\in\mathbb{N}</math>,
::''ii) minden <math>n\in\mathbb{N}</math> esetében <math>(n+1)\subset A</math>.
::''Ekkor <math>A=\mathbb{N}</math>.
::...
::'' ... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
::''<math>\mathbb{N}^*:=\mathbb{N}\cup\{0\}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;jelölést.''”<ref>Kósa András: ''Ismerkedés a matematikai analízissel'' (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal</ref>

A [[19. század]]ban, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket <math>\mathbb{N}_0</math>, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig <math>\mathbb{N}_1</math> vagy <math>\mathbb{N}^+</math> szimbólummal jelölik{{Citation needed}}; az <math>\mathbb{N}</math> jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az <math>\mathbb{N}^*</math> jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy [[Giuseppe Peano|G. Peano]], akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, ''Formulaire de mathématiques'' II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett '''N'''<sub>0</sub> és '''N'''<sub>1</sub> jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.<ref>Kennedy, Hubert C.: ''[http://ac.els-cdn.com/0315086074900317/1-s2.0-0315086074900317-main.pdf?_tid=d05ff586-e2e6-11e2-bcc5-00000aab0f27&acdnat=1372749354_a68c0d1207054593de7f2befd6233d27 Peano's Concept of Number]{{Halott link|url=http://ac.els-cdn.com/0315086074900317/1-s2.0-0315086074900317-main.pdf?_tid=d05ff586-e2e6-11e2-bcc5-00000aab0f27&acdnat=1372749354_a68c0d1207054593de7f2befd6233d27 |date=2019-07 }}''. Hist. Mat. I./4. (1974. nov.). 387-408. o. Hiv. beill.: 2013-07-02.</ref>

== A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika ==
{{Bővebben|Peano-aritmetika}}
Minden [[matematika]]i természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az [[axiomatikus-deduktív módszer|axiomatikus elméletet]], melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint [[elsőrendű nyelv|elsőrendű elmélet]] a [[Peano-aritmetika]], jelben: '''PA''' ([[Giuseppe Peano]] olasz matematikus tiszteletére).

A '''PA''' ''alapfogalmai'' a 0 konstansjel (individuumnév), melyet '''nullá'''nak nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet '''rákövetkezés''' vagy '''szukceszor''' operátornak mondunk (szemléletesen ''n' '' az ''n'' számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az '''összeadás''' és a <math>\cdot</math> függvényjel, ami a '''szorzás'''.

A '''PA''' ''axiómái'' a következők (az ''n'', ''m'', ''k'', … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):
:(P1) n' <math>\neq</math> 0
::(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
:(P2) n' = m' <math>\Rightarrow</math> n = m
::(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
:(P3) n + 0 = n
::(a nulla alaptulajdonsága)
:(P4) n + m' = (n + m)'
::(összeg rákövetkezője)
:(P5) n <math>\cdot</math> 0 = 0
::(nullával való szorzás)
:(P6) n <math>\cdot</math> m' = (n <math>\cdot</math> m) + n
::("elődisztributivitás")
:(P7) ( F(0) & (F(n) <math>\Rightarrow</math> F( n' ) ) ) <math>\Rightarrow</math> F(n)
::(a [[teljes indukció]] formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy
:<math>0\neq 1</math>

== A természetes számok a halmazelméletben ==
A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +, <math>\cdot</math>) rendezett 5-öst, ahol ''N'' halmaz, 0 ∈ N, ' :N<math>\rightarrow</math> N függvény, +:N <math>\times</math> N <math>\rightarrow</math> N, és <math>\cdot</math>:N <math>\times</math> N <math>\rightarrow</math> N pedig művelet, melyekre teljesülnek a '''PA''' rendszer axiómái.
=== Standard modell ===
A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a
:<math>\{ \emptyset, \;\{\emptyset\}, \;\{\emptyset, \{\emptyset\} \},\; \{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}, \ldots \}</math>
halmaz. Itt rendre
:<math>0:=\emptyset</math>
:<math>1:=\{\emptyset\}=\{0\}</math>
:<math>2:=\{\emptyset, \{\emptyset\} \}=\{0,1\}</math>
:<math>3:=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}</math>
:<math>\ldots\,</math>

