Sylvester-sorozat forrásának megtekintése

[[Image:Sylvester-square.svg|thumb|300px|Az 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + ... összeg 1-hez való konvergenciájának ábrázolása. Minden sorban ''k''&nbsp;db négyzet van, 1/''k'' oldalhosszúsággal, melyek területösszege 1/''k'', az összes négyzet pedig pontosan lefed egy nagyobb, 1 területű négyzetet. Az 1/1807 vagy kisebb oldalhosszúságú négyzetek nem szerepelnek az ábrán]]

A [[számelmélet]] területén a '''Sylvester-sorozat''' (vagy '''Sylvester-féle sorozat)''' olyan egész számokat tartalmazó [[Sorozat (matematika)|sorozat]], melynek első tagja a 2, és minden további tag az előző tagok szorzatánál 1-gyel nagyobb szám. Így az első néhány tagja:
:[[2 (szám)|2]], [[3 (szám)|3]], [[7 (szám)|7]], [[43 (szám)|43]], 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 {{OEIS|id=A000058}}.

A Sylvester-sorozatot [[James Joseph Sylvester]] brit matematikusról nevezték el, aki 1880-ban elsőként tanulmányozta azt. A sorozat tagjai [[dupla exponenciális]] sebességgel nőnek, a [[reciprok|reciprokok]] sorösszege pedig gyorsabban tart 1-hez, mint bármely más egységtört-sorozat. A rekurzív definíció lehetővé teszi a sorozat tagjainak gyorsabb [[prímtényező]]kre bontását a velük azonos nagyságrendű egész számokhoz képest, de a sorozat rendkívül gyors növekedése miatt így is csak az első néhány tagnak ismert a pontos felbontása. A sorozat felhasználható az 1 véges [[egyiptomi tört|egyiptomitört]]-felbontásaihoz, a [[Szaszaki-sokaság|Szaszaki]]–[[Einstein-sokaság]]ok ({{wd|Q7424986}}, {{wd|Q1309313}}) konstruálásához és egyes bonyolultabb [[online algoritmus|online algoritmusokban]] (olyan algoritmusok, amelyek a bemenetet nem egyszerre kapják meg, hanem több részben, a feldolgozási folyamat közben).

== Formális definíciók ==
A Sylvester-sorozat formális meghatározása:
:<math>s_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} s_i.</math>
Az [[üres szorzat]] értéke megegyezés szerint 1, ezért ''s''<sub>0</sub> = 2 a sorozat kezdőértéke.

Egy másik [[Rekurzió|rekurzív]] definíció:
:<math>s_0=2</math> és <math>\displaystyle s_{n+1} = s_n(s_n-1)+1</math> (minden <math>n \geq 0</math>-ra)
Könnyen megmutatható a két definíció egyenértékűsége (teljes indukcióval).

== Zárt alak, aszimptotikus viselkedés ==
A Sylvester-számok ''n'' függvényében [[dupla exponenciális]]an nőnek. Megmutatható, hogy

:<math>s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor,</math>

egy ''E'' számra, ami körülbelül 1,264084735305302.<ref>{{harvtxt|Graham|Knuth|Patashnik|1989}} feladatként határozta ezt meg, lásd még {{harvtxt|Golomb|1963}}.</ref> Ez azt jelenti, hogy ''s''<sub>0</sub> az ''E''<sup>2</sup>-hez legközelebb álló egész szám, ''s''<sub>1</sub> az ''E''<sup>4</sup>-hez legközelebb álló egész szám, ''s''<sub>2</sub> az ''E''<sup>8</sup>-hoz legközelebb álló egész szám stb.

Az előbbi képlet hatásában a következő algoritmussal egyezik meg: bármely ''s<sub>n</sub>''-re, vedd ''E''<sup>2</sup>-et, emeld négyzetre ''n''-szer, majd vedd a hozzá legközelebbi egész számot. Ez viszont csak akkor lehetne praktikus algoritmus, ha az ''s<sub>n</sub>'' kiszámolásán, majd egymás utáni négyzetgyökvonásokon kívül lenne más módja is ''E'' meghatározásának.

