Prímhézag forrásának megtekintése

A [[matematika]], azon belül a [[számelmélet]] területén a '''prímhézag''' ''(prime gap'', jelölése a gap-ből gyakran ''g'') két egymást követő [[prímszám]] közötti különbséget jelenti. Az ''n''-edik prímhézag, jelölje ''g''<sub>''n''</sub> vagy ''g''(''p''<sub>''n''</sub>) az (''n''&nbsp;+&nbsp;1)-edik és az ''n''-edik prímszámok közötti különbség:

:<math>g_n = p_{n + 1} - p_n.\ </math>

Így tehát ''g''<sub>1</sub> = 1, ''g''<sub>2</sub> = ''g''<sub>3</sub> = 2, ''g''<sub>4</sub> = 4 stb. A prímhézagok (''g''<sub>''n''</sub>) sorozatát átfogóan tanulmányozták, mégis számos nyitott kérdés és sejtés létezik velük kapcsolatban.

Az első 60 prímhézag:

:1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... {{OEIS|id=A001223}}.

A ''g''<sub>''n''</sub> sorozat definíciójából következik, hogy minden prímszám felírható a következő alakban:

:<math>p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i.</math>

==Egyszerű megfigyelések==
Az első, legkisebb, és egyetlen páratlan prímhézag (1) az egyetlen páros prímszám (2) és az első páratlan prímszám (3) között van. Az összes többi prímhézag páros. Egyetlen olyan prímhézag-páros van, ami maga is prímszámokból áll, a ''g''<sub>2</sub> és ''g''<sub>3</sub> a 3, 5 és 7 között.

Bármely ''P'' prímszám esetén ''P''#-tel jelöljük ''P [[primoriális]]át'', tehát az összes prímszám szorzatát ''P''-ig bezárólag, ''P''-t is beleértve. Ha ''Q'' a ''P''-t közvetlenül követő prímszám, akkor a következő sorozat:

: <math>P\#+2, P\#+3,\ldots,P\#+(Q-1)</math>

''Q''&nbsp;&minus;&nbsp;2 egymást követő egész számot tartalmaz, tehát itt a prímhézag legalább ''Q''&nbsp;&minus;&nbsp;1 hosszúságú. Ebből következik, hogy [[tetszőlegesen nagy]] prímhézagok léteznek, így tehát bármely ''P'' prímszámhoz tartozik olyan ''n'' egész szám, ahol ''g''<sub>''n''</sub> ≥ ''P''. (Belátható, ha ''n''-et úgy választjuk meg, hogy ''p''<sub>''n''</sub> a legnagyobb prímszám, ami kisebb ''P''#&nbsp;+&nbsp;2-nél.) A tetszőlegesen nagy prímhézagok létezése a [[prímszámtétel]]ből kiindulva is belátható, mi szerint a prímszámok sűrűsége közelít a nullához. A tétel szerint ''P''# igen durva közelítésben exp(''P'') nagyságú, exp(''P'') környezetében pedig az egymást követő prímszámok közötti ''átlagos'' távolság ''P''.

A gyakorlatban a ''P'' méretű prímrések a ''P''#-nál jóval előbb jelentkeznek. Például a 71 egymást követő összetett számból álló szekvencia először 31398 és 31468 között jelentkezik, míg a 71# ''huszonhét számjegyből áll'' – tízes számrendszerben 557940830126698960967415390.

Bár a prímszámok közti átlagos hézag nagysága a számok [[természetes logaritmus]]a szerint növekszik, a maximális prímhézag és a benne foglalt egészek közötti arány szintén nő, ahogy egyre nagyobb számok és prímhézagok fordulnak elő.

Az ellenkező irányt tekintve, az [[ikerprímsejtés]] szerint {{nowrap|1=''g''<sub>''n''</sub> = 2}} végtelen sok ''n'' helyen.

