Szabályos számok forrásának megtekintése

{{más|reguláris prímszámok}}
[[Fájl:Regular divisibility lattice.svg|thumb|360px|A szabályos számok oszthatósági kapcsolatait bemutató [[Hasse-diagram]] (400-ig). A függőleges tengely [[logaritmikus skála|logaritmikus]].<ref>Inspiráció: Erkki Kurenniemi hasonló ábrái itt: [http://www.beige.org/projects/dimi/CSDL2.pdf "Chords, scales, and divisor lattices"].</ref>]]

A '''szabályos számok''' vagy '''reguláris számok''' ''(regular numbers)'' azok a számok, melyek maradék nélkül osztják [[60 (szám)|60]], illetve ezzel ekvivalensen [[30 (szám)|30]] hatványait. Például 60<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;3600&nbsp;=&nbsp;48&nbsp;&times;&nbsp;75, ezért 48 és 75 is osztója egy 60-hatványnak. Ezért mindkettő szabályos szám. Ezzel ekvivalens állítás, hogy a szabályos számok azok a számok, melyek egyedüli prímosztói a 2, 3 és/vagy 5.

A 60 hatványait maradék nélkül osztó számok sok helyen játszanak szerepet a matematikában, tudományterületenként más-más néven.

* A [[számelmélet]] területén ezeket a számokat '''5-simának''' nevezik, mivel csak 2, 3 vagy 5 szerepel [[prímtényező]]ik között. Ez az általánosabb ''k''-[[sima számok]] egy specifikus esete (olyan számok, melyek nem rendelkeznek ''k''-nál nagyobb prímtényezővel).
* A [[babiloni matematika|babiloni matematikában]] ezeket a számokat '''szabályos számoknak''' vagy '''szabályos szexagezimális számoknak''' hívták, és fontos szerepük volt a babiloniak által használt [[hatvanas számrendszer]] miatt.
* A [[zeneelmélet]]ben a szabályos számok a [[tiszta hangolás]] frekvenciaarányaiban játszanak szerepet.
* A [[számítástudomány]]ban a szabályos számokat gyakran '''Hamming-számoknak''' nevezik [[Richard Hamming]] után, aki a reguláris számok sorrendben történő előállítására keresett algoritmusokat.

== Számelmélet ==
Formálisan, egy szabályos szám olyan szám, mely felírható 2<sup>''i''</sup>·3<sup>''j''</sup>·5<sup>''k''</sup> alakban, ahol ''i'', ''j'' és ''k'' [[természetes számok]]. Az ilyen számok <math>\scriptstyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil,j,k)}{}</math> osztói. A szabályos számokat nevezik 5-[[sima szám]]oknak is, mivel legnagyobb [[prímtényező]]jük legfeljebb 5 lehet.

Az első néhány szabályos szám:
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... {{OEIS|id = A051037}}.

Az OEIS-ben lévő számos sorozatnak van köze az 5-sima számokhoz.<ref>[http://www.oeis.org/search?q=5-smooth OEIS search for sequences involving 5-smoothness].</ref>

Bár a szabályos számok sűrűnek látszanak 1–60 között, a nagyobb számok között elég ritkák. Egy ''n'' = 2<sup>''i''</sup>·3<sup>''j''</sup>·5<sup>''k''</sup> szabályos szám akkor és csak akkor nem nagyobb ''N''-nél, ha az (''i'',''j'',''k'') pont eleme a [[tetraéder]]nek, amit a koordinátasíkok mellett a
:<math>(\ln 2)i+(\ln 3)j+(\ln 5)k\le\ln N</math>
sík határol, ami jobban érthető, ha vesszük a 2<sup>''i''</sup>·3<sup>''j''</sup>·5<sup>''k''</sup>&nbsp;≤&nbsp;''N'' egyenlőtlenség mindkét oldalának logaritmusát.
Ezért az ''N''-nél nem nagyobb szabályos számok mennyisége jól becsülhető az említett tetraéder térfogatával, ami
:<math>\frac{\log_2 N\,\log_3 N\,\log_5 N}{6}.</math>
Még pontosabban, az [[O jelölés]]t használva, az ''N''-nél nem nagyobb szabályos számok mennyisége
:<math>\frac{\left(\ln(N\sqrt{30})\right)^3}{6\ln 2 \ln 3 \ln 5}+O(\log N),</math>
és egy [[sejtés]] szerint a közelítés hibatagja éppen <math>O(\log\log N)</math>.<ref>[http://oeis.org/A051037 Sloane’s A051037]</ref>
Hasonló képletet adott meg a 3-sima számok mennyiségére [[Srínivásza Rámánudzsan|Rámánudzsan]] [[G. H. Hardy]]-hoz írt első levelében.<ref>{{citation|title=Ramanujan: letters and commentary|volume=9|series=History of mathematics|publisher=American Mathematical Society|editor1-first=Bruce C.|editor1-last=Berndt|editor2-first=Robert Alexander|editor2-last=Rankin|year=1995|isbn=978-0-8218-0470-4|page=23}}.</ref>

