Négyzetteljes számok forrásának megtekintése

A '''négyzetteljes szám''', '''hatványteljes szám''', '''2-teljes szám''' ''(powerful number)'' olyan ''m'' pozitív egész, aminek minden ''p'' prímosztójára igaz, hogy ''p''<sup>2</sup> is osztója ''m''-nek. Ezzel ekvivalens definíció, hogy prímtényezős felbontásában minden prímtényező legalább második hatványon van, illetve hogy egy [[teljes négyzet]] és egy [[teljes köb]] szorzata – felírható tehát ''m'' = ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>3</sup> alakban, ahol ''a'' és ''b'' pozitív egészek.
[[Erdős Pál]] és [[Szekeres György (matematikus)|Szekeres György]] tanulmányozta ezeket a számokat, amiknek [[Solomon W. Golomb]] adta a ''powerful'' nevet (ami [[angol nyelv|angolul]] hatalmasat is jelent).

Az 1 és 1000 közötti négyzetteljes számok listája:
:[[1 (szám)|1]], [[4 (szám)|4]], [[9 (szám)|9]], [[16 (szám)|16]], [[25 (szám)|25]], [[27 (szám)|27]], [[32 (szám)|32]], [[36 (szám)|36]], [[49 (szám)|49]], [[64 (szám)|64]], [[81 (szám)|81]], [[100 (szám)|100]], [[108 (szám)|108]], [[121 (szám)|121]], [[125 (szám)|125]], [[128 (szám)|128]], [[144 (szám)|144]], [[169 (szám)|169]], [[196 (szám)|196]], [[200 (szám)|200]], [[216 (szám)|216]], [[225 (szám)|225]], [[243 (szám)|243]], [[256 (szám)|256]], [[288 (szám)|288]], [[289 (szám)|289]], [[324 (szám)|324]], [[343 (szám)|343]], [[361 (szám)|361]], [[392 (szám)|392]], [[400 (szám)|400]], [[432 (szám)|432]], [[441 (szám)|441]], [[484 (szám)|484]], [[500 (szám)|500]], [[512 (szám)|512]], [[529 (szám)|529]], [[576 (szám)|576]], [[625 (szám)|625]], [[648 (szám)|648]], [[675 (szám)|675]], [[676 (szám)|676]], [[729 (szám)|729]], [[784 (szám)|784]], [[800 (szám)|800]], [[841 (szám)|841]], [[864 (szám)|864]], [[900 (szám)|900]], [[961 (szám)|961]], [[968 (szám)|968]], [[972 (szám)|972]], [[1000 (szám)|1000]], ... {{OEIS|id=A001694}}.

Az olyan hatványteljes számot, ami nem [[teljes hatvány]], [[Achilles-szám]]nak nevezik.

== A két definíció egyenértékűsége ==

Ha ''m'' = ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>3</sup>, akkor minden prím, ami az ''a'' prímtényezős felbontásában szerepel, legalább 2 kitevővel megjelenik ''m'' prímtényezős felbontásában is, és minden prím, ami a ''b'' prímtényezős felbontásában megjelenik, legalább 3 kitevővel megjelenik ''m'' prímtényezős felbontásában; ezért ''m'' négyzetteljes.

Megfordítva: tegyük fel, hogy ''m'' négyzetteljes, prímtényezős felbontása pedig
:<math>m = \prod p_i^{\alpha_i},</math>
ahol mindegyik α<sub>i</sub> ≥ 2.  Legyen γ<sub>i</sub> 3, ha α<sub>i</sub> páratlan, egyébként 0; legyen továbbá β<sub>i</sub> = α<sub>i</sub> - γ<sub>i</sub>.  Ekkor β<sub>i</sub> minden esetben nemnegatív páratlan egész, γ<sub>i</sub> pedig minden esetben 0 vagy 3, tehát
:<math>m = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3</math>
adja az ''m'' felbontását egy négyzetszám és egy köbszám szorzatára.