==Numerikus eredmények==
2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható [[valószínű prím]] végekkel {{szám|5103138}} hosszúságú, a hozzá tartozó 216849 jegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta, ennek a jósága M=10,2203.<ref>{{Cite web |url=http://trnicely.net/index.html#TPG |title=Archivált másolat |accessdate=2017-04-05 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170406131907/http://trnicely.net/index.html#TPG |archivedate=2017-04-06 }}</ref> A legnagyobb ismert prímhézag, aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók, {{szám|1113106}} hosszúságú, a szélein lévő 18662 jegyű prímszámokat P. Cami, M. Jansen és J. K. Andersen találták meg.<ref name=top20>{{cite web|last1=Andersen|first1=Jens Kruse|title=The Top-20 Prime Gaps|url=http://primerecords.dk/primegaps/gaps20.htm|access-date=2014-06-13}}</ref><ref>[http://primerecords.dk/primegaps/gap1113106.htm A proven prime gap of 1113106]</ref>

Nevezzük ''g''<sub>''n''</sub>-t ''maximális prímhézagnak'', ha ''g''<sub>''m''</sub> < ''g''<sub>''n''</sub> minden ''m'' < ''n'' esetben.
2016 júniusában a legnagyobb ismert maximális prímhézag 1476 hosszúságú, Tomás Oliveira e Silva találta meg. Ez sorrendben a 75. maximális hézag, és az 1425172824437699411 prímszám után következik.<ref>[http://primerecords.dk/primegaps/maximal.htm Maximal Prime Gaps]</ref> További maximális prímhézag-rekordok találhatók itt: {{OEIS2C|id=A002386}}.

Egy prímhézag ''jóságán'' ''(merit)'' a ''g''<sub>''n''</sub> / ln(''p''<sub>''n''</sub>) arány értendő. 1931-ben E. Westzynthius bebizonyította, hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek. Tehát,<ref>{{Citation |last=Westzynthius |first=E. |title=Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind |language=de|journal=Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors |volume=5 |issue= |year=1931 |pages=1–37 | zbl=0003.24601 | jfm=57.0186.02}}.</ref>
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty.</math>

{| class="wikitable"
|+ '''Legnagyobb ismert jóság-értékek''' (2016-11)<ref name=max_merit>{{Cite web |url=http://www.trnicely.net/#MaxMerit |title=NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT |accessdate=2016-07-11 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160712050001/http://www.trnicely.net/#MaxMerit |archivedate=2016-07-12 }}</ref><ref name=dynamic_stats>[http://ntheory.org/gaps/stats.pl Dynamic prime gap statistics]</ref><ref name=tpg>{{Cite web |url=http://www.trnicely.net/index.html#TPG |title=TABLES OF PRIME GAPS  |accessdate=2016-07-11 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160620000854/http://www.trnicely.net/index.html#TPG |archivedate=2016-06-20 }}</ref>
|-
! Jóság !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''számjegyek'' !! ''p<sub>n</sub>'' !! Dátum !! Felfedező
|-
| 36,858288 || 10716 || 127 || 7910896513·283#/30 &minus; 6480 || 2016 || Dana Jacobsen
|-
| 36,590183 || 13692 || 163 || 1037600971·383#/210 &minus; 8776 || 2016 || Dana Jacobsen
|-
| 36,420568 || 26892 || 321 || 59740589·757#/210 &minus; 14302 || 2016 || Dana Jacobsen
|-
| 35,424459 || 66520 || 816 || 1931·1933#/7230 &minus; 30244 || 2012 || Michiel Jansen
|-
| 35,310308 || 1476 || 19 || 1425172824437699411 || 2009 || Tomás Oliveira e Silva
|-
| 34,975687 || 1442 || 18 || 804212830686677669 || 2005 || Siegfried Herzog
|-
|}

2016. novemberi adat szerint a legnagyobb ismert jósági érték 10716 / ln(7910896513·283#/30&nbsp;&minus;&nbsp;6480) ≈&nbsp;36,858288 (283# 283 [[primoriális]]át jelöli). A végpontok 127 jegyű prímek.