== Babiloni matematika==
A [[babiloni matematika|babiloni]] [[hatvanas számrendszer]]ben a szabályos számok [[reciprok]]ai véges alakba írhatók, ezért könnyű osztani velük. Specifikusan, ha ''n'' osztója 60<sup>k</sup>-nak, akkor az 1/''n'' 60-as számrendszerbeli alakja 60<sup>k</sup>/''n'', néhány helyi értékkel elcsúsztatva.

Tegyük fel például, hogy a szabályos 54 = 2<sup>1</sup>3<sup>3</sup>-gyel kívánunk osztani. az 54 osztója 60<sup>3</sup>-nek, továbbá 60<sup>3</sup>/54 = 4000, ezért a 60-as számrendszerbeli 54-gyel való osztás elvégezhető 4000-rel való szorzással és három helyi érték csúsztatással. 4000<sub>60</sub>= 1&times;3600 + 6&times;60 + 40&times;1 vagy (ahogy Joyce írja) 1:6:40. Ezért 1/54 hatvanas számrendszerben 1/60 + 6/60<sup>2</sup> + 40/60<sup>3</sup>, amit 1:6:40-nel is jelölnek, mivel a hagyományos babiloni lejegyzés nem határozta meg a kezdő számjegy hatványát. Megfordítva, 1/4000 = 54/60<sup>3</sup>, tehát az 1:6:40 = 4000-rel történő osztás megvalósítható 54-gyel való szorzással és három helyi értékkel való csúsztatással.

A babiloniak táblázatokban gyűjtötték a szabályos számok reciprokait, ezen táblák némelyike máig fennmaradt (Sachs, 1947). A táblázatok tartalma nem sokat változott a babiloni idők óta.<ref name="aa">{{harvtxt|Aaboe|1965}}.</ref>

Bár a szabályos számok előnyben részesítésének fő oka reciprokaik véges hosszúságú kifejezése, a babiloniak a reciprokképzésen kívül is felhasználták a szabályos számokat. Például szabályos számok négyzeteit tartalmazó táblákat találtak,<ref name="aa"/> és egy törött [[ékírás]]os [[agyagtábla]], a [[Plimpton 322]] [[Otto E. Neugebauer|Neugebauer]] értelmezése szerint <math>( p^2 - q^2,\, 2pq,\, p^2 + q^2 )</math> [[pitagoraszi számhármasok]]at sorolt, ahol ''p'' és ''q'' 60-nál kisebb szabályos számok.<ref>Lásd {{harvtxt|Conway|Guy|1996}}-t erről az értelmezésről. A [[Plimpton 322]]-nek más értelmezései is léteznek, de a szabályos számokhoz mindegyiknek köze van.</ref>

== Zeneelmélet ==
A [[zeneelmélet]]ben a [[tiszta hangolás]]ú [[diatonikus hangsor]] is összefüggésbe hozható a szabályos számokkal: ennek a skálának egy [[oktáv]]jában lévő [[hangmagasság]]ok frekvenciái a csaknem egymást követő szabályos számok sorozatával, a 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 számokkal arányosak. Ezért egy ilyen hangolású hangszer hangmagasságai mind szabályos számú [[harmonikus]]ai egyetlen [[alapfrekvencia|alapfrekvenciának]].
{{csonk-szakasz}}

