Parciális differenciálegyenlet forrásának megtekintése

{{lektor}}
[[Fájl:Heat.gif|bélyegkép|A kétdimenziós hőegyenlet megoldásának szemléltetése. A hőmérséklet van a harmadik dimenzió függvényében ábrázolva]]
A [[matematika|matematikában]] a '''parciális differenciálegyenlet''' (röviden PDE) ismeretlen többváltozós [[függvény (matematika)|függvényeket]] és ezek [[parciális derivált]]jait tartalmazó [[differenciálegyenlet]]. A parciális differenciálegyenletek olyan problémákat fogalmaznak meg, amelyekben a keresett függvények és azok deriváltjai több független változótól függnak. Az ismeretlen függvények meghatározhatóak analitikusan, vagy kereshetjük a megoldásokat numerikus módszerek segítségével. A differenciálegyenletek másik nagy osztálya a [[közönséges differenciálegyenlet]]ek (KDE), amely egyváltozós függvényeket és ezek [[derivált]]jait foglalja magába.

A parciális differenciálegyenletek és azok megoldásainak keresése az egyik leggyakrabban előforduló matematikai probléma a [[Közgazdaságtan|közgazdaságtanban]], a mérnöki tudományokban, illetve az élő és élettelen [[Természettudomány|természettudományokban]]. Alapvető jelentőséggel bírnak számos [[Fizika|fizikai]] jelenség, mint a hang, hővezetés, [[elektrodinamika]], [[áramlástan]], rugalmasság vagy [[kvantummechanika]] matematikai leírásában. 

A  XVII. századra során, az [[Isaac Newton]] és [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] által kidolgozott differenciál- és integrálszámítás lehetővé tette a parciális differenciálegyenletek formális megalapozását. A résztudomány megszületése a XVIII. századra tehető, és első úttőrői [[Pierre-Simon de Laplace|Pierre-Simon Laplace]], illetve [[Joseph Fourier|Jean-Baptise Joseph Fourier]] voltak, akik jelentős eredményeket értek el a hővezetés, illetve a gravitációs mezők parciális differenciálegyenletekkel való leírásával. 

A résztudományterület ezt követően gyorsan fejlődött, a XVIII-XX. között számos kiemelkedő matematikus járult hozzá a parciális differenciálegyenletek elméletéhez: [[Augustin Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] szintén az parciális differenciálegyenletek elméletének egyik megalapozója, ő dolgozta ki a róla elnevezett Cauchy-problémát. [[Jacques Hadamard]] munkái hozzájárultak az elliptikus és hiperbolikus egyenletek megértéséhez, valamint általánosan a PDE-k megoldhatósága és stabilitása kapcsán. [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] a megoldásokhoz alkalmazott integrálási módszerek terén végzett úttörő munkát, és rámutatott a szimmetriák jelentős szerepére a matematikai fizikában. [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Berhard Riemann]] nevézhez köthető a differenciálegyenletek geometriájának kidolgozása. A 20. század egyik legnagyobb hatású matematikusa a területen [[David Hilbert]] volt. [[Andrej Nyikolajevics Kolmogorov|Andrej Nyikoljaevics Kolmogorov]] dolgozta ki a sztochasztikus parciális differenciálegyenletek elméletét, amely lehetővé tette a véletlenszerű többváltozós, és vagy több dimenziós dinamikai rendszerek matematikai leírását<ref>{{Cite book |author=Sain Márton |title=Nincs királyi út! |accessyear=1986}}</ref>. 

== Bevezetés ==
A PDE-k olyan [[egyenlet]]ek, amelyek valamilyen [[folytonosság|folytonos]] [[változó (matematika)|változók]] fejlődését írják le (térben, időben stb.). Egy merev test helyzetét megadhatjuk hat paraméterrel,<ref>{{CitLib|aut=Lorenzo Sciavicco|aut2=Bruno Siciliano|tit=Modelling and Control of Robot Manipulators|ann=2001-02-19|isbn=9781852332211|url=https://books.google.com/books?id=v9PLbcYd9aUC&pg=PA32|accd=2018-06-24}}</ref> de egy folyadék viselkedését jó néhány változó folytonos eloszlása adja meg, mint pl. a hőmérséklet, nyomás és így tovább. A merev test dinamikája egy véges dimenziójú konfigurációs térben játszódik le, egy folyadék dinamikája azonban meglehet, hogy akár egy végtelen dimenziójú konfigurációs térben kaphat helyet. Általában ez különbözteti meg a PDE-ket a KDE-ktől, de itt most, a közérthetőség kedvéért, [[lineáris függvény|lineáris]] problémákról fogunk nagyrészt beszélni. Általában az [[akusztika]], [[áramlástan|folyadékdinamika]], [[elektrodinamika]], [[diffúzió]] és [[hővezetés|hőcsere]] területén van jelentős szerepe a differenciálegyenleteknek.

Egy PDE az <math>u(x_1,...,x_n)</math> függvényen a következő alakot ölti:

<math>f(x_1,...,x_n,u,{\partial u\over\partial x_1},...,{\partial u\over\partial x_n},{\partial^2 u\over\partial x_1\partial x_1},...,{\partial^2 u\over\partial x_1\partial x_n},...)=0</math>

Ha ''f'' [[lineáris függvény]]e ''u''-nak és a [[derivált]]jainak, akkor a PDE-t lineárisnak hívjuk. Általános példák közé tartozik a [[hőegyenlet]], a [[hullámegyenlet]], a [[Laplace-egyenlet]], a [[Helmholtz-egyenlet]], a [[Klein–Gordon-egyenlet]] vagy a [[Poisson-egyenlet]].