A Cramér–Shanks–Granville-arány a következő szám:<ref name=max_merit />

:<math>\frac{g_n}{\log^2 p_n}</math>

Az arány legnagyobb ismert értéke 0,9206386, ami az 1693182318746371 prímszámhoz tartozik. Megoszlanak a vélemények, hogy az arány eléri-e az egyet; további rekordértékek itt találhatók: {{OEIS2C|id=A111943}}.

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|+ '''Az első 75 maximális prímhézag''' (''n'' értéke nem szerepel)
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 1 – 25
|-
! # !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''p<sub>n</sub>''
|-
| 1|| 1 || 2
|-
| 2|| 2 || 3
|-
| 3|| 4 || 7
|-
| 4|| 6 || 23
|-
| 5|| 8 || 89
|-
| 6|| 14 || 113
|-
| 7|| 18 || 523
|-
| 8|| 20 || 887
|-
| 9|| 22 || 1129
|-
|10|| 34 || 1327
|-
|11|| 36 || 9551
|-
|12|| 44 || 15&nbsp;683
|-
|13|| 52 || 19&nbsp;609
|-
|14|| 72 || 31&nbsp;397
|-
|15|| 86 || 155&nbsp;921
|-
|16|| 96 || 360&nbsp;653
|-
|17|| 112 || 370&nbsp;261
|-
|18|| 114 || 492&nbsp;113
|-
|19|| 118 || 1&nbsp;349&nbsp;533
|-
|20|| 132 || 1&nbsp;357&nbsp;201
|-
|21|| 148 || 2&nbsp;010&nbsp;733
|-
|22|| 154 || 4&nbsp;652&nbsp;353
|-
|23|| 180 || 17&nbsp;051&nbsp;707
|-
|24|| 210 || 20&nbsp;831&nbsp;323
|-
|25|| 220 || 47&nbsp;326&nbsp;693
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 26 – 50
|-
! # !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''p<sub>n</sub>''
|-
|26|| 222 || 122&nbsp;164&nbsp;747
|-
|27|| 234 || 189&nbsp;695&nbsp;659
|-
|28|| 248 || 191&nbsp;912&nbsp;783
|-
|29|| 250 || 387&nbsp;096&nbsp;133
|-
|30|| 282 || 436&nbsp;273&nbsp;009
|-
|31|| 288 || 1&nbsp;294&nbsp;268&nbsp;491
|-
|32|| 292 || 1&nbsp;453&nbsp;168&nbsp;141
|-
|33|| 320 || 2&nbsp;300&nbsp;942&nbsp;549
|-
|34|| 336 || 3&nbsp;842&nbsp;610&nbsp;773
|-
|35|| 354 || 4&nbsp;302&nbsp;407&nbsp;359
|-
|36|| 382 || 10&nbsp;726&nbsp;904&nbsp;659
|-
|37|| 384 || 20&nbsp;678&nbsp;048&nbsp;297
|-
|38|| 394 || 22&nbsp;367&nbsp;084&nbsp;959
|-
|39|| 456 || 25&nbsp;056&nbsp;082&nbsp;087
|-
|40|| 464 || 42&nbsp;652&nbsp;618&nbsp;343
|-
|41|| 468 || 127&nbsp;976&nbsp;334&nbsp;671
|-