==Algoritmusok==
A szabályos számok emelkedő sorrendbeli generálásának algoritmusait [[Edsger Dijkstra]] hozta be a köztudatba. {{harvs|last=Dijkstra||year=1976|year2=1981|txt}} Hamming-nek tulajdonítja az 5-sima számok végtelen növekvő sorozatának megkonstruálását; ez ma '''Hamming-probléma''' néven ismert, és az így képezett számok a '''Hamming-számok'''. Dijkstra így gondolta el a számok kiszámítását:

* A Hamming-számok sorozata 1-gyel kezdődik.
* A sorozat többi eleme 2''h'', 3''h'' vagy 5''h'' alakú, ahol ''h'' bármely Hamming-számot jelöli.
* Ezért a ''H'' sorozat generálható úgy, hogy kiírjuk az 1-et, majd [[összefésülés|összefésüljük]] a 2''H'', 3''H'' és 5''H'' sorozatot.

A fenti algoritmust gyakran idézik a [[lusta kiértékelés]]ű [[funkcionális programnyelv]]ek erejének demonstrálására, mivel a fentiekből könnyen következnek az (implicit) konkurens hatékony megvalósítások, kiszámolt értékenként konstans számú aritmetikai művelettel. Hasonlóan hatékony szigorúan funkcionális vagy [[imperatív programozási nyelv|imperatív]] szekvenciális megvalósítások szintén lehetségesek, míg expliciten konkurens generatív megoldások létrehozása valószínűleg nem triviális.<ref>See, e.g., {{harvtxt|Hemmendinger|1988}} or {{harvtxt|Yuen|1992}}.</ref>

A [[Python programozási nyelv]]ben a szabályos számokat generáló lusta funkcionális kód a nyelv implementációjának korrektségét tesztelő beépített tesztek egyike.<ref>Function m235 in [http://svn.python.org/projects/python/trunk/Lib/test/test_generators.py test_generators.py].</ref>

Az előzővel összefüggő probléma, amit {{harvtxt|Knuth|1972}} tárgyal, az összes hatvanas számrendszerbeli ''k''-jegyű szabályos szám sorrendben történő listázása, ahogy azt (''k''&nbsp;=&nbsp;6-ra) Inakibit-Anu tette, a [[Szeleukida Birodalom]] korából származó AO6456 táblán. Algoritmikus értelemben ez megegyezik a szabályos számok végtelen sorozatából a 60<sup>''k''</sup> és 60<sup>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sup> közötti részsorozat előállításával.
{{harvtxt|Gingerich|1965}} adta az egyik korai megoldást a számok nem sorrendi előállítására, majd sorba rendezésére. Knuth leír egy [[ad hoc]] algoritmust, amit {{harvtxt|Bruins|1970}}-nak tulajdonít, a hatjegyű számok gyorsabb előállítására, de a megoldás nem könnyen általánosítható nagyobb ''k'' értékekre. {{Harvtxt |Eppstein|2007}} ír le végül egy algoritmust, ami lineáris időben állítha elő az ilyen jellegű táblázatokat tetszőleges ''k''-ra.