Egy viszonylag egyszerű PDE:

<math>{\partial u \over\partial x}(x,y)=0</math>

Ez az összefüggés maga után vonja, hogy az ''u''(''x'', ''y'') függvény nem függ ''x''-től. Azonban, az egyenlet nem ad információt arról, hogy ''u'' hogyan függ ''y''-tól. Tehát az általános megoldása ennek az egyenletnek

<math>u(x,y) = f(y),</math>

alakú, ahol ''f'' egy véletlenszerű függvénye ''y''-nak. A hasonszőrű [[közönséges differenciálegyenlet]]

<math>\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0,</math>

amelynek megoldása

<math>u(x) = c,</math>

ahol ''c'' egy konstans, amely bármely értéket felvehet. Ez a két példa mutatja, hogy egy KDE megoldása véletlenszerű konstansokat feltételez, míg egy PDE megoldása véletlenszerű függvényeket. Egy PDE megoldása általában nem sajátos, ahhoz, hogy valamilyen sajátos formát öltsön mellékinformációkra van szükség a tartomány pereméről, ahol a megoldást definiáltuk. Példának okáért, a fenti egyszerű példában, az ''f''(''y'') függvény meghatározható, amennyiben ''u'' értéke pontosítva van az ''x''=0 vonalon.

== A létezés feltétele és az egyértelműség ==
Habár a megoldás létezésének és egyértelműségének (unicitásának) problémája a KDE-nek nagyon kielégítő magyarázatra lelt a [[Picard–Lindelöf-tétel]] szerint, azonban a PDE esetében szó sincs ilyesmiről. A [[Cauchy–Kovalevszkaja-tétel]] kimondja, hogy a Cauchy-problémák egyedi megoldásokhoz vezetnek bizonyos körülmények között, a legfontosabb ezek közül azt állítja, hogy a Cauchy-információk és a PDE-k együtthatói valós analitikai függvények. Talán úgy tűnhet, hogy ez az eredmény megalapozná a megoldások létezését és unicitását, de vannak példák olyan lineáris PDE-ekre amelyek együtthatóinak deriváltjai mindenféle rendűek (amelyek így nem utolsósorban nem analitikusak) de nincs megoldásuk egyáltalán: lásd Lewy (1957). Még ha létezik is egy PDE megoldása és egyedi is, lehet, hogy sosem fog a kívánatos tulajdonságokkal rendelkezni. A matematikai tanulmányozása ezen kérdéseknek általában egy erősebb kontextusába tartozik a „gyenge megoldásoknak”.

Egy példája a patológiás viselkedésnek az a következő (''n''-től függő) Cauchy-problémák sora [[Laplace-egyenlet]]re vonatkoztatva

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,~</math>

a következő peremfeltételekkel

<math>u(x,0) = 0,</math>

<math> \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin (nx)}{n},</math>

ahol ''n'' egy egész szám. Az u deriváltja y szerint egyenletesen közelíti meg 0-t ''x''-ben ''n'' növekedésével, de a megoldás

<math>u(x,y) = \frac{\sinh (ny) \sin (nx)}{n^2}.</math>

Ez a megoldás végtelenhez közelít ha nx nem egy egész többszöröse π-nek, bármely nem zéró y-ra. A Cauchy-probléma a [[Laplace-egyenlet]]re vonatkoztatva ''rosszul feltett problémának'' minősül, hiszen a megoldása nem folytonosan függ a feladat adataitól. Ilyen rosszul feltett problémák nem sok esetben hasznosak fizikai szempontból.

== Jelölések ==
A PDE-kben a parciális deriválást általában indexes formájában szemléltetjük.

<math>u_x = {\partial u \over \partial x}</math>

<math>u_{xx} = {\partial^2 u \over \partial x^2}</math>

<math>u_{xy} = {\partial^2 u \over \partial y\, \partial x} = {\partial \over \partial y} \left({\partial u \over \partial x}\right).</math>

Különös tekintettel a fizikában, del vagy más néven nabla (∇) gyakran használt mennyiség térbeli deriváltak jelölésére, és <math>\dot u\, \ddot u\,</math> az időbeli egyszeres, illetve kétszeres deriváltakra. Példának okáért a hullámegyenlet (lentebbi formalizmus) felírható, mint

<math>\ddot u=c^2\nabla^2u</math>

illetve

<math>\ddot u=c^2\Delta u</math>

ahol Δ a [[Laplace-operátor]].

== Besorolásuk ==
Néhány lineáris, másodrendű parciális differenciálegyenlet parabolikus, hiperbolikus vagy elliptikus kategóriákba sorolható. Mások, mint az [[Euler–Tricomi-egyenlőség]] különböző részekből áll össze. A besorolás arra szolgál, hogy útmutatást adjon a kezdeti- és peremfeltételek megközelítésével és a megoldás simaságával kapcsolatban.

=== Elsőrendű egyenletek ===
A matematikában, egy elsőrendű PDE (ERPDE) egy olyan PDE, amely kizárólag az első rendű deriváltjait vonja be az n számú változóknak. Az egyenlet a következő alakot ölti:

<math> F(x_1,\ldots,x_n,u,u_{x_1},\ldots u_{x_n}) =0. \,</math>

Ilyen típusú egyenletek jelennek meg a karakterisztikus felületek építésében a hiperbolikus PDE-k, a [[variációszámítás]], néhány [[geometria]]i probléma, és szimpla gázdinamikai modellek esetében, amelyek megoldásai a karakterisztikák metódusát hívja segítségül. Ha egy ERPDE megoldáscsaládja meghatározható, akkor egyéb mellékes megoldások kaphatóak meg a különböző egyedi esetekre kiterjesztve ezt. Egy kapcsolt műveletben, általános megoldások fedezhetőek fel KDE családok integrálása révén.