A Sylvester-sorozat dupla exponenciális növekedése nem meglepő, ha összehasonlítjuk az <math>F_n = 2^{2^n}+1</math> [[Fermat-számok]] sorozatával, hiszen a Fermat-számok az előbbi megszokott képlet mellett a Sylvester-sorozathoz hasonló módon is megadhatóak:

:<math>F_n = 2 + \prod_{i = 0}^{n - 1} F_i.</math>

== Egyiptomi törtekkel való kapcsolatai ==
A Sylvester-sorozat reciprokai által kapott [[egységtört]]ek végtelen sora a következő:
:<math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac1{s_i} = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots.</math>
A sor részösszegeinek egyszerű alakja:
:<math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = 1 - \frac{1}{s_j-1} = \frac{s_j-2}{s_j-1},</math>
ami igazolható indukcióval, vagy akár közvetlen módon – belátva, hogy a rekurzióból következik az
:<math>\frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1}=\frac{1}{s_i}</math>
összefüggés, amivel [[teleszkopikus összeg|teleszkopikus]] összegzést végezve:
:<math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac{1}{s_i} = \sum_{i=0}^{j-1} \left( \frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} \right) = \frac{1}{s_0-1} - \frac{1}{s_j-1} = 1 - \frac{1}{s_j-1}.</math>
Mivel a részösszegek ezen <math>\tfrac{s_j-2}{s_j-1}</math> sorozata 1-hez konvergál, ezért a teljes sor az 1-nek végtelen [[egyiptomi tört|egyiptomitört]]-reprezentációját adja:
:<math>1 = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots.</math>
Az 1 bármilyen hosszú egyiptomitört-megfeleltetése megkapható a sorozat „levágásával”, majd az utolsó tört nevezőjéből 1 levonásával, például:
:<math>1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{42}, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{43} + \tfrac1{1806} \quad \textrm{stb.}</math>
Ez általánosan így néz ki egy tetszőleges ''k'' index esetén: <math>1 = \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{s_i} + \frac{1}{s_k-1}</math>.

A végtelen sorozat első ''k'' tagjának összege adja a legközelebbi lehetséges alsó becslését 1-nek az összes ''k''-tagú egyiptomi törtes sorozat között.<ref>Ezt az állítást általában {{harvtxt|Curtiss|1922}}-nek tulajdonítják, de {{harvtxt|Miller|1919}} ugyanezt a kijelentést teszi egy korábbi írásában. Lásd még {{harvtxt|Rosenman|Underwood|1933}}, {{harvtxt|Salzer|1947}} és {{harvtxt|Soundararajan|2005}}.</ref> Például az első négy tag összege 1805/1806, ezért bármely (1805/1806, 1) intervallumban lévő egyiptomitört-megfeleltetés legalább 5 elemet igényel.

A Sylvester-sorozat úgy is felfogható, mint egy egyiptomi törteket előállító [[mohó algoritmus]] {{wd|Q5601712}}, ami minden lépésben kiválasztja a lehető legkisebb nevezőt, amitől a sor részösszege még 1 alatt marad. Más megközelítésben a sorozat első tagjától tekinthető az ½ [[páratlan mohó felbontás]]ának.

== Egyediség és racionális összegű gyorsan növő sorok ==
Amint azt Sylvester maga is megjegyezte, a Sylvester-sorozat egyedinek tűnik abban a tekintetben, hogy ilyen gyorsan növekvő értékek mellett a reciprokok összege racionális számhoz konvergál. A Sylvester-sorozat példát nyújt arra, hogy önmagában a dupla exponenciális növekedés nem elégséges feltétele a sorozat [[Irracionális számok|irracionális]] voltának.<ref>Guy,2004</ref>

Ha egy <math>a_n</math> sorozat elég gyorsan nő ahhoz, hogy
:<math>a_n\ge a_{n-1}^2-a_{n-1}+1,</math>
és a <math>\sum\frac1{a_i}</math> sorozat egy ''A'' racionális számhoz konvergál, akkor egy bizonyos küszöbindextől kezdődően minden ''n'' indexre az <math>a_n</math> sorozatot ugyanazon
:<math>a_n= a_{n-1}^2-a_{n-1}+1</math>
rekurrencia-szabály kell meghatározza, mint a Sylvester-sorozatot {{harvtxt|Badea|1993}}.

