Tökéletes számok forrásának megtekintése

A [[számelmélet]]ben '''tökéletes számnak''' nevezzük azokat a [[természetes számok]]at, amelyek megegyeznek az önmaguknál kisebb [[oszthatóság|osztó]]ik összegével. Vagy, ami ezzel ekvivalens, hogy tökéletes szám minden olyan ''n'' egész, amelyre az [[osztóösszegfüggvény]] ''&sigma;''(''n'')=2''n'' (azaz összes osztójának összege pont a szám 2-szerese), vagy a valódi osztók összege ''s''(''n'')=''n''. A [[társas számok]] speciális esetei.

A definíció az ókorból származik, már [[Eukleidész (matematikus)|Eukleidész]]: [[Elemek]] c. művében is megjelenik (VII.22), ''τέλειος ἀριθμός'' (''tökéletes'', ''ideális'' vagy ''teljes szám'') néven. Eukleidész meghatározott egy képzési szabályt is (IX.36), miszerint <math>q(q+1)/2</math> páros tökéletes szám, amennyiben <math>q = 2^p - 1</math> alakú, <math>p</math> és <math>q</math> pedig prímek – az ilyen alakú számokat jelenleg [[Mersenne-prímek]]nek nevezzük. Jóval később [[Euler]] igazolta, hogy az összes páros tökéletes szám ebben az alakban írható fel.<ref name="The Euclid–Euler theorem">Caldwell, Chris, [https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html "A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime"].</ref> Ez az [[Eukleidész–Euler-tétel]].

Nem ismeretes, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, ahogy az sem, hogy létezik-e végtelen sok tökéletes szám.

==Példák==
Az első négy tökéletes szám:

:6, 28, 496, 8128... {{OEIS|id=A000396}}.

A legkisebb tökéletes szám a [[6 (szám)|6]], amelynek önmagánál kisebb osztói az [[1 (szám)|1]], a [[2 (szám)|2]] és a [[3 (szám)|3]], ezek [[összeg]]e pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a [[28 (szám)|28]], melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a [[496 (szám)|496]] és a [[8128 (szám)|8128]].

== Páros tökéletes számok ==
{{megoldatlan|A|matematika|Létezik-e végtelen sok tökéletes szám?}}
Az [[Ókori Görögország|ókori görögök]] csak a négy legkisebb tökéletes számot (6, 28, 496, 8128) ismerték.

Az ókori görög matematikus, [[Eukleidész (matematikus)|Eukleidész]] felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2<sup>''n''&minus;1</sup>(2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1) alakban:

:''n'' = 2-re: &nbsp; 2<sup>1</sup>(2<sup>2</sup> &minus; 1) = 6
:''n'' = 3-ra: &nbsp; 2<sup>2</sup>(2<sup>3</sup> &minus; 1) = 28
:''n'' = 5-re: &nbsp; 2<sup>4</sup>(2<sup>5</sup> &minus; 1) = 496
:''n'' = 7-re: &nbsp; 2<sup>6</sup>(2<sup>7</sup> &minus; 1) = 8128

Észrevéve, hogy a fent említett ''n''-ekre 2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 minden esetben [[prímszámok|prímszám]], Eukleidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 prím, 2<sup>''n''&minus;1</sup>(2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1) tökéletes szám.

Az ókori matematikusok az első négy szám megfigyelése alapján további feltételezésekkel éltek, ám ezek zöme hamisnak bizonyult. Az egyik ilyen feltételezés szerint az ötödik tökéletes szám az ''n'' = 11 értékre adódik, mivel az első négy esetben ''n'' az első négy prímszám (2, 3, 5, 7) értékét veszi fel, „logikusnak” tűnt tehát, hogy az ötödik prímszám az ötödik tökéletes számot adja. Ez azonban nem igaz. Hasonló módon hamisnak bizonyultak a következő feltételezések:

* Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll.
* A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek.