==== Karakterisztikus felületei a hullámfüggvénynek ====
A karakterisztikus felületeti a [[hullámfüggvény]]nek nem mások, mint szintfelületei a következő egyenlet megoldásainak:

<math> u_t^2 = c^2 \left(u_x^2 +u_y^2 + u_z^2 \right). \,</math>

A nagylelkűség kárára megy ha <math>u_t =1</math> kikötést tesszük, de ebben az esetben u teljesíti

<math> u_x^2 + u_y^2 + u_z^2= \frac{1}{c^2}. \,</math>

Vektorok alakjában,

<math> \vec x = (x,y,z) \quad \hbox{and} \quad \vec p = (u_x, u_y, u_z).\,</math>

Egy megoldáscsalád síkokkal, mint szintfelületek így adható meg

<math> u(\vec x) = \vec p \cdot (\vec x - \vec{x_0}), \,</math>

ahol

<math> | \vec p \,| = \frac{1}{c}, \quad \text{és} \quad \vec{x_0} \quad \text{tetszőleges}.\,</math>

Ha x és x<sub>0</sub> fixek, a külső rétegei ezeknek a megoldásoknak egy 1/c sugarú gömbön valamely pontban keresendő

ahol az u stacionárius. Ez akkor igaz, ha <math> \vec p</math> párhuzamos <math>\vec x - \vec{x_0}</math> különbséggel. Mivel a külső réteg egyenlete

<math> u(\vec x) = \pm \frac{1}{c} | \vec x -\vec{x_0} \,|.</math>

Ezek a megoldások olyan [[gömb]]öknek felelnek meg, amelyek sugara ''c'' sebességgel csökken vagy nő. Ezek a fénykúpok a tér-idő vásznán.

A kezdetiérték feladat az egyenlőség alapján egy ''S'' szintfelületben nyilvánul meg ahol ''u'' = 0, ''t'' = 0. A megoldást megkapjuk, ha az összes ''S''-en koncentrikus gömbhéjat számításba vesszük, amelyek sugara ''c'' sebességgel nő. Ez a külréteg szükségessé teszi a következőket

<math> \frac{1}{c} | \vec x - \vec{x_0}\, | \quad \hbox{is stationary for} \quad \vec{x_0} \in S. \,</math>

Ez a feltétel akkor elégül ki, ha <math> | \vec x - \vec{x_0}\, |</math> normális S-re. Ezért a külréteg nem másnak felel meg, mint mozgásnak c sebességgel a normálok mentén. Ezt másképpen a '''Huygens-féle hullámfront''' konstrukciónak nevezik: minden pont S-en kibocsát egy gömbhullámot t = 0 időpillanatban, és a hullámfront egy későbbi t időpillanatban tulajdonképpen egy ilyen külrétege ezeknek a gömbhullámoknak. Az S normáljai a fénysugarak.

=== Lineáris másodrendű egyenletek ===
Elfogadva, hogy u<sub>xy</sub> = u<sub>yx</sub>, az általános másodrendű PDE két változóra a következő formát ölti:

<math>Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots \mbox{(lower order terms)} = 0,</math>

ahol az A, B, C stb. függhetnek x-től és y-tól. Ha <math>A^2 +B^2 + C^2 > 0</math> egy részén az xy síknak, akkor a PDE másodrendű ebben az intervallumban. Ez a formalizmus hasonló egy kúpszelet egyenletéhez:

<math>Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.</math>

Pontosabban, ∂<sub>''x''</sub> helyettesítve X-el, és így tovább a többi változót is (formálisan ezt egy [[Fourier-transzformáció|Fourier-transzformációval]] végezzük el), egy konstans együtthatójú PDE-t egy ugyanolyan rendű polinommá alakít, ahol a legmagasabb rendű tag lesz a legfontosabb a besorolás szempontjából (egy homogén [[polinom]], itt kvadratikus alakban).

Ahogyan kúpszeleteket és kvadratúrákat parabolikus, hiperbolikus vagy elliptikus besorolásokat kaphatnak a '''<math>B^2 - 4AC</math>''' [[diszkrimináns]] viselkedése alapján, úgy a PDE-el is ez történik. Azonban, a diszkrimináns a PDE-ben '''<math>B^2 - AC,</math>'''-ként van megadva, attól az egyszerű konvenciótól fogva, hogy az xy tag általában 2B és nem B; formálisan, a diszkrimináns (a megfelelő kvadratúrának) a <math>(2B)^2 - 4AC = 4(B^2-AC),</math> alakban írható, egy 4-es faktorral csökkentve az egyszerűség kedvéért.

1. '''<math>B^2 - AC < 0</math>''': (elliptikus parciális differenciálegyenlet) → Az elliptikus PDE megoldásai olyannyira simák, mint amennyire az együtthatók engedik, az értelmezett tartományon belül ahol az egyenletünk van és a megoldásunk kerestetik. Pl. a Laplace-egyenlet analitikusnak mondható a saját értelmezési tartományán, de a megoldások felvehetnek olyan peremértékeket, ahol már elvesztődik a simaság. Egy fluidum szubszónikus sebességen megközelíthető elliptikus PDE-el, és az Euler-Tricomi egyenlőség elliptikus lesz ha x < 0.

2. '''<math>B^2 - AC = 0</math>''': (parabolikus parciális differenciálegyenletek) → A parabolikus egyenletek minden pontban átalakíthatóak a hőegyenlethez hasonló alakba, egy független változó cserével. A megoldások kisimulnak, ahogyan a transzformált időbeli változó értéke nő. Az Euler-Tricomi egyenlőség parabolikus jelleget vesz fel az x = 0 egyenesen.

3. '''<math>B^2 - AC > 0 </math>''': (hiperbolikus parciális differenciálegyenletek) → A hiperbolikus egyenletek minden függvényi diszkontinuitást vagy rendellenességet a kezdeti adatokban tárolják. Egy példa erre a hullámfüggvény. A fluidum mozgása szuperszonikus sebességeken megközelíthető hiperbolikus PDE-el, és az Euler-Tricomi egyenlőség akkor lesz hiperbolikus, ha x > 0.