== Jegyzetek ==
{{reflist|2}}

== Irodalom ==
{{refbegin|30em}}
*{{citation
 | authorlink = Aaboe
 | last = Aaboe | first = Asger
 | title = Some Seleucid mathematical tables (extended reciprocals and squares of regular numbers)
 | journal = [[Journal of Cuneiform Studies]]
 | volume = 19
 | issue = 3
 | pages = 79–86
 | year = 1965
 | mr = 0191779
 | doi = 10.2307/1359089
 | publisher = The American Schools of Oriental Research
 | jstor = 1359089}}.
*{{citation
 | last = Asmussen
 | first = Robert
 | title = Periodicity of sinusoidal frequencies as a basis for the analysis of Baroque and Classical harmony: a computer based study
 | year = 2001
 | url = http://www.terraworld.net/c-jasmussen/thesis_asmussen.pdf
 | series = Ph.D. thesis
 | publisher = [[University of Leeds]]
 | accessdate = 2016-04-14
 | archívurl = https://web.archive.org/web/20160424195738/http://www.terraworld.net/c-jasmussen/thesis_asmussen.pdf
 | archívdátum = 2016-04-24
 }} {{Wayback|url=http://www.terraworld.net/c-jasmussen/thesis_asmussen.pdf |date=20160424195738 }}.
*{{citation
 | last = Barton | first = George A.
 | title = On the Babylonian origin of Plato's nuptial number
 | year = 1908
 | journal = [[Journal of the American Oriental Society]]
 | volume = 29
 | pages = 210–219
 | doi = 10.2307/592627
 | publisher = American Oriental Society
 | jstor = 592627}}.
*{{citation
 | last = Bruins | first = E. M.
 | contribution = La construction de la grande table le valeurs réciproques AO 6456
 | title = Actes de la XVII<sup>e</sup> Rencontre Assyriologique Internationale
 | editor-last = Finet | editor-first = André
 | publisher = Comité belge de recherches en Mésopotamie
 | year = 1970
 | pages = 99–115}}.
*{{citation
 | authorlink1 = John H. Conway | last1 = Conway | first1 = John H.
 | authorlink2 = Richard K. Guy | last2 = Guy | first2 = Richard K.
 | title = The Book of Numbers
 | pages = 172–176
 | publisher = Copernicus
 | year = 1996
 | isbn = 0-387-97993-X}}.
*{{citation
 | authorlink = Edsger W. Dijkstra
 | last = Dijkstra
 | first = Edsger W.
 | contribution = 17. An exercise attributed to R. W. Hamming
 | isbn = 978-0132158718
 | pages = 129–134
 | publisher = Prentice-Hall
 | title = A Discipline of Programming
 | url = http://web.cecs.pdx.edu/~cs410aph/Lectures/Smalltalk%20II/Dijkstra%20on%20Hamming's%20Problem.pdf
 | year = 1976
 }} {{Wayback|url=http://web.cecs.pdx.edu/~cs410aph/Lectures/Smalltalk%20II/Dijkstra%20on%20Hamming%27s%20Problem.pdf |date=20160303222127 }}
*{{citation
 | authorlink = Edsger W. Dijkstra | last = Dijkstra | first = Edsger W.
 | title = Hamming's exercise in SASL
 | year = 1981
 | url = http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF
 | id = Report EWD792. Originally a privately circulated handwitten note}}.
*{{citation | authorlink = David Eppstein | last = Eppstein | first = David | title = The range-restricted Hamming problem | year = 2007 | url = http://11011110.livejournal.com/95519.html | access-date = 2016-04-14 | accessdate = 2016-04-14 | archívurl = https://web.archive.org/web/20110721032832/http://11011110.livejournal.com/95519.html | archívdátum = 2011-07-21 }} {{Wayback|url=http://11011110.livejournal.com/95519.html |date=20110721032832 }}.
*{{citation
 | last = Gingerich | first = Owen
 | title = Eleven-digit regular sexagesimals and their reciprocals
 | year = 1965
 | journal = [[Transactions of the American Philosophical Society]]
 | volume = 55
 | issue = 8
 | pages = 3–38
 | doi = 10.2307/1006080
 | publisher = American Philosophical Society
 | jstor = 1006080}}.
*{{citation
 | last = Habens | first = Rev. W. J.
 | title = On the musical scale
 | journal = Proceedings of the Musical Association
 | year = 1889
 | pages = 16th Session, p. 1
 | jstor = 765355
 | volume = 16
 | publisher = Royal Musical Association}}.
*{{citation
 | last1 = Halsey | first1 = G. D. | last2 = Hewitt | first2 = Edwin
 | title = More on the superparticular ratios in music
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | volume = 79
 | year = 1972
 | pages = 1096–1100
 | mr = 0313189
 | doi = 10.2307/2317424