Kevésbé formálisan: tekintve ''m'' prímtényezős felbontását, legyen ''b'' az ''m'' szám páratlan kitevőjű prímtényezőinek a szorzata (ha nincs ilyen, legyen ''b'' = 1). Mivel ''m'' négyzetteljes szám, ezért minden páratlan kitevőjű prímtényezőjének legalább 3 a kitevője, így ''m''/''b''<sup>3</sup> egész szám lesz. Ráadásul, ''m''/''b''<sup>3</sup> minden prímtényezőjének páros lesz a kitevője, tehát ''m''/''b''<sup>3</sup> [[teljes négyzet]], legyen tehát ez ''a''<sup>2</sup>; ekkor ''m'' = ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>3</sup>. Egy konkrét példa:
<br>
:<math>m = 21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2 \, ,</math>
:<math>b = 2 \times 3 = 6 \, ,</math>
:<math>a = \sqrt{\frac{m}{b^3}} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 10 \, ,</math>
:<math>m = a^2b^3 = 10^2 \times 6^3 \, .</math>

Az ''m'' = ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>3</sup> ilyen kiszámolásából következik az a tulajdonság, hogy ''b'' is [[négyzetmentes szám|négyzetmentes]], és egyértelműen meghatározott.

== Matematikai tulajdonságuk ==

A négyzetteljes számok [[Dirichlet-sor|Dirichlet-generátorsorozata]]

:<math>\frac{\zeta(2s)\zeta(3s)}{\zeta(6s)} \ </math>,

így a négyzetteljes számok reciprokösszege konvergál

:<math>\prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)</math>-hoz,

ahol ''p'' a prímeken fut végig, ζ(''s'') a [[Riemann-féle zéta-függvény]], ζ(3) pedig az [[Apéry-konstans]] (Golomb, 1970).

Jelölje ''k''(''x'') a négyzetteljes számok számát az [1,''x''] intervallumban. Ekkor ''k''(''x'') arányos ''x'' [[négyzetgyök]]ével. Precízebben:

:<math>cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2,173\cdots</math> (Golomb, 1970).

A két legkisebb, egymást követő hatványteljes szám a 8 és a 9. Mivel az ''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;8''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 [[Pell-egyenlet]]nek végtelen sok egész megoldása van, végtelen sok egymást követő hatványteljes szám létezik (Golomb, 1970). {{OEIS|id=A001694}}
{{Megoldatlan|A|matematika|Lehet-e három egymást követő szám mindegyike hatványteljes?}}
Általánosabban, az egymást követő hatványteljes számok a hasonló ''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''ny''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;±1 Pell-egyenlet bármely teljes köb ''n''-re történő megoldásával találhatók meg. Azonban, a két hatványteljes szám egyikének négyzetszámnak kell lennie. Guy szerint Erdős feltette a kérdést, hogy vajon létezik-e végtelen sok olyan egymást követő hatványteljes számpáros (mint a 23<sup>3</sup>, 2<sup>3</sup>3<sup>2</sup>13<sup>2</sup>), melynek egyik tagja sem négyzetszám. Jaroslaw Wroblewski megmutatta, hogy valóban, végtelen sok ilyen páros létezik, hiszen a 3<sup>3</sup>c<sup>2</sup>+1=7<sup>3</sup>d<sup>2</sup> egyenletnek végtelen sok megoldása van. Erdős, Mollin és Walsh sejtése szerint nem létezik három, egymást követő hatványteljes szám.

