Százalék forrásának megtekintése

{{más|százalékpont}}
{{Írásjelek|%}}
A '''százalék''' a [[racionális szám]]ok (általában [[arány]]ok) felírásának olyan alakja, amely a szám értékét századokban adja meg, tulajdonképpen az <math>\frac{x}{100}</math> alakú [[tört]]ek egyszerűbb alakja. Jelölésére a [[százalékjel]] (%) szolgál, mely azonban nem [[mértékegység]], hanem a <math>\frac{}{100}</math> szimbóluma. Az <math>\frac{x}{100}</math> tört tehát <math>x\%</math> formában is felírható. Például <math>0{,}45 = \frac{45}{100} = 45\%</math>.

==Százalékszámítás==
A százalékszámításban ''alap'' az a mennyiség, aminek a valahány százalékát vesszük; ''százalékláb'' a százalékban megadott érték, és ''százalékérték'' az a mennyiség, ami az alapnak valahány százaléka. Például, ha 200-nak vesszük a 25%-át, akkor az 50 lesz. Itt 200 az alap, 25 a százalékláb, és 50 a százalékérték. A százalékértéket úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk az alapot a százaléklábbal, és szorzatukat elosztjuk 100-zal.

Az emelések hozzáadódnak, a csökkentések levonódnak. Például, ha valaminek az ára 10%-kal nő, akkor az új ár a régi 110%-a; ha az ár 10%-kal csökken, akkor az új ár a régi 90%-a. Ha többször változik egy mennyiség, akkor ezek a mennyiségek összeszorzódnak, mivel az újabb változás már az előző megváltozással kapott összegre vonatkozik. Például, ha az ár először 10%-kal növekedik, majd 10%-kal csökken, akkor a végső ár az eredetinek (100%&nbsp;+&nbsp;10%)&nbsp;·&nbsp;(100%&nbsp;−&nbsp;10%) = 110%&nbsp;·&nbsp;90% = 1,1&nbsp;·&nbsp;0,9 = 0,99 = 99%-a lesz. A szorzás kommutativitása miatt a végeredmény nagysága nem függ a változások sorrendjétől.

Gyakori hiba, hogy az egymást követő emelések és csökkentések százalékos értékét egyszerűen összeadjuk.{{jegyzet*|megj=Jellemzően a bér és nyugdíjemelések, valamint az infláció kapcsolatában szokták elkövetni.}} Ez azonban könnyen beláthatóan téves, mint fentebb is látható. Például {{math|''p''%}}-os emelés és ezt követő {{math|''p''%}}-os csökkentés következtében nem az eredeti árat kapjuk vissza, hanem <math>\frac{100+p}{100}\cdot\frac{100-p}{100}=\frac{10000-p^2}{10000}</math>-szorosát. Ez beláthatóan kevesebb, mint a 100%.

A százalék nagysága nemcsak a százaléklábbal [[egyenes arányosság|egyenesen arányos]], hanem az alap nagyságával is, így ugyanaz a százalékláb a nagyobb mennyiségnél többet jelent. Például, ha egy mennyiség 25%-kal nő, akkor egy 20%-os csökkentés a kiindulási mennyiséget adja vissza. Fordítva, egy 20%-os csökkenést egy 25%-os emelkedésnek kell követnie, hogy az eredeti mennyiség visszaálljon.

Az alábbi táblázatban ''G'' az alap, ''W'' a százalékérték, és ''p'' a százalékláb.

{| class="wikitable"
|-
! |
'''Általános képlettel'''
! |
'''Arányegyenlettel'''
! |
'''Mi az 1%? '''