Ha tehát n független változóm (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>,…, x<sub>n</sub>) van, egy általános lineáris másodrendű PDE a következő formát veszi fel:

<math>L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad \text{ plus lower-order terms} =0.</math>

A besorolás az a<sub>i,j</sub> mátrix együtthatóiból előálló sajátértékek természetétől függ:

# Elliptikus: A sajátértékek mind pozitívak vagy mind negatívak.
# Parabolikus: A sajátértékek mind pozitívak vagy mind negatívak, egyet kivéve, amely 0.
# Hiperbolikus: Csak egy negatív sajátérték van és a többi pozitív, vagy csak egy pozitív és a többi negatív.
# Ultrahiperbolikus: Több, mint egy negatív sajátérték van és több, mint egy pozitív sajátérték van, illetve nincsenek zérus sajátértékek. Csak egy korlátolt elmélet létezik az ultra-hiperbolikus egyenletekre (Courant és Hilbert, 1962).

=== Elsőrendű egyenletrendszerek és karakterisztikus felületek ===
A PDE-ek besorolása kiterjeszthető az elsőrendű egyenletrendszerekre is, ahol az ismeretlen ''u'' most egy vektor m komponenssel, és az együtthatók A<sub>v</sub> m x m mátrixok v = 1,...,n esetén. A PDE így néz ki:

<math>Lu = \sum_{\nu=1}^{n} A_\nu \frac{\partial u}{\partial x_\nu} + B=0,</math>

ahol az együtthatók ( A<sub>v</sub> mátrixok és B vektor) x-től és u-tól egyaránt függhetnek. Ha egy hiperfelület S implicit alakban megadható, mint

<math>\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_n)=0, \,</math>

ahol φ nem zérus gradienssel rendelkezik, akkor S egy '''karakterisztikus felület''' ''L'' operátorra nézve egy adott pontban ha a karakterisztikus jelleg eltűnik:

<math>Q\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}, \ldots,\frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right) =\det\left[\sum_{\nu=1}^nA_\nu \frac{\partial \varphi}{\partial x_\nu}\right]=0.\,</math>

A geometriai értelmezése ennek a feltételnek a következő: ha ''u''-tól származó adat megjelenik az S felületen, akkor lehetséges, hogy meghatározható a normális deriváltja u-nak S-re nézve, a differenciál egyenletből származtatva természetesen. Ha az adat S-en és a differenciál egyenlet u-nak S-re vett normál deriváltját határozzák meg, akkor S nem-karakterisztikus. Ellenkező esetben az S felület karakterisztikus, és a differenciál egyenlet S-re korlátozza az adatot: erre mondjuk, hogy a differenciálegyenlet internális S-re nézve.

# Egy elsőrendű rendszer ''Lu'' = 0 elliptikus, ha egyetlen felület sem karakterisztikus L-re nézve; az ''u'' értékei ''S''-en és a differenciálegyenlet mindig ''u'' ''S''-re vett normál deriváltját határozzák meg.
# Egy első rendű rendszer hiperbolikus egy pontban, ha abban a pontban az S felület ξ normállal térszerű. Ez azt jelenti, hogy bármely nem triviális η vektor, amely ortogonális ξ-re nézve, és egy λ skalár által meghatározott <math>Q(\lambda \xi + \eta) = 0</math> egyenlet m valós gyöke (λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, ..., λ<sub>n</sub>) van. Tökéletesen hiperbolikus a rendszer ha ezek a gyökök különbözőek. A mértani értelmezése ennek a feltételnek a következő: a karakterisztikus forma Q(ζ) = 0 egy [[kúp]]ot határoz meg (a normális kúpot), ζ homogén koordinátákkal. A hiperbolikus esetben, ez a kúp m palásttal rendelkezik és a ζ = λξ tengelyek ezekben a palástokban futnak: egyik tengely sem metsz egyetlen palástot sem. De mikor az eredeti helyzetből η-el elmozdítjuk őket, a tengelyek mindegyik palástot metszeni fogják. Elliptikus esetben, a normál kúp egyetlen valós palásttal sem rendelkezik.

=== Vegyes egyenletek ===
Ha egy PDE nem állandó együtthatókkal rendelkezik, megtörténhet, hogy egyik előzőleg tárgyalt kategóriába sem tartozik, hanem ú.n. vegyes típusú. Egyszerű de fontos példaként felhozható az [[Euler–Tricomi-egyenlőség]]:

<math>u_{xx} \, = xu_{yy},</math>

amely elliptikus-hiperbolikus megnevezést kapta, ugyanis x < 0 részen elliptikus, míg x > 0 részen hiperbolikus és degenerált parabolikus x = 0 egyenesen.

=== Végtelen rendű PDE-ek kvantum mechanikában ===
A kvantummechanika fázistérbeli megfogalmazásában a Hamiltoni kvantum egyenleteket kvantum részecskék pályájaként foghatjuk fel. Ezek az egyenletek végtelen rendű PDE-ek. Azonban, a félklasszikus kiterjesztésben egy véges számú KDE-ből álló egyenletrendszerhez jut, bármely ħ rögzített hatványára. A fejlődési egyenlete a Wigner-függvénynek, az is egy végtelen rendű PDE. A kvantum pályák valójában kvantum karakterisztikák, amelyek használatával kiszámítható a Wigner-függvény fejlődése.