== Négyzetteljes számok összegei és különbségei ==
Minden páratlan szám felírható egymást követő négyzetszámok különbségeként: (''k'' + 1)<sup>2</sup> = ''k''<sup>2</sup> + 2''k'' + 1, tehát (''k'' + 1)<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''k''<sup>2</sup> = 2''k'' + 1. Hasonlóan, 4 bármely többszöröse felírható kettő különbségű számok négyzeteinek különbségeként: (''k'' + 2)<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''k''<sup>2</sup> = 4''k'' + 4. Azonban egy egyszeresen páros szám (tehát ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem), nem fejezhető ki négyzetszámok különbségeként. Ezután felmerül a kérdés, hogy az egyszeresen páros számok közül melyek fejezhetők ki négyzetteljes számok különbségeként. Golomb megvizsgált néhány ilyen felírást:

:2 = 3<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;5<sup>2</sup>
:10 = 13<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3<sup>7</sup>
:18 = 19<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;7<sup>3</sup> = 3<sup>2</sup>(3<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;5<sup>2</sup>).

Azt sejtették, hogy a 6 nem fejezhető ki ilyen módon, és Golomb azt a sejtést is tette, hogy végtelen sok olyan egész szám létezik, ami nem fejezhető ki négyzetteljes számok különbségeként. Narkiewicz azonban megmutatta, hogy a 6 is végtelen sok módon kifejezhető, pl.

:6 = 5<sup>4</sup>7<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;463<sup>2</sup>,

McDaniel pedig megmutatta, hogy minden egész számnak végtelen sok ilyen reprezentációja létezik (McDaniel, 1982).

[[Erdős Pál|Erdős]] sejtése szerint minden [[elegendően nagy]] egész szám kifejezhető legfeljebb három négyzetteljes szám összegeként; ezt [[Roger Heath-Brown]] 1987-ben igazolta.

== Általánosítása ==
Általánosabban, tekintsük azokat az egészeket, melyeknek az összes prímtényezője legalább ''k'' kitevővel szerepel. Az ilyen egész számokat nevezzük ''k''-hatványteljes számnak vagy ''k''-teljes számnak.

A következő számtani sorozat
:(2<sup>''k''+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>''k''</sup>,&nbsp;&nbsp;2<sup>''k''</sup>(2<sup>''k''+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>''k''</sup>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2<sup>''k''+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>''k''+1</sup>

''k''-teljes számokból áll. Továbbá, ha ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''s''</sub> ''k''-teljes számok ''d'' különbségű számtani sorozata, akkor

: ''a''<sub>1</sub>(''a''<sub>''s''</sub> + ''d'')<sup>''k''</sup>,&nbsp;&nbsp;
''a''<sub>2</sub>(''a''<sub>''s''</sub>&nbsp;+&nbsp;''d'')<sup>''k''</sup>, ..., ''a''<sub>''s''</sub>(''a''<sub>''s''</sub>&nbsp;+&nbsp;''d'')<sup>''k''</sup>, (''a''<sub>''s''</sub>&nbsp;+&nbsp;d)<sup>''k''+1</sup>

''s'' + 1 darab számtani sorozatot alkotó ''k''-teljes szám lesz.

A ''k''-teljes számokkal kapcsolatos a következő azonosság:

:''a''<sup>''k''</sup>(''a''<sup>''l''</sup> + ... + 1)<sup>''k''</sup> + ''a''<sup>''k'' + 1</sup>(''a''<sup>''l''</sup> + ... + 1)<sup>''k''</sup> + ... + ''a''<sup>''k'' + ''l''</sup>(''a''<sup>''l''</sup> + ... + 1)<sup>''k''</sup> = ''a''<sup>''k''</sup>(''a''<sup>''l''</sup> + ... +1)<sup>''k''+1</sup>.