|42|| 474 || 182&nbsp;226&nbsp;896&nbsp;239
|-
|43|| 486 || 241&nbsp;160&nbsp;624&nbsp;143
|-
|44|| 490 || 297&nbsp;501&nbsp;075&nbsp;799
|-
|45|| 500 || 303&nbsp;371&nbsp;455&nbsp;241
|-
|46|| 514 || 304&nbsp;599&nbsp;508&nbsp;537
|-
|47|| 516 || 416&nbsp;608&nbsp;695&nbsp;821
|-
|48|| 532 || 461&nbsp;690&nbsp;510&nbsp;011
|-
|49|| 534 || 614&nbsp;487&nbsp;453&nbsp;523
|-
|50|| 540 || 738&nbsp;832&nbsp;927&nbsp;927
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 51 – 75
|-
! # !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''p<sub>n</sub>''
|-
|51|| 582 || 1&nbsp;346&nbsp;294&nbsp;310&nbsp;749
|-
|52|| 588 || 1&nbsp;408&nbsp;695&nbsp;493&nbsp;609
|-
|53|| 602 || 1&nbsp;968&nbsp;188&nbsp;556&nbsp;461
|-
|54|| 652 || 2&nbsp;614&nbsp;941&nbsp;710&nbsp;599
|-
|55|| 674 || 7&nbsp;177&nbsp;162&nbsp;611&nbsp;713
|-
|56|| 716 || 13&nbsp;829&nbsp;048&nbsp;559&nbsp;701
|-
|57|| 766 || 19&nbsp;581&nbsp;334&nbsp;192&nbsp;423
|-
|58|| 778 || 42&nbsp;842&nbsp;283&nbsp;925&nbsp;351
|-
|59|| 804 || 90&nbsp;874&nbsp;329&nbsp;411&nbsp;493
|-
|60|| 806 || 171&nbsp;231&nbsp;342&nbsp;420&nbsp;521
|-
|61|| 906 || 218&nbsp;209&nbsp;405&nbsp;436&nbsp;543
|-
|62|| 916 || 1&nbsp;189&nbsp;459&nbsp;969&nbsp;825&nbsp;483
|-
|63|| 924 || 1&nbsp;686&nbsp;994&nbsp;940&nbsp;955&nbsp;803
|-
|64||1132 || 1&nbsp;693&nbsp;182&nbsp;318&nbsp;746&nbsp;371
|-
|65||1184 || 43&nbsp;841&nbsp;547&nbsp;845&nbsp;541&nbsp;059
|-
|66||1198 || 55&nbsp;350&nbsp;776&nbsp;431&nbsp;903&nbsp;243
|-
|67||1220 || 80&nbsp;873&nbsp;624&nbsp;627&nbsp;234&nbsp;849
|-
|68||1224 || 203&nbsp;986&nbsp;478&nbsp;517&nbsp;455&nbsp;989
|-
|69||1248 || 218&nbsp;034&nbsp;721&nbsp;194&nbsp;214&nbsp;273
|-
|70||1272 || 305&nbsp;405&nbsp;826&nbsp;521&nbsp;087&nbsp;869
|-
|71||1328 || 352&nbsp;521&nbsp;223&nbsp;451&nbsp;364&nbsp;323
|-
|72||1356 || 401&nbsp;429&nbsp;925&nbsp;999&nbsp;153&nbsp;707
|-
|73||1370 || 418&nbsp;032&nbsp;645&nbsp;936&nbsp;712&nbsp;127
|-
|74||1442 || 804&nbsp;212&nbsp;830&nbsp;686&nbsp;677&nbsp;669
|-
|75||1476 || 1&nbsp;425&nbsp;172&nbsp;824&nbsp;437&nbsp;699&nbsp;411
|}
|}