== Analitikus megoldások ==

=== Változók szétválasztása ===
A lineáris PDE-ek átalakíthatóak egy közönséges differenciálegyenlet rendszerré a változók szétválasztásának módszerével. Ez a technika a differenciálegyenletek karakterisztikus megoldásain alapul: ha bármilyen megoldást találunk, amely kielégíti az egyenletet és a peremfeltételeket, akkor az ''a megoldás'' (ez a közönséges differenciálegyenletekre is vonatkozik). Elfogadjuk, hogy a megoldás idő és térbeli függése felírható, mint olyan tagok szorzata, amelyek kizárólag csak az egyik paramétertől függnek, majd megnézzük ha így megoldhatóvá az egyenlet.<ref>{{CitLib|aut=Gershenfeld, Neil A.|tit=The nature of mathematical modeling|ann=1999|isbn=0521570956|url=https://www.worldcat.org/oclc/39147817}}</ref>

A módszer során gyakorlatilag egy PDE redukálunk egy másik PDE-re csak kevesebb változóval, amely KDE ha csak egy változótól függ – ezeket viszont könnyebb megoldani.

Ez lehetséges az egyszerűbb PDE-ek esetén, amelyeket szétválasztható parciális differenciálegyenleteknek is hívunk, és a tartományunk általában egy téglalap (az intervallumok szorzata). A szétválasztható PDE-ek diagonális mátrixoknak felelnek meg – ha koordinátaként fogjuk fel egy rögzített x-re adott értéket, akkor minden koordinátát külön kezelhetünk.

Ez a karakterisztikák metódusában általánosodik ki, és egyébként használják az integrál transzformációkban is.

=== Karakterisztikák metódusa ===
Egyedi esetekben, olyan karakterisztikus görbéket találhatunk, amelyeken az egyenlet KDE-re visszavezetődik – a tartomány belül a koordináták megváltoztatásával kiegyenesíthetők ezek a görbék, így alkalmazni lehet a változók szétválasztását, és ezt az eljárást a karakterisztikák metódusának hívjuk.

Általánosabban megfogalmazva, karakterisztikus felületeket találhatunk.

=== Integrál transzformáció ===
Az integrál transzformáció egy PDE-t átváltoztathat egy egyszerűbb változatává, különösképpen egy szétválasztható PDE-be. Ez egy operátor diagonalizálásának felel meg.

Egy fontos példa erre a [[Fourier-analízis]], amely a hőegyenletet diagonalizálja a szinuszos hullámok sajátértékbázisát felhasználva.

Ha a tartományom véges vagy periodikus, egy végtelen tagok összegéből álló megoldás, mint a [[Fourier-sor|Fourier-sorok]] megfelelő, de a megoldások integrálja, mint amilyen a [[Fourier-integrál]] általában végtelen tartományok esetén szükséges. Egy pontbeli forrás esetén a megoldása a hőegyenletnek egy példa a [[Fourier-integrál]] használatára.

=== Váltózócserés módszer ===
Gyakran egy PDE egyszerűbb alakra hozható, amelynek ismert a megoldása egy megfelelő változócserével. Pl. a [[Black–Scholes-egyenlet|Black–Scholes-féle PDE]]

<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>

visszavezethető a hőegyenletre

<math>\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

változó cserét alkalmazva (teljes megoldást lásd itt: {{Cite web |url=http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/Teaching/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Solution/solution.shtml |title=Solution of the Black Scholes Equation |accessdate=2018-06-24 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080411030405/http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/Teaching/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Solution/solution.shtml |archivedate=2008-04-11 }})

<math>V(S,t) = K v(x,\tau)</math>

<math>x = \ln\left(\tfrac{S}{K} \right)</math>

<math>\tau = \tfrac{1}{2} \sigma^2 (T - t)</math>

<math>v(x,\tau)=\exp(-\alpha x-\beta\tau) u(x,\tau).</math>

=== Fundamentális megoldás ===
Inhomogén egyenletek gyakran megoldhatóak (konstans együtthatójú PDE-re mindig van megoldás) a fundamentális megoldás megtalálásával (egy pontbeli forrás esetén), aztán a peremfeltételek [[Konvolúció|konvolúciója]] által megkapjuk megkapjuk a megoldást.

Ez hasonló ahhoz, ha megszeretnénk érteni a jelfeldolgozás területén egy [[szűrő (jelfeldolgozás)|szűrőt]], az impulzus–válasz alapján.

=== Szuperpozíciós elv ===
A [[Szuperpozíció|szuperpozíciós elv]] lineáris rendszerekre érvényes, természetesen lineáris PDE rendszerekre is. Egy jól ismert szemléltetése az elvnek két hullám kölcsönhatásán alapul amelyek kombinációja egy nagyobb amplitúdó formájában jelentkezik, pl. <math> sin(x)+sin(x)=2sin(x) </math>. Ugyanez az elv figyelhető meg PDE esetében is, ahol a megoldás lehet valós vagy komplex és additív szuperpozíció. Ha <math>u_1</math>és <math>u_2</math> megoldásai a PDE-nek valamilyen R függvénytérben, akkor <math>u= c_1 u_1+c_2 u_2</math> bármely <math>c_1</math> és <math>c_2</math> konstans esetén, mivel azok mind megoldásai lesznek a PDE-nek, ha ugyanabban a függvénytérben vagyunk.

=== Nem-lineáris egyenletek metódusai ===
Nem léteznek általános módszerek a nem-lineáris PDE-ek megoldására. Mégis, létezési és unicitási eredmények (mint a Cauchy-Kowalevski elmélet) gyakran léteznek, mivel a megoldások fontos kvalitatív és kvantitatív tulajdonságainak bizonyítékai (ezen eredmények kiszámításai az analízis nagy részét alkotják). Komputacionális megoldásai a nem-lineáris PDE-nek, mint a Fourier-metódus, bizonyos egyenletekre léteznek csak, mint a nem-lineáris Schrödinger egyenlet.