<math>\frac{p\,\%}{42\,\text{kg}}=\frac{100\,\%}{7\,\%}</math>
|-
!<math>\frac{p\,\%}{100\,\%}=\frac{W}{G}</math><br /><br />többszörös átalakítással:<br /><br /><math>G=\frac{W}{p\,\%}\cdot{100\,\%}</math><br /><math>G=\frac{42\,\text{kg}}{7\,\%}\cdot{100\,\%}=600\,\text{kg}</math>||<math>\frac{G}{42\,\text{kg}}=\frac{100\,\%}{7\,\%}</math><br /><br />egyszerű átszámolással:<br /><br /><math>G=\frac{42\,\text{kg}}{7\,\%}\cdot{100\,\%}=600\,\text{kg}</math> || <math>\frac{42\,\text{kg}:{ \color{red}7}}{7\,\%:{ \color{red}7}}=\frac{6\,\text{kg}}{1\,\%}=\frac{6\,\text{kg}\cdot { \color{red}100}}{1\,\%\cdot { \color{red}100}}</math><br /><br />átalakítás nélkül:<br /><br /><math>G=6\,\text{kg}\cdot 100=600\,\text{kg}</math>
|-
! | Előny:<br />•&nbsp;Egy képlet minden feladathoz<br />!! | Előnyök:<br />•&nbsp;Nem kell képlet<br />•&nbsp;Egyszerű átalakítás, ha a keresett mennyiség –&nbsp;itt ''G''&nbsp;– bal oldalon a számlálóban áll.<br />!! | Előnyök:<br />•&nbsp;Nem kell képlet<br />• Fejszámolásnál is használható
|}

A továbbiakban a táblázatban szereplő jelöléseket használjuk.

A százalékszámítás alapképlete:
:<math>p\,\% = \frac{W}{G}</math>.
Egy kis átrendezéssel:
:<math>p = 100\cdot\frac{W}{G}</math>.
Az alkalmazás céljából a képlet átrendezhető:
:<math>G = \frac{W}{p\,\%}</math>
és
:<math>W = {p\,\%} \cdot G</math>.

Példa:
Ha egy tömegnek a 7%-a 42&nbsp;kg, akkor mennyi a teljes tömeg?
* Százalékérték, ''W'': 42&nbsp;kg
* Százalék, ''p%'': 7%.
Keressük az egészet: ''G''.

A megoldáshoz ''G''-t kell kifejezni:
:<math>G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{42\,\text{kg}}{7\,\%} = \frac{42}{\frac{7}{100}}\,\text{kg} = \frac{42\cdot 100}{7}\,\text{kg} = 600\,\text{kg}</math>.

A különféle számológépek nem kezelik egységesen a százalék megadásának módját; ez megzavarhatja a számolást. Ez elkerülhető azzal, hogy a százalékokat törtekként, tizedestörtekként visszük be, vagy pótlólag osztunk százzal.

==Százalék és tört alak átváltása==
A százalékjel helyettesíthető az <math>\cdot \tfrac{1}{100}</math> szorzással. Például: : 50&nbsp;% egyenlő <math>50 \cdot \tfrac{1}{100}</math>-zal, illetve <math>\tfrac{50}{100}</math>-dal, ami egyszerűsíthető <math>\tfrac{1}{2}</math>-re. 

Megfordítva, a valahányad rész úgy számítható át, hogy 100%-kal szorozzuk. Például:
:<math>\tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{4} \cdot 100\,\% = \tfrac{3 \cdot 100}{4}\,\% = 75\,\%</math>

==Alkalmazások==
A százalékok sok helyen felbukkannak. Az árak, a bérek megváltozását, az adókat, a kamatokat, és a kedvezményeket százalékokban szokás kifejezni.

A százalék alkalmazása előtt meg kell győződni arról, hogy a feladat megadása korrekt-e, illetve van-e egyáltalán értelme százalékról, tehát arányról beszélni. Így például nincs értelme annak, hogy a [[Celsius-skála|Celsius-fokban]] vagy [[Fahrenheit]]-fokban kifejezett hőmérséklet hány százalékkal nőtt, hiszen ezeknek a skáláknak a nullapontjai nem természetesek (másként fogalmazva: a Celsius-fokban vagy Fahrenheit-fokban kifejezett hőmérséklet nem arányos a [[Belső energia|belső energiával]]). Ezzel szemben kelvinben megadott hőmérséklet megváltozását már van értelme arányként, azaz akár százalékban megadni, hiszen a kelvinben megadott hőmérséklet szoros kapcsolatban áll a rendszer energiatartalmával. Így ha egy hőmérséklet százalékos megváltozásáról beszélünk, mindig a kelvinben kifejezett hőmérsékletet kell alapul venni.