 | issue = 10
 | publisher = Mathematical Association of America
 | jstor = 2317424}}.
*{{citation
 | last = Hemmendinger | first = David
 | journal = [[ACM SIGPLAN Notices]]
 | year = 1988
 | title = The "Hamming problem" in Prolog
 | volume = 23
 | issue = 4
 | pages = 81–86
 | doi = 10.1145/44326.44335}}.
*{{citation
 | last1 = Heninger | first1 = Nadia
 | last2 = Rains | first2 = E. M.
 | last3 = Sloane | first3 = N. J. A. | author3-link = Neil Sloane
 | arxiv = math.NT/0509316
 | doi = 10.1016/j.jcta.2006.03.018
 | issue = 8
 | journal = [[Journal of Combinatorial Theory]]
 | mr = 2269551
 | pages = 1732–1745
 | series = Series A
 | title = On the integrality of {{mvar|n}}th roots of generating functions
 | volume = 113
 | year = 2006}}}.
*{{citation
 | last1 = Honingh | first1 = Aline | last2 = Bod | first2 = Rens
 | title = Convexity and the well-formedness of musical objects
 | journal = [[Journal of New Music Research]]
 | year = 2005
 | volume = 34
 | issue = 3
 | pages = 293–303
 | doi = 10.1080/09298210500280612}}.
*{{citation
 | last = Knuth | first = D. E. | authorlink = Donald Knuth
 | title = Ancient Babylonian algorithms
 | journal = [[Communications of the ACM]]
 | volume = 15 | issue = 7 | year = 1972 | pages = 671–677
 | doi = 10.1145/361454.361514}}. Errata in ''CACM'' '''19'''(2), 1976. Reprinted with a brief addendum in ''Selected Papers on Computer Science'', CSLI Lecture Notes 59, Cambridge Univ. Press, 1996, pp.&nbsp;185–203.
*{{citation
 | last = Longuet-Higgins | first = H. C. | authorlink = H. Christopher Longuet-Higgins
 | year = 1962
 | title = Letter to a musical friend
 | journal = Music Review
 | issue = August
 | pages = 244–248}}.
*{{citation
 | last = McClain | first = Ernest G.
 | authorlink = Ernest G. McClain
 | year = 1974
 | title = Musical "Marriages" in Plato's "Republic"
 | journal = [[Journal of Music Theory]]
 | volume = 18
 | issue = 2
 | pages = 242–272
 | doi = 10.2307/843638
 | jstor = 843638
 | publisher = Duke University Press}}.
*{{citation
 | last = Sachs | first = A. J.
 | year = 1947
 | title = Babylonian mathematical texts. I. Reciprocals of regular sexagesimal numbers
 | journal = [[Journal of Cuneiform Studies]]
 | volume = 1
 | issue = 3
 | pages = 219–240
 | mr = 0022180
 | doi = 10.2307/1359434
 | publisher = The American Schools of Oriental Research
 | jstor = 1359434}}.
*{{citation
 | last = Silver | first = A. L. Leigh
 | title = Musimatics or the nun's fiddle
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | volume = 78
 | year = 1971
 | issue = 4
 | pages = 351–357
 | doi = 10.2307/2316896
 | publisher = Mathematical Association of America
 | jstor = 2316896}}.
*{{citation
 | last = Størmer | first = Carl
 | authorlink = Carl Størmer
 | title = Quelques théorèmes sur l'équation de Pell {{math|1=''x''<sup>2</sup> &minus; ''Dy''<sup>2</sup> = ±1}} et leurs applications
 | journal = Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiania), Mat.-Naturv. Kl.
 | volume = I
 | issue = 2
 | year = 1897}}.
*{{citation
 | last = Temperton | first = Clive
 | title = A generalized prime factor FFT algorithm for any {{math|1=''N'' = 2<sup>''p''</sup>3<sup>''q''</sup>5<sup>''r''</sup>}}
 | journal = SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing
 | volume = 13
 | issue = 3
 | year = 1992
 | pages = 676–686
 | doi = 10.1137/0913039}}.
*{{citation
 | last = Yuen | first = C. K.
 | title = Hamming numbers, lazy evaluation, and eager disposal
 | journal = [[ACM SIGPLAN Notices]]
 | year = 1992
 | volume = 27
 | issue = 8
 | pages = 71–75
 | doi = 10.1145/142137.142151}}.
{{refend}}

==További információk==
*[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/reciprocals3600.html Table of reciprocals of regular numbers up to 3600] from the web site of Professor David E. Joyce, Clark University.
*[http://rosettacode.org/wiki/Hamming_numbers RosettaCode] Generation of Hamming_numbers in ~ 50 programming languages

{{Osztóosztályok}}
{{Természetes számok}}

[[Kategória:Babiloni matematika]]
[[Kategória:Nevezetes számsorozatok]]
[[Kategória:Zeneelmélet]]