==További eredmények==

===Felső korlátok===
Az 1852-ben bizonyított [[Bertrand-posztulátum]] kimondja, hogy ''k'' és 2''k'' között mindig létezik prímszám, így tehát ''p''<sub>''n''+1</sub>&nbsp;<&nbsp;2''p''<sub>''n''</sub>, amiből következik, hogy ''g''<sub>''n''</sub>&nbsp;<&nbsp;''p''<sub>''n''</sub>.

Az 1896-ban bizonyított [[prímszámtétel]] szerint egy ''p'' prímszám és a rákövetkező prímszám közötti hézag átlagos nagysága ln(''p''). Egy konkrét hézag tényleges mérete persze ennél jóval nagyobb vagy kisebb is lehet. A prímszámtételből azonban következik egy felső korlát is: minden ε > 0-hoz létezik ''N'' szám, amire ''g''<sub>''n''</sub> < ε''p''<sub>''n''</sub> minden ''n''&nbsp;>&nbsp;''N'' esetben.

Kikövetkeztethető, hogy a prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek, tetszőlegesen kicsik: a hányados nullához tart:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.</math>

[[Guido Hoheisel|Hoheisel]] (1930) mutatta meg elsőként,<ref name="Hoheisel">{{cite journal |first=G. |last=Hoheisel |title=Primzahlprobleme in der Analysis |journal=Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |volume=33 |issue= |pages=3–11 |year=1930 | jfm=56.0172.02}}</ref> hogy létezik egy θ < 1 konstans, amire

:<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ ahogy } x \to \infty, </math>

így tehát:

:<math>g_n<p_n^\theta,\,</math>

[[elegendően nagy]]&nbsp;''n''-ekre.

Hoheisel a θ értékét 32999/33000-ra tette. Ezt [[Hans Heilbronn|Heilbronn]] 249/250-re javította,<ref name="Heilbronn">{{cite journal |first=H. A. |last=Heilbronn |title=Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel |journal=Mathematische Zeitschrift |volume=36 |issue=1 |pages=394–423 |year=1933 |doi=10.1007/BF01188631}}</ref> majd [[Nikolai Chudakov|Chudakov]] θ = 3/4 + ε-re, bármilyen ε > 0-ra.<ref name="Tchudakoff">{{cite journal |first=N. G. |last=Tchudakoff |title=On the difference between two neighboring prime numbers |journal=Math. Sb. |volume=1 |issue= |pages=799–814 |year=1936 |doi= }}</ref>

[[Albert Ingham|Ingham]] nevéhez fűződik egy nagyobb előrelépés,<ref name="Ingham">{{cite journal |last=Ingham |first=A. E. |title=On the difference between consecutive primes |journal=Quarterly Journal of Mathematics |series=Oxford Series |volume=8 |issue=1 |pages=255–266 |year=1937 |doi=10.1093/qmath/os-8.1.255 | zbl= | jfm= }}</ref> aki megmutatta, hogy ha

:<math>\zeta(1/2 + it)=O(t^c)\,</math>

valamely pozitív ''c'' konstansra, ahol az ''O'' az [[O jelölés]]re utal, akkor

:<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)}</math>

bármely θ > (1 + 4''c'')/(2 + 4''c'')-re. Itt a szokásos módon ζ a [[Riemann-féle zéta-függvény]], π pedig a [[prímszámláló függvény]]. Tudva, hogy bármely ''c'' > 1/6 elfogadható, megállapítható, hogy θ bármely ⅝-nál nagyobb szám lehet.

Ingham eredményének közvetlen következménye, hogy ''n''<sup>3</sup> és (''n'' + 1)<sup>3</sup> között mindig van prímszám, ha ''n'' [[elegendően nagy]].<ref>{{cite journal | last=Cheng | first=Yuan-You Fu-Rui | title=Explicit estimate on primes between consecutive cubes | zbl=1201.11111 | journal=Rocky Mt. J. Math. | volume=40 | pages=117–153 | year=2010 | doi=10.1216/rmj-2010-40-1-117}}</ref> A [[Lindelöf-sejtés]] implikálná, hogy Ingham képlete bármilyen pozitív ''c'' számra igaz, de még ez sem lenne elég annak igazolására, hogy elegendően nagy ''n''-re mindig van prímszám ''n''<sup>2</sup> és (''n'' + 1)<sup>2</sup> között (lásd [[Legendre-sejtés]]). Ennek igazolására erősebb eredményre, például a [[Cramér-sejtés]]re volna szükség.