Nem utolsó sorban, néhány technika sok típusú egyenlethez használható. A h-elv (''h-principle)'' a legerősebb metódus parametrikus egyenletek megoldására. A Riquier-Janet elmélet egy effektív módszer információ kinyerésére analitikusan túlhatározott rendszerekről.

A karakterisztikák metódusa (szimililaritás átalakító módszer) csak néhány nagyon különleges esetben használható PDE megoldásában.

Néhány esetben, a PDE megoldható perturbációs analízis alkalmazásával, amely esetében a megoldás korrekcióként fogható fel egy már ismert megoldású parciális differenciálegyenlethez. Alternatívaként megemlíthető a numerikus analízis technikái, az egyszerű véges differencia módszerétől a komplexebb többhálós és véges-elem módszeréig. Rengeteg érdekes probléma a tudományok vagy akár az ipar területéről számítógépes úton oldhatóak csak meg, néha nagy teljesítményű szuperszámítógépekkel.

=== Lie-csoportos megoldás ===
1870-től [[Sophus Lie]] elmélete sokkal kielégítőbb alapokra helyezte a PDE-ek elméletét. Kimutatta, hogy az idősebb matematikusok integrál alapú elméletei a [[Lie-csoport]]ok bevezetésével, egy általános forráshoz köthetőek: a KDE-ekhez, amelyek ugyanazt az infinitezimális transzformációt képviselik, amik nehézsége hasonló az [[integrálás]]okéhoz. Emellett még kiemeli az érintkezéses transzformáció témáját.

Egy általános megközelítése a PDE-ek megoldására a szimmetriatulajdonságait használja a differenciálegyenleteknek, a megoldások folytonos infinitezimális transzformációit a megoldásokra ([[Lie-elmélet]]). A folytonos csoport elmélet, Lie algebra és differenciálgeometria célja, hogy megértsük a lineáris és nem-lineáris PDE-ek struktúráját, annak érdekében, hogy integrálható egyenleteket generáljunk, hogy megtaláljuk a Lax párokat, rekurziós operátorokat, Bäcklund transzformáltakat és végül az exakt analitikus megoldásait a PDE-eknek.

Felismerték, hogy a szimmetrián alapuló módszerek alkalmasak a differenciálegyenletek tanulmányozására a matematika, fizika, mérnöki tudományok és sok más tudomány területén.

=== Változók redukálásának módszere ===
Egy PDE <math>u(x,t)</math> megoldását egy hasonlósági függvény <math>f()</math> alakjában keressük aminek a redukált változóját <math>\eta</math>  a PDE eredeti változóiból, (pl x hely és t idő szerinti változó) definiáljuk.  Majd különféle algebrai lépésekkel a kezdeti PDEt  a hasonlósági függvényre vonatkozó közönséges differenciál egyenletre transzformáljuk. Ezáltal sok esetben teljes analitikus megoldás származtatható. A legismertebb ilyen Ansatz a  <math>u(x,t) = f(\eta) = f(x-ct)</math> haladó hullámú próbafüggvény<ref>{{Cite book |last=Gilding |first=Brian H. |coauthors=Kersner Róbert |title=Travelling Waves in Nonlinear Diffusion-Convection Reaction |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-7964-4 |origyear=2004 |publisher=Birkhäuser Basel |isbn=978-3-7643-7071-8 |doi=10.1007/978-3-0348-7964-4}}</ref> amely hullám tulajdonságokat mutató rendszereknél vezet eredményre. Egy másik kevésbé ismert ilyen redukciós Ansatz ha önhasonló megoldást keresünk az <math>u(x,t) = t^{-\alpha}g(\omega)   =t^{-\alpha} g\Bigl(\frac{x}{t^{\beta}}\Bigr)</math>  alakban,  ahol <math>g()</math> a hasonlósági függvény, <math>\omega</math> a redukált változó, <math>\alpha,\beta</math> pedig a két valós önhasonló exponens. Ha mindkettő pozitív akkor <math>\alpha  </math> felelős a megoldás időbeni szétfolyásáért, <math>\beta </math> pedig az időbeni csökkenésért.<ref>{{Cite book |last=Barenblatt |first=G.I. |title=Similarity, Self-Similarity, and Intermediate Asymptotics. |origyear=1996 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9781107050242 |doi=10.1017/CBO9781107050242}}</ref> Ilyen típusú Ansatzal időben csökkenő, diszperzív megoldások kereshetőek. Néhány sorban megmutatható, hogy <math>\alpha = \beta = \frac{1}{2} </math> esetén a [[Diffúziós egyenlet|diffúziós]] vagy [[Hővezetés|hővezetési]] egyenletre megkapjuk a Gauss függvényt mint jól ismert  fundamentális megoldást.<ref>{{Cite journal|title=Advanced Analytic Self-Similar Solutions of Regular
and Irregular Diffusion Equations|last=Barna|first=Imre Ferenc|coauthors=Mátyás László|year=2022|journal=Mathmatics|volume=10|pages=3281|doi=10.3390/math10183281|url=https://www.mdpi.com/2227-7390/10/18/3281|archiveurl=}}</ref> Elvileg számtalan alakú redukált változó definiálható és használható PDEk vagy PDE rendszerek megoldására. Egy további Ansatz az angol traveling profile<ref>{{Cite journal|title=Exact solutions to some nonlinear PDEs, travelling profiles method,|last=Benhamidouche|first=N.|year=2008|journal=Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equation|volume=15|pages=1-7|issn=1417-3875|doi=10.14232/ejqtde.2008.1.15|url=https://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/periodica.html?periodica=1&paramtipus_ertek=publication&param_ertek=305}}</ref> (haladó profil) nevet viseli és <math>u(x,t) = h(\eta) = a(t) h\Bigl(\frac{x-b(t)}{c(t)}\Bigr)</math> alakú, ahol most <math>a(t),b(t),c(t)</math> megfelelő simaságú analitikus valós függvények és ahol <math>a(t)</math> felelős az időbeli amplitúdóbeli változásért, <math>b(t)</math>  a hullám tulajdonságokért, <math>c(t)</math> pedig az időbeli szétfolyásért. Jól látható, hogy ez a formula interpolál a haladó hullámú és az önhasonló Ansatzok között. Egy példaképp megemlítjük, hogy az önhasonló Ansatzal analitikusan kiszámítható a fűtött [[határréteg]] sebesség, nyomás és hőmérséklet eloszlása<ref>{{Cite journal|title=A fűtött határréteget leíró parciális differenciálegyenlet rendszer önhasonló megoldásai|author=Barna Imre Ferenc|coauthors=Mátyás László és Hriczó Krisztián|year=2022|journal=Aklmazott matematikai lapok|volume=39|pages=1-15|issn=0133-3399|url=https://real.mtak.hu/182741/}}</ref>. 

