Szupertökéletes számok forrásának megtekintése

A [[számelmélet]] területén egy '''szupertökéletes szám''' olyan pozitív egész ''n'' szám, amire igaz a következő:

:<math>\sigma^2(n)=\sigma(\sigma(n))=2n\, ,</math>

ahol σ az [[osztóösszeg-függvény]]t jelöli. A szupertökéletes számok a [[tökéletes számok]] fogalmának általánosítása. A kifejezést Suryanarayana alkotta 1969-ben.<ref name=Guy99/>

Az első néhány szupertökéletes szám:

:[[2 (szám)|2]], [[4 (szám)|4]], [[16 (szám)|16]], [[64 (szám)|64]], [[4096 (szám)|4096]], [[65536 (szám)|65536]], 262144, 1073741824, ... {{OEIS|id=A019279}}.

Ha ''n'' páros szupertökéletes szám, akkor ''n'' szükségképpen [[kettőhatvány]], 2<sup>''k''</sup>, méghozzá úgy, hogy 2<sup>''k''+1</sup>&minus;1 [[Mersenne-prím]].<ref name=Guy99/><ref name=mathworld>{{MathWorld|urlname=SuperperfectNumber |title=Superperfect Number }}</ref>

Nem tudni, léteznek-e a ''páratlan'' szupertökéletes számok. Egy páratlan szupertökéletes ''n''-nek olyan négyzetszámnak kellene lennie, amire ''n'' vagy σ(''n'') legalább három különböző prímszámmal osztható.<ref name=mathworld /> Biztosan nincsenek páratlan szupertökéletes számok 7&middot;10<sup>24</sup> alatt.<ref name=Guy99>Guy (2004) p.99</ref>

==Általánosítások==
A tökéletes és a szupertökéletes számok a tágabb értelemben vett ''m''-szupertökéletes számok alesetei, melyek kielégítik a

:<math> \sigma^m(n) = 2n </math>

egyenletet ''m''=1-re, illetve 2-re. Az ''m'' ≥ 3 esetre nem léteznek páros ''m''-szupertökéletes számok.<ref name=Guy99/>

Az ''m''-szupertökéletes számok továbbá alesetei az (''m'',''k'')-tökéletes számoknak, melyek a<ref>Cohen & te Riele (1996)</ref>

:<math>\sigma^m(n)=kn\, .</math>

egyenletet elégítik ki. Ezt a jelölési módot használva a tökéletes számok (1,2)-tökéletesek, a [[többszörösen tökéletes számok]] (1,''k'')-tökéletesek, a  szupertökéletes számok (2,2)-tökéletesek és az ''m''-szupertökéletes számok (''m'',2)-tökéletesek.<ref>Guy (2007) p.79</ref>  Példák különböző (''m'',''k'')-tökéletes számokra:

:{| class="wikitable"
|-
! ''m''
! ''k''
! (''m'',''k'')-tökéletes számok
! [[OEIS]] sorozat
|-
| 2
| 2
| 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144
| {{OEIS link|A019279}}
|-
| 2
| 3
| 8, 21, 512
| {{OEIS link|A019281}}
|-
| 2
| 4
| 15, 1023, 29127
| {{OEIS link|A019282}}
|-
| 2
| 6
| 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 
| {{OEIS link|A019283}}
|-
| 2
| 7
| 24, 1536, 47360, 343976
| {{OEIS link|A019284}}
|-
| 2
| 8
| 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 
| {{OEIS link|A019285}}
|-
| 2
| 9
| 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 
| {{OEIS link|A019286}}
|-
| 2
| 10
| 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296
| {{OEIS link|A019287}}
|-
| 2
| 11
| 4404480, 57669920, 238608384 
| {{OEIS link|A019288}}
|-
| 2
| 12
| 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120  
| {{OEIS link|A019289}}
|-
| 3
| bármennyi
| 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...  
| {{OEIS link|A019292}}
|-
| 4
| bármennyi
| 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...  
| {{OEIS link|A019293}}
|}

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
{{refbegin}}
*{{PlanetMath |urlname=SuperperfectNumber |title=Superperfect Number}}
*{{cite journal |first1=G. L. |last1=Cohen |first2=H. J. J. |last2=te Riele |title=Iterating the sum-of-divisors function |journal=[[Experimental Mathematics (journal)|Experimental Mathematics]] |volume=5 |year=1996 |pages=93–100 |zbl=0866.11003 |doi=10.1080/10586458.1996.10504580}}
* {{cite book |last=Guy |first=Richard K. |authorlink=Richard K. Guy |title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr |publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 |zbl=1058.11001 |at=B9}}
* {{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 }}
* {{cite journal |zbl=0165.36001 |last=Suryanarayana |first=D. |title=Super perfect numbers |journal=Elem. Math. |volume=24 |pages=16–17 |year=1969}}
{{refend}}


{{Osztóosztályok}}
{{Természetes számok}}

[[Kategória:Nevezetes számsorozatok]]