Az ötödik tökéletes szám (33&nbsp;550&nbsp;336) nyolc számjegyből áll, megdöntve a második feltételezést, viszont valóban 6-ra végződik. Azonban a következő, hatodik tökéletes szám (8&nbsp;589&nbsp;869&nbsp;056) is 6-ra végződik, tehát a harmadik feltételezés is hamis. (Az, hogy minden páros tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik, könnyen megmutatható.)

Az is megmutatható, hogy ha 2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 prím, akkor ''n'' is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 alakban, [[Mersenne-prímek]]nek nevezzük a [[17. század]]ban élt francia szerzetes, [[Marin Mersenne]] után.

[[Nikomakhosz Geraszénosz]] (Kr. u. I. szd. vége) ''Arithmétikhé eiszagogé'' ''(Bevezetés az aritmetikába)'' c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Eukleidész képlete, 2<sup>''n''&minus;1</sup>(2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána [[Leonhard Euler]] bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltetés létezik.

Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e. De nem lehetnek túl sokan: nulla sűrűségű sorozatot alkotnak (H.-J. Kanold, 1954).

A [[GIMPS]] elosztott számítási projekt megmutatta, hogy az első 44 tökéletes szám a 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>&nbsp;−&nbsp;1) a következő ''p'' értékekre
:''p'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657 {{OEIS|id=A000043}}.<ref>[http://www.mersenne.org/report_milestones/ GIMPS Milestones Report]. Retrieved 2014-02-24</ref>
Öt ennél nagyobb tökéletes számot is sikerült találni, ezeknél ''p'' = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, illetve 74207281, de lehetnek még más ''p'' értékek ezek közelében.

A tökéletes számok osztóinak (az 1-et és saját magukat is beleszámítva) reciprok értékeit összeadva mindig 2 lesz az eredmény. Pl. 28 esetében: <math>1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2</math>

Az ismert többjegyű tökéletes számok számjegyeit egymással összeadva, majd az eredmény számjegyeit újra összeadva, mindaddig amíg egy számjegyet kapunk, mindig 1 lesz a végeredmény. Vagyis a 6-ot leszámítva mindegyik kilences maradéka 1. Pl. a 496 esetében: 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0='''1'''

A tökéletes számok (a 6-ot kivéve) a [[hatos számrendszer]]ben két 4-esre végződnek.

A 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>&nbsp;−&nbsp;1) alak mellett minden tökéletes szám egyben a {{nowrap|(2<sup>''p''</sup>&nbsp;−&nbsp;1)-edik}} [[háromszögszám]] (és így megegyezik az egész számok összegével 1-től {{nowrap|2<sup>''p''</sup>&nbsp;−&nbsp;1-ig}}) és a {{nowrap|2<sup>''p''−1</sup>-edik}} [[hatszögszám]]. Továbbá, minden páros tökéletes szám a hat kivételével a  {{nowrap|((2<sup>''p''</sup>&nbsp;+&nbsp;1)/3)-adik}} [[középpontos kilencszögszám]] és megegyezik az első {{nowrap|2<sup>(''p''−1)/2</sup>}} páratlan köbszám összegével:

:<math>
\begin{align}
6 & = 2^1(2^2-1) & & = 1+2+3, \\[8pt]
28 & = 2^2(2^3-1) & & = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \\[8pt]
496 & = 2^4(2^5-1) & & = 1+2+3+\cdots+29+30+31 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3, \\[8pt]
8128 & = 2^6(2^7-1) & & = 1+2+3+\cdots+125+126+127 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3, \\[8pt]
33550336 & = 2^{12}(2^{13}-1) & & = 1+2+3+\cdots+8189+8190+8191 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+\cdots+123^3+125^3+127^3.
\end{align}
</math>

A 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup>&nbsp;−&nbsp;1) alakból következően minden páros tökéletes szám bináris alakban úgy néz ki, hogy ''p'' 1-est &nbsp;''p''&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;&nbsp;nulla követ:
:6<sub>10</sub> = 110<sub>2</sub>
:28<sub>10</sub> = 11100<sub>2</sub>
:496<sub>10</sub> = 111110000<sub>2</sub>
:8128<sub>10</sub> = 1111111000000<sub>2</sub>
:33550336<sub>10</sub> = 1111111111111000000000000<sub>2</sub>.
Ezért minden tökéletes szám [[Hamming-súly]]a prímszám{{wd|Q7169401}}.