[[Martin Huxley|Huxley]] 1972-ben megmutatta, hogy θ választható például θ = 7/12 = 0,58(3)-ra is.<ref name="huxley">{{cite journal |last=Huxley |first=M. N. |year=1972 |title=On the Difference between Consecutive Primes |journal=Inventiones Mathematicae |volume=15 |issue=2 |pages=164–170 |doi=10.1007/BF01418933}}</ref>

Baker, [[Glyn Harman|Harman]] és [[Pintz János|Pintz]] 2001-es eredménye szerint θ levihető akár 0,525-ig.<ref name="baker">{{cite journal |last=Baker |first=R. C. |first2=G. |last2=Harman |first3=J. |last3=Pintz |year=2001 |title=The difference between consecutive primes, II |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=83 |issue=3 |pages=532–562 |doi=10.1112/plms/83.3.532}}</ref>

2005-ben [[Daniel Goldston]], [[Pintz János]] és [[Cem Yıldırım]] bebizonyították, hogy
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=0</math>,

majd két évvel később a következőre javították az eredményt:<ref>{{cite web|url=http://arxiv.org/abs/0710.2728|title=Primes in Tuples II|publisher=ArXiv|accessdate=2013-11-23}}</ref>
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.</math>

2013-ban [[Yitang Zhang]] igazolta, hogy
:<math>\liminf_{n\to\infty} g_n < 7\cdot 10^7,</math>

ami azt jelenti, hogy végtelen sok 70 milliónál nem nagyobb prímhézag létezik.<ref>{{cite journal | title = Bounded gaps between primes | url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2014-05_179_3/page/1121 | first = Yitang | last = Zhang | authorlink=Yitang Zhang | journal = [[Annals of Mathematics]] | year=2014 | volume=179 | issue=3 | pages=1121–1174 | doi=10.4007/annals.2014.179.3.7 | mr=3171761}}</ref> A [[Polymath Project]] keretében végzett együttműködés keretében sikerült Zhang korlátját optimalizálni, 2013. július 20-ára egészen 4680-ig vitték le.<ref name=polymath>{{cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|title=Bounded gaps between primes|publisher=Polymath|accessdate=2013-07-21}}</ref> 2013 novemberében, [[James Maynard]] bemutatta a GPY-szita egy új finomítását, amivel a korlátot 600-ig vitte le, továbbá megmutatta, hogy bármely ''m''-re létezik ''m'' prímszámot tartalmazó korlátos intervallum:<ref>{{cite journal | title=Small gaps between primes | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2015-01_181_1/page/383 | last=Maynard | first=James | authorlink=James Maynard (mathematician) | year=2015 | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=181 | issue=1 | pages=383–413 | mr=3272929 | doi=10.4007/annals.2015.181.1.7}}</ref>

:<math>\liminf_{n} (p_{n+m} - p_n) \ll m^3e^{4m}.</math>

Maynard gondolatait továbbfejlesztve a Polymath project azóta feljavította a korlátot 246-ra.<ref name=polymath/><ref>{{cite journal | author=D.H.J. Polymath | title=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes | journal=Research in the Mathematical Sciences | volume=1 | number=12 | doi=10.1186/s40687-014-0012-7 | arxiv=1407.4897 | year=2014 | mr=3373710}}</ref> Továbbá, feltételezve az [[Elliott–Halberstam-sejtés]] és [[általánosított Elliott–Halberstam-sejtés|annak általánosított formájának]] igazságát, a Polymath project wiki állítása szerint N-et 12-re, illetve 6-ra sikerült lecsökkenteni.<ref name=polymath/>

===Alsó korlátok===
1938-ban [[Robert Alexander Rankin|Robert Rankin]] bebizonyította, hogy létezik olyan ''c''&nbsp;&gt;&nbsp;0 konstans, amire a