Pl. ha egy 25 Celsius-fokos test hőmérsékletét 10%-kal megnövelem, annak hőmérséklete 54,815 Celsius-fok lesz:

#<math>25\;^\circ \mathrm C = \left(25+273{,}15\right) \mathrm K = 298,15\,\mathrm K</math>
#<math>298{,}15\,\mathrm K \cdot \left(100\,\%+10\,\%\right) = 298{,}15\,\mathrm K \cdot 1{,}1 = 327{,}965\,\mathrm K = 54{,}815\;^\circ \mathrm C</math>
#<math>327{,}965\,\mathrm K = \left(327{,}965-273{,}15\right)\;^\circ \mathrm C = 54{,}815\;^\circ \mathrm C</math>
===Meredekségek===
[[Fájl:Zeichen 110-58 - Steigung, StVO 1992.svg|bélyegkép|left|150px|„Veszélyes emelkedő” KRESZ-tábla]]
A technikában a meredekséget szintén százalékban adják meg. A százalékban megadott érték a szintkülönbség és a vízszintes szakasz hányadosa. A 10%-os meredekség azt jelenti, hogy 100 méteren 10 méter az emelkedés (10m/100m=0,1=10%). Ügyelni kell a mértékegységekre; ha 100 méteren 6 centiméter (=0,06 méter) a szintkülönbség, akkor az emelkedés 0,06%-os lesz (0,06m/100m=0,0006=0,06%). Az így megadott meredekség tulajdonképpen az emelkedési szög [[tangens]]e; például, ha az emelkedési szög 45 fok, akkor a meredekség 100%, a tangens pedig 1.

Az utakon a jelzőtáblákra nem az útszakasz átlagos meredekségét, hanem a legnagyobb meredekségét írják fel. Vasutaknál 1%, hegyi utakon 10%-30%, sípályákon 100%-ig, és szerepel még néhány extrém eset illusztrációként:

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center"
|+ Tipikus meredekségek:
|-
! Meredekség <math>p</math> !! Szög <math>\alpha</math> (ca.)
|-
| 0‰ (=&nbsp;0,0%) || {{0}}0,0°{{0|00}}
|-
| 1‰ (=&nbsp;0,1%) || {{0}}0,057°
|-
| 3‰ (=&nbsp;0,3%) || {{0}}0,17°{{0}}
|-
| {{0|0000}}1% || {{0}}0,57°{{0}}
|-
| {{0|0000}}3% || {{0}}1,72°{{0}}
|-
| {{0|0000}}8% || {{0}}4,57°{{0}}
|-
| {{0|000}}10% || {{0}}5,71°{{0}}
|-
| {{0|000}}12% || {{0}}6,84°{{0}}
|-
| {{0|000}}15% || {{0}}8,53°{{0}}
|-
| {{0|000}}20% || 11,3°{{0|00}}
|-
| {{0|000}}25% || 14,0°{{0|00}}
|-
| {{0|000}}30% || 16,7°{{0|00}}
|-
| {{0|000}}40% || 21,8°{{0|00}}
|-
| {{0|000}}50% || 26,6°{{0|00}}
|-
| {{0|000}}70% || 35,0°{{0|00}}
|-
| {{0|00}}100% || 45,0°{{0|00}}
|-
| {{0|00}}200% || 63,4°{{0|00}}
|-
| {{0|00}}500% || 78,7°{{0|00}}
|-
| {{0}}1000% || 84,3°{{0|00}}
|-
| 10000% || 89,4°{{0|00}}
|-
| ∞&nbsp;(végtelen) % || 90,0°{{0|00}}
|}

===Anyagok keverése===
Anyagok keverésénél több szempontból is figyelni kell:

A százalék az oldószer 100 egységére jutó oldott anyagot, vagy a kész oldatban levő oldott anyag arányát adja meg. Az első szerepel az oldhatósági adatoknál, a második a koncentrációknál.

A százalékos adat térfogatra vagy tömegre vonatkozik-e. A két anyag sűrűsége nem egyezik meg, így a két százalékos adat különböző.

Például a víz és az alkohol keverékében az alkohol sűrűsége alacsonyabb (ca. 0,8 g/cm³), így az alkoholos italok tömegszázaléka kisebb, mint a térfogatszázaléka. Például az 50 térfogatszázalékos pálinka tömegszázaléka 44,4%.
===Áfa===
Gyakori példa az áfa kiszámítása. Mivel a legtöbb helyen az ár már tartalmazza, azért a vásárlóknak többnyire nem kell külön kiszámolniuk. Ez többnyire a céges beszerzéseket és a kereskedőket érinti.