{{harvtxt|Erdős|Graham|1980}} [[Erdős Pál sejtéseinek listája|sejtése]] szerint az ilyen típusú eredményekben a sorozat növekedését korlátozó egyenlőtlenség lecserélhető a következő gyengébb feltételre:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1.</math>
{{harvtxt|Badea|1995}} vizsgálta a sejtés megoldásának előrehaladását; lásd még {{harvtxt|Brown|1979}}.

== Oszthatóság és prímfelbontások ==
Ha ''i'' < ''j'', a definícióból következik, hogy <math>s_j \equiv 1\!\!\! \pmod{s_i}</math>. Ezért a Sylvester-sorozat bármely két tagja [[Relatív prímek|relatív prím]]. Továbbá a sorozat tagjainak egyetlen prímtényezője sem lehet kongruens 5-tel modulo 6. A sorozat segítségével bebizonyítható, hogy végtelen sok [[Prímszámok|prímszám]] létezik (hiszen bármely prímszám a sorozat legfeljebb egy tagjának lehet osztója), sőt, sorozat segítségével az is bebizonyítható, hogy végtelen sok olyan prím létezik, ami kongruens 7-tel modulo 12.<ref>Guy,Nowakowski(1975)</ref>

A Sylvester-számok faktorizációjával kapcsolatban számos kérdés áll még nyitva. Nem ismert például, hogy minden tag [[Négyzetmentes szám|négyzetmentes]]-e.

Ahogy {{harvtxt|Vardi|1991}} írja, könnyen meghatározható, hogy adott ''p'' melyik Sylvester-számnak osztója (ha osztója bármelyiknek): egyszerűen modulo ''p'' kell számítani a Sylvester-sorozat rekurrenciáját, amíg olyan számhoz nem érünk, ami kongruens 0-vel (mod ''p''), vagy ismétlődő modulushoz. Ezzel a technikával az első 3 millió prímszám közül 1166 vagy 1167 prímosztóját találta meg a Sylvester-számoknak, melyek közül egyiknek a négyzete sem volt osztója Sylvester-számnak.
A Sylvester-számokat osztó prímszámok sűrűsége nulla az összes prímszám között:<ref>Jones(2006)</ref> valóban, az ''x''-nél kisebb ilyen prímek száma <math>O(\pi(x) / \log\log\log x)</math>.<ref>Odoni(1985)</ref>

A következő táblázat a Sylvester-számok prímtényezős felbontását mutatja be (kivétel az első 4 tag, amik prímek).<ref>Az ''s''<sub>''n''</sub> Sylvester-számok azon ''p'' prímtényezőit, ahol ''p'' &lt; 5{{e|7}} és ''n'' ≤ 200, Vardi listázza. Ken Takusagawa listázza a  [http://kenta.blogspot.com/2006/01/factoring-sylvesters-sequence.html felbontásokat egészen ''s''<sub>9</sub>-ig], illetve [http://kenta.blogspot.com/2006/04/sylvester-10th-factored.html ''s''<sub>10</sub>-ig]. A többi prímtényezős felbontást a Jens Kruse Andersen által fenntartott [http://primerecords.dk/sylvester-factors.htm a list of factorizations of Sylvester's sequence] oldal tartja számon.</ref> Konvenció szerint P''n'' és C''n'' bizonyos ''n'' számjegyű prímszámokat, illetve összetett számokat jelölnek.