Minden tökéletes szám egyben [[praktikus szám]]. Valamennyi tökéletes szám [[osztóharmonikus szám]], tehát olyan pozitív egész szám, melynek osztóiból [[harmonikus közép|harmonikus közepet]] képezve [[egész számok|egész számot]] kapunk.

==Páratlan tökéletes számok==
{{megoldatlan|A|matematika|Létezik-e páratlan tökéletes szám?}}
Nyitott kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Számos eredmény született ebben a témában, de egyik sem mutatott rá egy páratlan tökéletes számra vagy cáfolta ezek létezését. Többen vélik úgy heurisztikus érvek alapján, hogy páratlan tökéletes számok nem léteznek.<ref>{{cite book|last=Dickson|first=L. E. | authorlink = L. E. Dickson|title=History of the Theory of Numbers, Vol. I|year=1919|publisher=Carnegie Institution of Washington|location=Washington|page=6|url=https://archive.org/stream/historyoftheoryo01dick#page/6/}}</ref><ref name="oddperfect">[http://oddperfect.org/pomerance.html Oddperfect.org] {{Wayback|url=http://oddperfect.org/pomerance.html |date=20061229094011 }}.</ref> Minden tökéletes szám [[Ore-szám]] (osztóharmonikus) is, és egy sejtés szerint páratlan Ore-számok szintén nem léteznek.