Az áfát is magában foglaló ár az áremeléses példához hasonlóan működik:
* Az áfát megkapjuk, ha a nettó érték és az áfa százaléklábának szorzatát elosztjuk százzal. Ezt hozzáadva a nettó árhoz megkapjuk a bruttó árat.
* A bruttó ár megkapható, ha az egyet megnöveljük a százalékkal kifejezett értékkel, és ezt beszorozzuk a nettó árral.

Például, ha az ár 100 euró, és az áfa 19%-os, akkor a bruttó ár számolása:
* Az első módszerrel 100 euró · 19% = 100 euró · 0,19 = 19 euró. Ezt hozzáadva a nettó árhoz: 100 euró + 19 euró = 119 euró.
* A második módszerrel bruttó = nettó · (1 + 19 %) = nettó · (1 + 0,19) = nettó · 1,19.
* A második módszer képletének átrendezésével a többi mennyiség is kiszámítható.

A nyelvhasználat a mindennapokban nem matematikai pontosságú. Így keletkezhetnek a következő kijelentések:
* Az áfa 19%.
: Értsd: Az áfa tétele 19%.
* A számla 19% áfát tartalmaz.
: Értsd: Ez a bruttó összeg, amibe bele van számolva 19%-os áfa. 
* Az összeg 19%-a áfa.
: Értsd: Ez a bruttó összeg, amibe bele van számolva 19%-os áfa. A bruttó összeg nagyobb, mint a nettó, így a beleszámolt áfa értéke hozzá képest nem 19%, hanem csak ~15,97%. 
* A zsebpénzemet 50%-kal megemelték.
: Az emelés a régi értékhez képest értendő. Ha 10 euró volt, akkor az új érték 15 euró, aminek az 5 euró már csak 33+1/3%-a. 
* A zsebpénzem 50%-a kiegészítés a mamától.
: A zsebpénz 50%-a, azaz 7,5 euró származik a mamától.

== A százalékjel helyesírása ==
A %-jelet a százalékláb után szóköz nélkül írjuk. A toldalékolás a jelhez kötőjellel kapcsolódik.<ref name=akh>
{{cite web
|url=https://helyesiras.mta.hu/helyesiras/default/akh12#275
|title=A magyar helyesírás szabályai
|accessdate=2022-11-28
|year=2015
|publisher=Akadémiai Kiadó
|pages=275
}}</ref>

== Eredete ==

A százalékszámítás eredete az ókori Római Birodalomig nyúlik vissza. A számítások egyszerűsítése végett ugyanis ott a kamatokat, adókat 100 egységre határozták meg. Ez a százalék régies nevének, a ''percent''nek is az eredete: a ''per cent'' magyarra fordítva százanként. Mivel a középkorban a pénzmennyiség egyre nőtt, a 100-as nevezővel egyre gyakoribbak voltak a számítások, így a százalékszámítás sztenderdizálódott. A XV-XVI. századtól a százalékszámítás a szokásos számtani műveletek közé került.

== Megjegyzések ==
{{megjegyzések}}

== Források ==
{{jegyzetek}}

* {{cite book
|title=Nincs királyi út
|author=Sain Márton
|authorlink=Sain Márton
|url=https://mek.oszk.hu/05000/05052/pdf/
|format=PDF
|accessdate=2022-11-28
|origyear=1986
|publisher=Gondolat
|location=Budapest
|isbn=963 281 7044
}}{{Halott link|url=https://mek.oszk.hu/05000/05052/pdf/ |date=2024-08 }}

==Fordítás==
{{fordítás|de|Prozent}}

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Ezrelék]]
* [[100 (szám)|100]]

== További információk ==
* [http://www.szazalekszamitas.hu Százalékszámítás.hu] {{Wayback|url=http://www.szazalekszamitas.hu/ |date=20130515015851 }}
* [https://web.archive.org/web/20130525010658/http://diakseged.hu/matematika/szazalekszamitas/ Százalékszámítás]
* [https://matekarcok.hu/szazalekszamitas/ Matekarcok]
* [https://szazalekkalkulator.net/ Százalék-kalkulátor]

{{DEFAULTSORT:Szazalek}}
[[Kategória:Elemi matematika]]