:<math>g_n > \frac{c\log n\log\log n\log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2}</math>

egyenlőtlenség végtelen sok ''n'' értékre igaz lesz, továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius<!-- finn aktuárius, 1901–1980 --> és [[Erdős Pál]] eredményeit. Később megmutatta, hogy bármely ''c''&nbsp;<&nbsp;''e''<sup>γ</sup> konstans jó lehet, ahol γ az [[Euler–Mascheroni-állandó]]. A ''c'' konstans értékét 1997-ben javították bármely 2''e''<sup>γ</sup>-nál kisebb értékre.<ref>{{cite journal |first=J. |last=Pintz |title=Very large gaps between consecutive primes |journal=[[Journal of Number Theory|J. Number Theory]] |volume=63 |issue=2 |pages=286–301 |year=1997 |doi=10.1006/jnth.1997.2081}}</ref>

Erdős Pál {{szám|10000}} dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért, hogy a fenti egyenlőtlenség ''c'' konstansát bármilyen nagyra lehet választani.<ref>Erdős, Some of my favourite unsolved problems</ref> Ezt 2014-ben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek, és tőlük függetlenül James Maynardnak.<ref>{{cite journal | first1=Kevin | last1=Ford | first2=Ben | last2=Green | first3=Sergei | last3=Konyagin | first4=Terence | last4=Tao | year=2016 | arxiv=1408.4505 | title=Large gaps between consecutive prime numbers | journal=[[Ann. of Math.]] | volume=183 | issue=3 | pages=935–974 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.4 | mr=3488740}}</ref><ref>{{cite journal | first=James | last=Maynard | year=2016 | volume=183 | issue=3 | arxiv=1408.5110v1 | title=Large gaps between primes | pages=915–933 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.3 | mr = 3488739 | journal=[[Ann. of Math.]]}}</ref>

Az eredményt Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao tovább javította a következőre:

:<math>g_n \gg \frac{\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n}</math>

''n'' végtelen sok értékére.<ref>[https://arxiv.org/abs/1412.5029 Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2015). "Long gaps between primes".]</ref>

Prímhézagok láncolatára szintén sikerült alsó korlátokat megállapítani.<ref>[https://arxiv.org/abs/1511.04468 Ford, Kevin; Maynard, James; Tao, Terence (2015-10-13). "Chains of large gaps between primes".]</ref>

==Prímhézagokkal kapcsolatos sejtések==
[[Fájl:Wikipedia primegaps.png|thumb|350px|Prímhézagfüggvény]]
Még jobb eredmények érhetők el, ha a [[Riemann-sejtés]]t igaznak feltételezzük. [[Harald Cramér]] igazolta,<ref name="Cramér1936">{{Citation |last=Cramér |first=Harald |title=On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=2 |year=1936 |pages=23–46 |accessdate=2016-07-11 |archívurl=https://web.archive.org/web/20180723035707/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |archívdátum=2018-07-23 }}</ref> hogy a Riemann-sejtésből következik, hogy a ''g''<sub>''n''</sub> prímhézagra teljesül, hogy
:<math> g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n), </math>
a nagy O jelölést használva.
Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek. A [[Cramér-sejtés]] durván azt fogalmazza meg, hogy
:<math> g_n = O\left((\log p_n)^2\right). </math>

A [[Firoozbakht-sejtés]] kimondja, hogy <math>p_{n}^{1/n}</math> (ahol <math>p_n</math> az ''n''-edik prím) ''n'' szerint szigorúan csökkenő függvény, tehát