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), [[számosság]]át az
:<math>\aleph_0</math>
(alef null – itt <math>\aleph</math> a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint [[rendszám (halmazelmélet)|rendszámra]] gondolunk rá, akkor az
:<math>\omega\,</math>
jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

''Rendezési tulajdonságok:'' A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) [[jólrendezett halmaz|jólrendezett]], azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

== Algebrai tulajdonságok ==

''Algebrai tulajdonságok:'' A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív [[félcsoport]], a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát '''a természetes számok additív félcsoportjá'''nak, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát '''a természetes számok multiplikatív félcsoportjá'''nak nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.
==Axiomatizálás==
Először Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon.<ref name="Dedekind">Dedekind: ''Was sind und was sollen die Zahlen?'' Braunschweig 1888.</ref> Ettől függetlenül  Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg.<ref name="Peano">Peano: ''Arithmetices principia nova methodo exposita.'' Turin 1889.</ref><ref>Zur Unabhängigkeit von Dedekind siehe: Hubert Kennedy: ''The origins of modern Axiomatics.'' In: ''American Mathematical monthly.'' 79 (1972), S.&nbsp;133–136. Auch in: Kennedy: ''Giuseppe Peano.'' San Francisco 2002, S.&nbsp;35&nbsp;f.</ref> Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát.<ref>Rautenberg (2007), Kap.&nbsp;11.</ref> Más, hasonló axiómarendszerek a  Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.

A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredményt [[Dedekind-féle egyértelműségi tétel]]nek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.
==Neumann János modellje==
[[Neumann János]]nak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:

:<math>\begin{alignat}{3}
  0 &:=    && &&\quad\ \emptyset\\
  1 &:= 0' &&= \{0\}          &&= \{ \emptyset \}\\
  2 &:= 1' &&= \{0, 1\}       &&= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}\\
  3 &:= 2' &&= \{0, 1, 2\}    &&= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}\\
    &\vdots&& &&\\
  (n+1) &:= n' &&= \{0,1,\ldots,n\} &&= n \cup \{n\}
\end{alignat}</math>

A kiindulási elem a „0“ a <math>\emptyset</math> üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.

A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.

Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számok <math>\N</math> vagy <math>\N_0</math> halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.

A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.
==A valós számok részhalmaza==
A természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.<ref>Martin Barner, Friedrich Flohr: ''Analysis I.'' Walter de Gruyter, Berlin 2000, {{ISBN|978-3110167795}}, S.&nbsp;21–23.</ref>

A valós számok egy <math>M</math> részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:
# 0 eleme <math>M</math>-nek
# Ha <math>x</math> eleme az <math>M</math> halmaznak, akkor <math>x+1</math> is eleme az <math>M</math> halmaznak.

Ekkor <math>\N_0</math> az <math>\R</math> induktív halmazainak metszete.

== További információk ==
* [https://youproof.hu/kriptografia/11-peano-axiomarendszer-termeszetes-szam-muvelet-osszeadas-kommutativitas-asszociativitas-teljes-indukcio Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít]
* [https://youproof.hu/kriptografia/12-szorzas-disztributivitas-teljes-indukcio-indirekt-bizonyitas-relacio-teljes-rendezes-rendezett-halmaz Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz]

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

==Források==
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Natural_number Természetes számok]
*[http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html Természetes számok a MathWorld-ön]
* [[Bertrand Russell]]: ''Einführung in die mathematische Philosophie.'' Drei-Masken, München 1919, F. Meiner, Hamburg 2006, {{ISBN|3-7873-1602-7}}.
* Johannes Lenhard, Michael Otte (Hrsg.): ''Einführung in die mathematische Philosophie.'' F. Meiner, Hamburg 2002, {{ISBN|3-7873-1602-7}}.
* [[Harald Scheid]]: ''Zahlentheorie''. 2.&nbsp;Auflage. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, {{ISBN|3-411-14842-X}}.
* {{cite book |author=Wolfgang Rautenberg
|title=Messen und Zählen
|publisher=Heldermann Verlag
|location=Lemgo
|year=2007
|ISBN=978-3-88538-118-1}}
==Fordítás==
*{{fordítás|de|Natürliche Zahl}}

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[A természetes számok összeadása]]
* [[:Kategória:Számok|Számok]]

{{Számhalmazok}}
{{Nemzetközi katalógusok}}
{{Portál|Matematika}}

[[Kategória:Egész számok]]