{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''s''<sub>''n''</sub> prímtényezői
|-
|4
|[[13 (szám)|13]] × [[139 (szám)|139]]
|-
|5
|3263443, ami prím
|-
|6
|[[547 (szám)|547]] × [[607 (szám)|607]] × [[1033 (szám)|1033]] × 31051
|-
|7
|29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
|-
|8
|5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
|-
|9
|[[181 (szám)|181]] × [[1987 (szám)|1987]] × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
|-
|10
|2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × P156
|-
|11
|[[73 (szám)|73]] × C416
|-
|12
|2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × C785
|-
|13
|52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × C1600
|-
|14
|13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × C3293
|-
|15
|17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × C6618
|-
|16
|128551 × C13335
|-
|17
|635263 × 1286773 × 21269959 × C26661
|-
|18
|50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × C53313 
|-
|19
|775608719589345260583891023073879169 × C106685
|-
|20
|352867 × 6210298470888313 × C213419
|-
|21
|387347773 × 1620516511 × C426863
|-
|22
|91798039513 × C853750
|}

== Alkalmazásai ==
{{harvtxt|Boyer|Galicki|Kollár|2005}} a Sylvester-sorozat tulajdonságait használják fel arra, hogy nagy számú olyan [[Szaszaki-sokaság|Szaszaki-féle]] [[Einstein-sokaság]]ot definiáljanak, melyek [[differenciális topológia|differenciális topológiája]] megegyezik a páratlan dimenziójú [[hipergömb|gömbökével]] vagy [[egzotikus gömb]]ökével. Megmutatják, hogy a 2''n'' &minus; 1 dimenziós [[Gömb#Topológia|topologikus gömb]] különböző Szaszaki-féle Einstein-[[Riemann-metrika|metrikája]] legalább arányos az ''s''<sub>''n''</sub>-nel, így ''n''-re nézve dupla exponenciálisan nő.

Ahogy {{harvtxt|Galambos|Woeginger|1995}} is lejegyezte, {{harvtxt|Brown|1979}} és {{harvtxt|Liang|1980}} a Sylvester-sorozatból vett értékekkel konstruált alsó korlátos példákat az [[online algoritmus|online]] [[ládapakolás]]i algoritmusokhoz. {{harvtxt|Seiden|Woeginger|2005}} hasonlóan használta fel a sorozatot egy kétdimenziós [[szabási feladat]]-algoritmus teljesítményének alsó korlátjának beállítására.<ref>Munkájukban Seiden és Woeginger végig „Salzer sorozata”-ként hivatkoznak a Sylvester-sorozatra, {{harvtxt|Salzer|1947}} legjobb approximációra vonatkozó munkája nyomán.</ref>

A [[Znám-probléma]] olyan számhalmazokkal foglalkozik, melyek közül bármelyik szám osztója az összes többi szám szorzata plusz 1-nek, de egyik szám sem azonos vele (tehát valódi osztója). Az utóbbi követelmény hiányában a Sylvester-sorozat értékei megoldásait adnák a problémának; a követelménnyel együtt más megoldásai vannak, melyek a Sylvester-sorozatéhoz hasonló rekurziókból származnak. A Znám-probléma megoldásainak a felületi szingularitások osztályozásában (Brenton and Hill 1988) és a [[nemdeterminisztikus véges állapotú gép|nemdeterminisztikus véges állapotú automaták]] elméletében vannak alkalmazásai.<ref>Domaratzki,Ellul,Shallit,Wang(2005)</ref>

{{harvs|first=D. R.|last=Curtiss|authorlink=David Raymond Curtiss|year=1922|txt}} leírja a ''k'' taggal való, egyhez legközelebbi közelítések egy alkalmazását a [[tökéletes számok]] osztószámának alsó korlátjának meghatározásában; {{harvtxt|Miller|1919}} ugyanezt a tulajdonságot használja bizonyos [[Csoport (matematika)|csoportok]] méretére vonatkozó [[alsó korlát]] meghatározására.