=== Félanalitikus módszerek ===
Az adomiánus szétválasztási módszer, a Lyapunov mesterséges kisparaméteres módszer és He-féle homotópia perturbációs módszer mind speciális esetei a sokkal általánosabb homotópia analízis módszernek. Ezek sorbafejtési módszerek, és kivéve a Lyapunov módszert, mind függetlenek a kis fizikai paraméterektől összehasonlítva a jól ismert perturbációs elmélettel, emiatt ezek a módszerek rendkívül adaptívak és jóval általánosabbak.

== Numerikus megoldások ==
A három, PDE megoldására szolgáló, leggyakrabban használt numerikus módszer a [[Végeselemes módszer|véges-elem módszer]] (VEM), a véges-térfogat módszer (FVM) és a véges-differencia módszere (FDM), ahogyan egyéb más metódusok is, mint a sík-háló mentes módszerek, amelyek arra szolgának, hogy olyan feladatokat oldjanak meg, amelyek esetében az előbbi három módszer nem használ. A FEM egy prominens pozíciót foglal ezek között, különösképpen a kivételesen hatékony magas-rendű változata, a hp-FEM. Más hibrid verziói a FEM és sík-háló mentes módszernek: az általánosított véges-elem módszer (GFEM), kiterjesztett véges-elem módszer (XFEM), spektrális véges-elem módszer (SFEM), sík-háló mentes véges-elem módszer, szakadásos [[Galjorkin-módszer|Galjokin-féle véges-elem módszer]] (DGFEM), elem-mentes Galjorkin-féle módszer (EFGM), interpoláló elem-mentes Galjorkin-féle módszer (IEFGM), stb.

=== Végeselem-módszer ===
{{bővebben|Végeselemes módszer}}
A véges-elem módszer (gyakorlati alkalmazása miatt gyakran hívják véges-elem analízisként (FEA)) egy numerikus technika, amely segítségével megközelítő megoldásait kaphatjuk meg a PDE-nek, ahogyan az integrál egyenleteknek is. A megoldás megközelítése vagy a differenciálegyenlet teljes kiejtésére teszi a hangsúlyt, vagy pedig a PDE átalakítására egy megközelítő KDE rendszerré, amelyeket aztán [[numerikus integrálás|numerikusan integrálunk]] standard eljárások segítségével, mint az [[Euler-módszer|Euler-féle metódus]], [[Runge–Kutta-módszer|Runge-Kutta]], stb.

=== Véges differencia módszere ===
A véges differencia módszerek olyan numerikus módszerek, amelyek a differenciálegyenletek megoldását közelíti meg, oly módon, hogy a deriváltakat véges differenciaegyenletekkel közelíti.

=== Véges térfogat módszere ===
{{bővebben|Véges térfogat módszere}}
Hasonló a véges differencia vagy véges-elem módszeréhez, az értékek diszkrét helyeken vannak kiaszámolva egy hálószerű geometrián. A „véges térfogat” a hálón minden csomópontot körülvevő véges kicsi térfogatra vonatkozik. A módszer során a térfogat integrálok azokban a parciális differenciálegyenletekben, amelyek divergencia tagot tartalmaznak átlesznek alakítva felületi integrálokká. Ezek a tagok aztán a kiértékelés során fluxusként értelmezettek minden véges térfogat felületén. Mivel az a [[fluxus]], amely beáramlik egy térfogategységbe és amely kiáramlik egy szomszédosból, ugyanakkora, ezért ezek a metódusok konzervatívak.