:<math>p_{n+1}^{1/(n+1)} < p_n^{1/n} \text{ minden } n \ge 1.</math>

Ha ez a sejtés igaz, akkor a <math>g_n = p_{n+1} - p_n </math> függvény teljesíti a <math> g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n \text{ minden } n > 4. </math><ref>{{citation |last=Sinha |first=Nilotpal Kanti |title=On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture |journal= |arxiv=1010.1399 |year=2010 |pages=1–10 |url=http://arxiv.org/abs/1010.1399}}.</ref> Következne belőle a [[Cramér-sejtés]] egy erős formája, de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal,<ref>{{citation |last=Granville |first=A. |title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers |journal=Scandinavian Actuarial Journal |volume=1 |issue= |year=1995 |pages=12–28 |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf }} {{Wayback|url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |date=20150923212842 }} {{Cite web |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |title=Archivált másolat |accessdate=2016-07-11 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150923212842/http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |archivedate=2015-09-23 }}.</ref><ref>{{citation |last=Granville |first=Andrew |title=Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |volume=1 |year=1995 |pages=388–399 |url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf}}.</ref><ref name="Pintz07">{{citation|last=Pintz|first=János|title=Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes|journal=Funct. Approx. Comment. Math.|volume=37|issue=2|year=2007|pages=232–471|url=http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660}}</ref> melyek szerint <math> g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2</math> végtelen sokszor bármely <math>\varepsilon>0,</math>-ra, ahol <math>\gamma</math> az [[Euler–Mascheroni-állandó]]t jelöli.

[[Oppermann-sejtés|Oppermann sejtése]] gyengébb, mint a Cramér-sejtés. Az Oppermann-sejtéssel becsült prímhézag mérete nagyságrendileg:

:<math> g_n < \sqrt{p_n}.</math>
Ha ez igaz, akkor létezik egy m>0 (valószínűleg m=30) természetes szám, amire minden n>m-re teljesül, hogy <math> g_n < \sqrt{p_n}.</math>

Az [[Andrica-sejtés]], ami Oppermann sejtésének gyengébb változata, kimondja, hogy<ref name="Guy">Guy (2004) §A8</ref>

:<math> g_n < 2\sqrt{p_n} + 1.</math>

Ez enyhén erősebb a [[Legendre-sejtés]]nél, ami szerint az egymást követő négyzetszámok között mindig található prímszám.

==Számelméleti függvényként==
Az ''n''-edik és (''n''&nbsp;+&nbsp;1)-edik prímszámok közötti ''g''<sub>''n''</sub> prímhézag a [[számelméleti függvények]] egy példája. Ebben a kontextusban szokásosan ''d''<sub>''n''</sub>-nel jelölik (magyar kontextusban ez a jelölés általában az [[osztószám-függvény]]t illeti), neve pedig prímkülönbség-függvény ''(prime difference function)''.<ref name="Guy"/> A függvény se nem multiplikatív, se nem additív.
{{clear}}

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Bonse-egyenlőtlenség]]
* [[Ikerprím]]

==Fordítás==
* {{fordítás|en|Prime gap|oldid=728461777|n=a|4=angol}}

==Jegyzetek==
{{Reflist|2}}
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001}}

==Irodalom==
* {{cite journal | last=Soundararajan | first=Kannan | authorlink=Kannan Soundararajan | title=Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım | zbl=1193.11086 | journal=Bull. Am. Math. Soc., New Ser. | volume=44 | number=1 | pages=1–18 | year=2007 | doi=10.1090/s0273-0979-06-01142-6}}
* {{cite journal | first=Preda | last=Mihăilescu | authorlink=Preda Mihăilescu | journal=Newsletter of the European Mathematical Society | number=92 | date=June 2014 | issn=1027-488X | title=On some conjectures in additive number theory | pages=13–16 | url=http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2014-06-92.pdf | doi=10.4171/NEWS}}

==További információk==
* [[Thomas R. Nicely]], [https://web.archive.org/web/20160712050001/http://www.trnicely.net/ Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory]. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
* {{MathWorld|urlname=PrimeDifferenceFunction|title=Prime Difference Function}}
* {{planetmath reference|id=3143|title=Prime Difference Function}}
* Armin Shams, [http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11253-008-0034-7 Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture], does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
* [[Chris Caldwell]], [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html ''Gaps Between Primes'']; an elementary introduction
* [http://www.primegaps.com/ www.primegaps.com] A study of the gaps between consecutive prime numbers
* [[Andrew Granville]], [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/CEBBrochureFinal.pdf ''Primes in Intervals of Bounded Length'']; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

{{Prímszámok osztályozása}}

[[Kategória:Számelméleti függvények]]
[[Kategória:Prímszámok]]