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Cahen-állandó]]
* [[Elsődleges áltökéletes számok]]
* [[Eukleidész–Mullin-sorozat]]

== Jegyzetek ==
{{reflist|30em}}

== Irodalom ==
{{refbegin|30em}}
* {{cite journal
  | last = Badea | first = Catalin
  | title = A theorem on irrationality of infinite series and applications
  | year = 1993
  | journal = [[Acta Arithmetica]]
  | volume = 63
  | pages = 313–323
  | mr = 1218459
  | ref = harv}}
* {{cite web
 |last        = Badea
 |first       = Catalin
 |title       = On some criteria for irrationality for series of positive rationals: a survey
 |year        = 1995
 |url         = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/citations/caen.pdf
 |ref         = harv
 |accessdate  = 2016-04-21
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20080911223925/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/citations/caen.pdf#
 |archivedate = 2008-09-11
}}
*{{cite journal
  | last1 = Boyer | first1 = Charles P.
  | last2 = Galicki | first2 = Krzysztof
  | last3 = Kollár | first3 = János
  | title = Einstein metrics on spheres
  | url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2005-07_162_1/page/557 | journal = [[Annals of Mathematics]]
  | volume = 162
  | issue = 1
  | year = 2005
  | pages = 557–580
  | arxiv = math.DG/0309408 | mr = 2178969
  | doi = 10.4007/annals.2005.162.557
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last1 = Brenton | first1 = Lawrence | last2 = Hill | first2 = Richard
  | title = On the Diophantine equation 1=&Sigma;1/''n''<sub>''i''</sub> + 1/&Pi;''n''<sub>''i''</sub> and a class of homologically trivial complex surface singularities
  | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]]
  | url = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102689567
  | volume = 133
  | issue = 1
  | year = 1988
  | pages = 41–67
  | mr = 0936356 | doi=10.2140/pjm.1988.133.41
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last = Brown | first = D. J.
  | title = A lower bound for on-line one-dimensional bin packing algorithms
  | version = Tech. Rep. R-864
  | year = 1979
  | publisher = Coordinated Science Lab., Univ. of Illinois, Urbana-Champaign
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last = Curtiss | first = D. R. | authorlink = David Raymond Curtiss|
  | title = On Kellogg's diophantine problem
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | jstor = 2299023
  | volume = 29
  | year = 1922
  | issue = 10
  | pages = 380–387
  | doi = 10.2307/2299023
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last1 = Domaratzki | first1 = Michael
  | last2 = Ellul | first2 = Keith
  | author3-link = Jeffrey Shallit | last3 = Shallit | first3 = Jeffrey
  | last4 = Wang | first4 = Ming-Wei
  | title = Non-uniqueness and radius of cyclic unary NFAs
  | journal = International Journal of Foundations of Computer Science
  | volume = 16
  | issue = 5
  | pages = 883–896
  | year = 2005
  | url = http://www.cs.umanitoba.ca/~mdomarat/pubs/DESW_dcfs.ps 
  | mr = 2174328
  | doi = 10.1142/S0129054105003352
  | ref = harv}}
* {{cite book
  | author1-link = Erdős Pál | last1 = Erdős | first1 = Paul
  | author2-link = Ronald Graham | last2 = Graham | first2 = Ronald L.
  | year = 1980
  | title = Old and new problems and results in combinatorial number theory
  | publisher = Monographies de L'Enseignement Mathématique, No. 28, Univ. de Genève
  | mr = 0592420
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last1 = Galambos | first1 = Gábor | last2 = Woeginger | first2 = Gerhard J. | author2-link = Gerhard J. Woeginger
  | title = On-line bin packing — A restricted survey
  | journal = Mathematical Methods of Operations Research
  | volume = 42
  | issue = 1
  | year = 1995
  | doi = 10.1007/BF01415672
  | mr = 1346486
  | pages = 25
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last1 = Golomb | first1 = Solomon W.
  | authorlink = Solomon Golomb
  | title = On certain nonlinear recurring sequences
  | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1963-04_70_4/page/403 | year = 1963
  | journal = American Mathematical Monthly
  | volume = 70
  | issue = 4
  | pages = 403–405