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
{{refbegin|2}}
* {{cite book|title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994|isbn=|page=}}
* {{Citation|first=R.|last=Courant|lastauthoramp=yes|first2=D.|last2=Hilbert|title=Methods of Mathematical Physics|volume=II|publisher=Wiley-Interscience|location=New York|year=1962}}.
* {{Citation|authorlink=Lawrence C. Evans|first=L. C.|last=Evans|title=Partial Differential Equations|publisher=American Mathematical Society|location=Providence|year=1998|isbn=0-8218-0772-2}}.
*{{cite book|last1=Holubová|first1=Pavel Drábek ; Gabriela|title=Elements of partial differential equations|date=2007|publisher=de Gruyter|location=Berlin|isbn=9783110191240|edition=[Online-Ausg.].}}
* {{Citation|first=Nail H|last=Ibragimov|title=CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3|publisher=CRC-Press|location=Providence|year=1993|isbn=0-8493-4488-3}}.
* {{Citation|authorlink=Fritz John|first=F.|last=John|title=Partial Differential Equations|location=New York|publisher=Springer-Verlag|year=1982|edition=4th|isbn=0-387-90609-6}}.
* {{Citation|first=J.|last=Jost|title=Partial Differential Equations|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=2002|isbn=0-387-95428-7}}.
* {{Citation|first=Hans|last=Lewy|year=1957|title=An example of a smooth linear partial differential equation without solution|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|volume=66|issue=1|pages=155–158|doi=10.2307/1970121}}.
* {{Citation|last=Liao|first=S.J.|authorlink=Liao Shijun|title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method|publisher=Chapman & Hall/ CRC Press|location=Boca Raton|year=2003|isbn=1-58488-407-X}}
* {{Citation|first=P.J.|last=Olver|author-link=Peter J. Olver|year=1995|title=Equivalence, Invariants and Symmetry|publisher=Cambridge Press}}.
* {{Citation|authorlink=Ivan Petrovsky|first=I. G.|last=Petrovskii|title=Partial Differential Equations|publisher=W. B. Saunders Co.|location=Philadelphia|year=1967}}.
* {{Citation|first=Y.|last=Pinchover|lastauthoramp=yes|first2=J.|last2=Rubinstein|title=An Introduction to Partial Differential Equations|publisher=Cambridge University Press|location=New York|year=2005|isbn=0-521-84886-5}}.
* {{Citation|first=A. D.|last=Polyanin|title=Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists|publisher=Chapman & Hall/CRC Press|location=Boca Raton|year=2002|isbn=1-58488-299-9}}.
* {{Citation|first=A. D.|last=Polyanin|lastauthoramp=yes|first2=V. F.|last2=Zaitsev|title=Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations|publisher=Chapman & Hall/CRC Press|location=Boca Raton|year=2004|isbn=1-58488-355-3}}.
* {{Citation|first=A. D.|last=Polyanin|first2=V. F.|last2=Zaitsev|lastauthoramp=yes|first3=A.|last3=Moussiaux|title=Handbook of First Order Partial Differential Equations|publisher=Taylor & Francis|location=London|year=2002|isbn=0-415-27267-X}}.
* {{citation|mr=3014456|last=Roubíček|first=T.|title=Nonlinear Partial Differential Equations with Applications|publisher=Birkhäuser|place=Basel, Boston, Berlin|edition=2nd|year=2013|ISBN=978-3-0348-0512-4|doi=10.1007/978-3-0348-0513-1}}
* {{Citation|first=P.|last=Solin|title=Partial Differential Equations and the Finite Element Method|publisher=J. Wiley & Sons|location=Hoboken, NJ|year=2005|isbn=0-471-72070-4}}.
* {{Citation|first=P.|last=Solin|first2=K.|last2=Segeth|lastauthoramp=yes|first3=I.|last3=Dolezel|title=Higher-Order Finite Element Methods|publisher=Chapman & Hall/CRC Press|location=Boca Raton|year=2003|isbn=1-58488-438-X}}.
* {{Citation|first=H.|last=Stephani|year=1989|title=Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. Edited by M. MacCallum|publisher=Cambridge University Press}}.
* {{cite book|title=Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory|first=Abdul-Majid|last=Wazwaz|publisher=Higher Education Press|year=2009|isbn=978-3-642-00251-9|page=}}
* {{cite book|title=Partial Differential Equations Methods and Applications|first=Abdul-Majid|last=Wazwaz|publisher=A.A. Balkema|year=2002|isbn=90-5809-369-7|page=}}
* {{Citation|first=D.|last=Zwillinger|title=Handbook of Differential Equations|publisher=Academic Press|location=Boston|year=1997|edition=3rd|isbn=0-12-784395-7}}.
* {{Citation|authorlink=Neil Gershenfeld|first=N.|last=Gershenfeld|title=The Nature of Mathematical Modeling|location=New York|publisher=Cambridge University Press, New York, NY, USA|year=1999|edition=1st|isbn=0-521-57095-6}}.
* {{Citation|first=I.S.|last=Krasil'shchik|lastauthoramp=yes|first2=A.M., Eds.|last2=Vinogradov|title=Symmetries and Conserwation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics|publisher=American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA|year=1999|isbn=0-8218-0958-X}}.
* {{Citation|first=I.S.|last=Krasil'shchik|first2=V.V.|last2=Lychagin|lastauthoramp=yes|first3=A.M.|last3=Vinogradov|title=Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations|publisher=Gordon and Breach Science Publishers, New York, London, Paris, Montreux, Tokyo|year=1986|isbn=2-88124-051-8}}.
* {{Citation|first=A.M.|last=Vinogradov|title=Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus|publisher=American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA|year=2001|isbn=0-8218-2922-X}}.
{{refend}}

== További információk ==

* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/pde-en.htm Partial Differential Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-pde.htm Partial Differential Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/methods/meth-pde.htm Partial Differential Equations: Methods] at EqWorld: The World of Mathematical Equations
* [https://web.archive.org/web/20170701144823/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Partial_Differential_Equations Example problems with solutions] at exampleproblems.com
* [http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html Partial Differential Equations] at mathworld.wolfram.com
* [https://reference.wolfram.com/language/FEMDocumentation/tutorial/SolvingPDEwithFEM.html Partial Differential Equations] with Mathematica
* [http://www.mathworks.com/moler/pdes.pdf Partial Differential Equations] {{Wayback|url=http://www.mathworks.com/moler/pdes.pdf |date=20160817082230 }} in Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB
* [https://web.archive.org/web/20200306002923/https://www.nag.com/numeric/fl/nagdoc_fl24/html/d03/d03intro.html Partial Differential Equations] at nag.com
* [https://web.archive.org/web/20060812140140/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki]
* [http://www.primat.mephi.ru/wiki/ NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia] {{Wayback|url=http://www.primat.mephi.ru/wiki/ |date=20181212023755 }}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Partial_differential_equation Partial differential equation | Scholarpedia]

{{nemzetközi katalógusok}}
{{portál|matematika|i |}}

[[Kategória:Parciális differenciálegyenletek| ]]