Bármely páratlan ''N'' tökéletes számnak a következő feltételeknek kell eleget tennie:
* ''N'' > 10<sup>1500</sup>.<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{cite journal | last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> | journal=[[Mathematics of Computation]] | year=2012 | volume=81 | issue=279 | doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 | url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf | pages=1869–1877 | zbl=pre06051364 | issn=0025-5718 }}</ref>
* ''N'' nem osztható 105-tel.<ref name="Kühnel U (1494)">{{cite journal|last=Kühnel|first=U|title=Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen|journal=Mathematische Zeitschrift|year=1949|volume=52|pages=201–211|doi=10.1515/crll.1941.183.98|url=http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.1941.183.98|accessdate=30 March 2011}}{{Halott link|url=http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.1941.183.98 |date=2018-11 }}</ref>
* ''N'' ≡ 1 (mod 12) vagy ''N'' ≡ 117 (mod 468) vagy ''N'' ≡ 81 (mod 324).<ref name="Roberts T (2008)">{{cite journal|last=Roberts|first=T|title=On the Form of an Odd Perfect Number|journal=Australian Mathematical Gazette|year=2008|volume=35|issue=4|pages=244|url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2008/Sep08/CommsRoberts.pdf}}</ref>
* ''N'' felírható a következő alakban:
::<math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k}, </math>
:ahol:
:* ''q'',&nbsp;''p''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''p''<sub>''k''</sub> különböző prímszámok (Euler).
:* ''q'' ≡&nbsp;α ≡&nbsp;1 ([[modulo|mod]] 4) (Euler).
:* ''N'' legkisebb prímtényezője kisebb mint (2''k''&nbsp;+&nbsp;8)&nbsp;/&nbsp;3.<ref name="Grün (1952)">{{cite journal|last=Grün|first=O|title=Über ungerade vollkommene Zahlen|journal=Mathematische Zeitschrift|year=1952|volume=55|issue=3|pages=353–354|doi=10.1007/BF01181133|url=http://www.springerlink.com/content/u6n2338x7mw10027/|accessdate=30 March 2011}}{{Halott link|url=http://www.springerlink.com/content/u6n2338x7mw10027/ |date=2020-02 }}</ref>
:* Vagy ''q''<sup>α</sup>&nbsp;>&nbsp;10<sup>62</sup>, vagy ''p''<sub>&nbsp;''j''</sub><sup>2''e''<sub>''j''</sub></sup> &nbsp;>&nbsp;10<sup>62</sup> néhány ''j''-re.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/>
:* ''N''&nbsp;<&nbsp;2<sup>4<sup>''k''+1</sup></sup>.<ref name="Nielsen (2003)">{{cite journal|last=Nielsen|first=PP|title=An upper bound for odd perfect numbers|journal=Integers|year=2003|volume=3|pages=A14–A22|url=http://www.westga.edu/~integers/vol3.html|accessdate=30 March 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20030221192536/http://www.westga.edu/~integers/vol3.html#|archivedate=2003-02-21}}</ref>
* ''N'' legnagyobb prímtényezője nagyobb mint 10<sup>8</sup>.<ref name="Goto and Ohno (2008)">{{cite journal|last=Goto|first=T|author2=Ohno, Y|title=Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10<sup>8</sup>|journal=Mathematics of Computation|year=2008|volume=77|issue=263|pages=1859–1868|doi=10.1090/S0025-5718-08-02050-9|url=http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf|accessdate=30 March 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110807101906/http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf|archivedate=2011-08-07}}</ref>
* A második legnagyobb prímtényező nagyobb mint 10<sup>4</sup>, a harmadik legnagyobb pedig nagyobb mint 100.<ref name="Ianucci DE (1999)">{{cite journal|last=Iannucci|first=DE|title=The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand|journal=Mathematics of Computation|year=1999|volume=68|issue=228|pages=1749–1760|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01126-6/S0025-5718-99-01126-6.pdf|accessdate=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01126-6}}</ref><ref name="Ianucci DE (2000)">{{cite journal|last=Iannucci|first=DE|title=The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred|journal=Mathematics of Computation|year=2000|volume=69|issue=230|pages=867–879|url=http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-230/S0025-5718-99-01127-8/S0025-5718-99-01127-8.pdf|accessdate=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01127-8}}</ref>
* ''N''-nek legalább 101 prímtényezője van, ezek közül legalább 10 különböző.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/><ref name="Nielsen PP (2015)">{{cite journal|last=Nielsen|first=PP|title=Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds|journal=Mathematics of Computation|year=2015|volume=84|pages=2549–2567|url=https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf|accessdate=13 August 2015|doi=10.1090/S0025-5718-2015-02941-X|issue=0|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150708185554/https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf|archivedate=2015-07-08}}</ref> Ha a 3 nincs ''N'' prímtényezői között, akkor ''N''-nek legalább 12 különböző prímtényezője kell legyen.<ref name="Nielsen PP (2007)">{{cite journal|last=Nielsen|first=PP|title=Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors|journal=Mathematics of Computation|year=2007|volume=76|pages=2109–2126|url=https://www.math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf|accessdate=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-07-01990-4|issue=260|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110723110459/https://www.math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf#|archivedate=2011-07-23}}</ref>

== Más számcsoportok ==
Az osztók összege alapján más számcsoportokat is megkülönböztetünk. Azokat a számokat, ahol a valódi osztók összege kisebb a számnál, [[hiányos számok]]nak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat [[bővelkedő számok]]nak. Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) [[barátságos számok]]nak hívjuk. Ezek az elnevezések mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

==Kapcsolódó szócikkek==
* [[Szupertökéletes számok]]
* [[Többszörösen tökéletes számok]]

==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}

== További információk ==
* [https://youproof.hu/https://youproof.hu/pitagorasz-tetel-irracionalis-szamok-tokeletes-szamok Püthagorasz sötét oldala, YOUPROOF]{{Halott link|url=https://youproof.hu/https://youproof.hu/pitagorasz-tetel-irracionalis-szamok-tokeletes-szamok |date=2021-12 }}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html Tökéletes számok] {{en}}
* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000396 Perfect numbers n: n is equal to the sum of the proper divisors of n.] {{en}} ([[OEIS]])

{{Osztóosztályok}}
{{természetes számok}}

{{Portál|matematika}}

{{DEFAULTSORT:Tökéletes{{hamis digráf}}számok}}
[[Kategória:Egész számok]]
[[Kategória:Nevezetes számsorozatok]]