  | jstor = 2311857
  | mr = 0148605
  | doi = 10.2307/2311857
  | ref = harv}}
* {{cite book
  | author1-link = Ronald Graham| last1 = Graham | first1 = R.
  | author2-link = Donald Knuth | last2 = Knuth | first2 = D. E.
  | last3 = Patashnik | first3 = O.
  | title = Concrete Mathematics
  | edition = 2nd
  | year = 1989
  | publisher = Addison-Wesley
  | at = Exercise 4.37
  | isbn = 0-201-55802-5
  | ref = harv}}
*{{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved Problems in Number Theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001 | contribution=E24 Irrationality sequences|page=346|url=http://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA346 |ref=harv}}
*{{cite journal
 | last1 = Guy | first1 = Richard
 | last2 = Nowakowski | first2 = Richard
 | issue = 2
 | journal = Delta (Waukesha)
 | mr = 0384675
 | pages = 49–63
 | title = Discovering primes with Euclid
 | volume = 5
 | year = 1975
  | ref = harv}}
*Jones, Rafe (2006). "The density of prime divisors in the arithmetic dynamics of quadratic polynomials" [https://arxiv.org/abs/math/0612415 arXiv:math.NT/0612415]
* {{cite journal
  | last = Liang | first = Frank M.
  | title = A lower bound for on-line bin packing
  | year = 1980
  | journal = Information Processing Letters
  | volume = 10
  | issue = 2
  | pages = 76–79
  | mr = 0564503
  | doi = 10.1016/S0020-0190(80)90077-0
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last = Miller | first = G. A.
  | title = Groups possessing a small number of sets of conjugate operators
  | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
  | year = 1919
  | volume = 20
  | issue = 3
  | pages = 260–270
  | jstor = 1988867
  | doi = 10.2307/1988867
  | ref = harv}}
*{{cite journal | last=Odoni | first=R. W. K. | title=On the prime divisors of the sequence w<sub>n+1</sub> =1+w<sub>1</sub>⋯w<sub>n</sub> | zbl=0574.10020 | journal=J. Lond. Math. Soc., II. Ser. | volume=32 | pages=1-11 | year=1985|ref=harv }}
* {{cite journal
  | last = Rosenman | first = Martin
  | last2 = Underwood | first2 = F.
  | title = Problem 3536
  | journal = American Mathematical Monthly
  | volume = 40
  | issue = 3
  | year = 1933
  | jstor = 2301036
  | pages = 180–181
  | doi = 10.2307/2301036
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last = Salzer | first = H. E.
  | journal = American Mathematical Monthly
  | year = 1947
  | title = The approximation of numbers as sums of reciprocals
  | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1947-03_54_3/page/135 | volume = 54
  | issue = 3
  | pages = 135–142
  | jstor = 2305906
  | mr = 0020339
  | doi = 10.2307/2305906
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last1 = Seiden | first1 = Steven S. | last2 = Woeginger | first2 = Gerhard J. | author2-link = Gerhard J. Woeginger
  | title = The two-dimensional cutting stock problem revisited
  | journal = Mathematical Programming
  | volume = 102
  | issue = 3
  | year = 2005
  | pages = 519–530
  | doi = 10.1007/s10107-004-0548-1
  | mr = 2136225
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last = Soundararajan | first = K.
  | year = 2005
  | title = Approximating 1 from below using ''n'' Egyptian fractions
  | arxiv = math.CA/0502247
  | ref = harv}}
* {{cite journal
  | last = Sylvester | first = J. J.
  | authorlink = J. J. Sylvester
  | title = On a point in the theory of vulgar fractions
  | jstor = 2369261
  | journal = [[American Journal of Mathematics]]
  | volume = 3
  | issue = 4
  | year = 1880
  | pages = 332–335
  | doi = 10.2307/2369261
  | ref = harv}}
* {{cite book
  | last = Vardi | first = Ilan
  | title = Computational Recreations in Mathematica
  | year = 1991
  | publisher = Addison-Wesley
  | pages = 82–89
  | isbn = 0-201-52989-0
  | ref = harv}}
{{refend}}

== További információk ==
* [https://web.archive.org/web/20000516205029/http://mathpages.com/home/kmath455.htm Irrationality of Quadratic Sums], from K. S. Brown's MathPages.
* {{mathworld | title = Sylvester's Sequence | urlname = SylvestersSequence}}

[[Kategória:Egyiptomi törtek]]
[[Kategória:Nevezetes számsorozatok]]
[[Kategória:Végtelen sorok]]
[[Kategória:Számelmélet]]