Szimplex forrásának megtekintése

[[Fájl:Standardsimplex.svg|bélyegkép|jobbra|150px|A 2 dimenziós szimplex egy [[szabályos háromszög]]]]
A '''szimplex''' a matematikában a háromszög illetve a tetraéder általánosítása végesdimenziós vektortérre. ''n'' dimenziós vektortérben ''n+1'' affin független (azaz nem egy hipersíkba eső) pont [[konvex burok|konvex burkaként]] fogalmazható meg.

== Jellemzése ==
* egy ''n'' dimenziós szimplexnek létezik (''n''-1) dimenziós, (''n''-2) dimenziós,…, ''i'' dimenziós, …, 2 dimenziós, 1 dimenziós, 0 dimenziós lapja;
* egy ilyen ''k'' dimenziós lap pontosan egy ''k'' dimenziós szimplexnek felel meg
* 0 dimenziós lapok a csúcsokat jelentik, ebből ''n'' dimenziós szimplex esetén ''n''+1 darab van
* 1 dimenziós lapok az éleket jelentik, ebből ''n''·(''n'' + 1)/2 darab van
* az ''i'' dimenziós lapok számát pedig <math>{n+1 \choose i+1}</math> [[binomiális együttható]] adja meg.

== Példák ==
* A 0 dimenziós szimplex: azon ''x''<sub>1</sub> nemnegatív (pozitív vagy 0) koordinátájú pontok [[Halmaz (matematika)|halmaz]]a az 1 dimenziós [[euklideszi tér]]ben (számegyenesen), amelyekre ''x''<sub>1</sub> = 1. Ez egy [[pont (geometria)|pont]].
* Az 1 dimenziós szimplex: azon (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 2 dimenziós euklideszi térben (számsíkon), amelyekre ''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> = 1. Ez egy szakasz.
* A 2 dimenziós szimplex: azon (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 3 dimenziós euklideszi térben, amelyekre ''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> + ''x''<sub>3</sub> = 1. Ez egy <math>\sqrt{2}</math> oldalú szabályos [[háromszög]].
* 1 [[dimenzió]]s szimplex egy A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> szakasz
** csúcsainak száma: 1+1=2
* 2 dimenziós szimplex a [[Szabályos sokszög|szabályos háromszög]]
** csúcsainak száma: 2+1=3
** éleinek száma: <math>{3 \choose 2}=3</math>, ez az él pedig pontosan a 2-1 dimenziós szimplex
* 3 dimenziós szimplex a szabályos tetraéder
** csúcsainak száma: 3+1=4
** éleinek száma: <math>{4 \choose 2}=6</math>
** lapjainak száma pedig <math>{4 \choose 3}=4</math>, ezek a lapok szabályos háromszögek, vagyis a 2 dimenziós szimplexek
* 4 dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen:
** a szabályos tetraéder belsejében, melynek csúcsait jelöljük A, B, C, D-vel, a 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy E pontot, melyre teljesül, hogy az EA = EB = EC = ED = AB (azaz bármely két pont távolsága egyenlő).
** Az E pontot összekötve A-val, B-val, C-vel és D-vel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraéder, mint 3 dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk

== További tulajdonságok ==
* Tekintsük <math>n \le 5</math> esetén az ''n'' dimenziós teret. Ha ebben A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, …A<sub>i</sub>,…A<sub>n</sub> n+1 darab pont, és az ezekbe mutató helyvektorokból képzett <math>\mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_0</math>, <math> \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_0</math>, …, <math>\mathbf{a}_n - \mathbf{a}_0</math> vektorok [[Lineáris függetlenség|lineárisan függetlenek]], akkor az A<sub>i</sub> <math>(0 \le i \le n)</math> pontok [[konvex burok|konvex burka]] egy ''n'' dimenziós szimplex.
* A szimplexeket egyszerűen ábrázolhatjuk [[gráf]]ok segítségével: egy ''n'' dimenziós szimplexnek egy ''n''+1 csúcsú [[teljes gráf]] felel ekkor meg.

{| class="wikitable"
|+Az első néhány szimplex gráfja
|-
| Név
! Pont
! Szakasz
! Háromszög
! Tetraéder
!
!
!
!
|-
| width="12%" | Dimenzió
| width="11%" | 0
| width="11%" | 1
| width="11%" | 2
| width="11%" | 3
| width="11%" | 4
| width="11%" | 5
| width="11%" | 6
| width="11%" | 7
|-
| width="12%" | Csúcsok száma
| width="11%" | 1
| width="11%" | 2
| width="11%" | 3
| width="11%" | 4
| width="11%" | 5
| width="11%" | 6
| width="11%" | 7
| width="11%" | 8
|-
| width="12%" | Gráf
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K1.svg|középre|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K2.svg|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K3.svg|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K4.svg|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K5.svg|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K6.svg|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K7.svg|75px]]
| width="11%" | [[Fájl:Complete graph K8.svg|75px]]
|}

== Az információelméletben ==
* [[Egyirányú kommunikáció]] két pont között.

== Lásd még ==
* [[Szimplex módszer]]

== Források ==
* http://mathworld.wolfram.com/Simplex.html

[[Kategória:Topológia]]
[[Kategória:Poliéderek]]