Ez végtelen sok olyan ''k''-teljes számokból álló szám-''l''+1-est ad, melyek összege is ''k''-teljes. Nitaj megmutatta, hogy az ''x''+''y''=''z'' egyenletnek végtelen sok megoldása létezik a relatív prím 3-teljes számok között (Nitaj, 1995). Cohn a következő módon konstruált végtelen megoldáscsaládot az ''x''+''y''=''z'' relatív prím 3-teljes számokra: a következő triplet

:''X'' = 9712247684771506604963490444281, ''Y'' = 32295800804958334401937923416351, ''Z'' = 27474621855216870941749052236511

megoldása a 32''X''<sup>3</sup> + 49''Y''<sup>3</sup> = 81''Z''<sup>3</sup> egyenletnek. Konstruálhatunk egy másik megoldást, ha vesszük az ''X''&prime; = ''X''(49''Y''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;81''Z''<sup>3</sup>), ''Y''&prime; = &minus;''Y''(32''X''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;81''Z''<sup>3</sup>), ''Z''&prime; = ''Z''(32''X''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;49''Y''<sup>3</sup>) és elhagyjuk a közös osztót.

== Kapcsolódó szócikkek ==
*[[Achilles-szám]]

==Fordítás==
* {{fordítás|en|Powerful number|oldid=682993670|n=a|4=angol}}

==Jegyzetek==
{{reflist}}
* {{cite journal
  | author = Cohn, J. H. E.
  | title = A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers
  | journal = Math. Comp.
  | volume = 67
  | year = 1998
  | pages = 439–440
  | url = http://www.ams.org/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00881-3/  | doi = 10.1090/S0025-5718-98-00881-3
  | issue = 221
}}
* {{cite journal
  | author = [[Erdős Pál|Erdős, Paul]] and [[Szekeres György (matematikus)|Szekeres, George]]
  | title = Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem
  | journal = Acta Litt. Sci. Szeged
  | volume = 7
  | year = 1934
  | pages = 95–102}}
* {{cite journal
  | author = [[Solomon W. Golomb|Golomb, Solomon W.]]
  | title = Powerful numbers
  | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1970-10_77_8/page/848
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | volume = 77
  | issue = 8
  | year = 1970
  | pages = 848–852
  | doi = 10.2307/2317020
  | jstor = 2317020}}
* {{cite book
  | author = [[Richard K. Guy|Guy, Richard K.]]
  | pages = Section B16
  | title = Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition
  | url = https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr
  | publisher = Springer-Verlag
  | year = 2004
  | isbn = 0-387-20860-7
  | nopp = true}}
* {{cite conference
  | author = [[Roger Heath-Brown|Heath-Brown, Roger]]
  | title = Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers
  | booktitle = Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7
  | publisher = Birkhäuser
  | location = Boston
  | pages = 137–163
  | year = 1988}}
* {{cite conference
  | author = Heath-Brown, Roger
  | title = Sums of three square-full numbers
  | booktitle = Number Theory, I (Budapest, 1987)
  | publisher = Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51
  | year = 1990
  | pages = 163–171}}
* {{cite book | last=Ivić | first=Aleksandar | title=The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications | series=A Wiley-Interscience Publication | location=New York etc. | publisher=John Wiley & Sons | year=1985 | isbn=0-471-80634-X | zbl=0556.10026 | pages=33–34,407–413 }}
* {{cite journal
  | author = McDaniel, Wayne L.
  | title = Representations of every integer as the difference of powerful numbers
  | url = https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1982-02_20_1/page/85
  | journal = [[Fibonacci Quarterly]]
  | volume = 20
  | year = 1982
  | pages = 85–87}}
* {{cite journal
  | author = Nitaj, Abderrahmane
  | title = On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers
  | journal = [[Bulletin of the London Mathematical Society|Bull. London Math. Soc.]]
  | volume = 27
  | year = 1995
  | pages = 317–318
  | doi = 10.1112/blms/27.4.317
  | issue = 4}}

== További információk ==
* {{mathworld|urlname=PowerfulNumber|title=Powerful number}}
* [https://web.archive.org/web/20000819203144/http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html The abc conjecture]
* [http://oeis.org/A060355 A060355 sorozat - Numbers n such that n and n+1 are a pair of consecutive powerful numbers]

{{Osztóosztályok}}
{{Természetes számok}}

[[Kategória:Nevezetes számsorozatok]]