Smith–Volterra–Cantor-halmaz forrásának megtekintése

[[Fájl:Smith-Volterra set.png|bélyegkép|jobbra|250px|A fekete intervallumok elhagyása után megmaradó fehér pontok 1/2 mértékű, [[sehol sem sűrű halmaz]]t alkotnak]]

A '''Smith–Volterra–Cantor-halmaz''' (SVC) a [[valós számok]] egy olyan [[részhalmaz]]a, amely bár sehol sem [[sűrű részhalmaz|sűrű]], [[Lebesgue-mérték]]e mégis pozitív.

== Konstrukció ==

A [[Cantor-halmaz]] konstrukciójához hasonlóan most is a [0,&nbsp;1] intervallum bizonyos részintervallumait fogjuk elhagyni: az n. lépésben mindegyik megmaradt intervallumunk közepéből egy-egy 2<sup>-2n</sup> hosszú nyílt intervallumot dobunk el. (Másképp mondva: az n. lépésben a megmaradt 2<sup>n</sup> intervallum középső 1/(2<sup>n</sup>+2) arányú részét vágjuk ki (1/4, 1/6, 1/10, ...), tehát a Cantor-halmaztól eltérően nem fix ez az arány.) Vagyis az első lépés után a

:<math>\left[0, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, 1\right]</math>

halmazt kapjuk, a második után a

:<math>\left[0, \frac{5}{32}\right] \cup \left[\frac{7}{32}, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, \frac{25}{32}\right] \cup \left[\frac{27}{32}, 1\right]</math>
halmazt stb.

[[Fájl:Smith-Volterra-Cantor set.svg|center|512px]]

Ha az ''n''. lépés után megmaradó pontok halmazát <math>A_n</math> jelöli, akkor a <math>\cap_{n\in \omega} A_n</math> halmazt nevezzük Smith–Volterra–Cantor-halmaznak. Más szavakkal: azon pontok lesznek az SVC elemei, amelyeket egyik lépésben sem dobtuk el.

Figyeljük meg, hogy minden lépésben a megmaradt pontok egyre kisebb hányadát vesszük ki, ellentétben a Cantor-halmaz konstrukciójával, ahol mindig a megmaradt halmaz 1/3-át dobjuk el. Intuitíven ez az „oka”, hogy a Smith–Volterra–Cantor-halmaz mértéke pozitív, a Cantor-halmazé viszont zérus.

== Tulajdonságok ==
A konstrukció alapján látható, hogy a Smith–Volterra–Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot, azaz nincs belső pontja. Mivel zárt halmazok metszeteként áll elő, így maga is zárt halmaz. Sehol sem sűrű, hiszen a lezártjának nincs belső pontja (zárt halmaz lévén a lezártja önmaga).

Világos, hogy a halmaz mértéke 1/2, hiszen az eldobott intervallumok összhossza:
:<math>\sum _{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{2^{2n}}=\frac14+\frac18+\dots=\frac12</math>

== Kapcsolódó szócikkek ==
* Az SVC-t használjuk a [[Volterra-függvény]] konstrukciójánál (lásd a külső hivatkozást)
* Az SVC példa nem Jordan-mérhető kompakt halmazra.
* Az SVC [[indikátorfüggvény]]e példa olyan korlátos függvényre, amely nem [[Riemann-integrál]]ható (0,1)-en, és nem egyezik meg majdnem mindenütt egy Riemann-integrálható függvénnyel.

== Források ==
* [http://www.macalester.edu/~bressoud/talks/AlleghenyCollege/Wrestling.pdf ''Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function] {{Wayback|url=http://www.macalester.edu/~bressoud/talks/AlleghenyCollege/Wrestling.pdf |date=20201123131325 }}, David Bressoud írása
{{Portál|matematika}}

[[Kategória:Mértékelmélet]]
[[Kategória:Fraktálok]]
[[Kategória:Valós analízis]]