Möbius-szalag forrásának megtekintése

{{egyért2|a kétdimenziós felületről|Möbius (egyértelműsítő lap)}}
[[Fájl:Möbius strip.jpg|bélyegkép|250px|jobbra|Papírból készült Möbius-szalag]]
A '''Möbius-szalag''' kétdimenziós felület, aminek különlegessége, hogy csak egyetlen oldala és egyetlen éle van. Felfedezője [[August Ferdinand Möbius]] (1790–1868) német matematikus és csillagász.

== Elkészítése ==
A szalagot könnyen elkészíthetjük egy papírcsíkból, ha végeit összeragasztjuk úgy, hogy az egyiket 180°-kal elfordítjuk. Az egyoldalúságról úgy győződhetünk meg, ha egy ceruzával hosszirányban a közepén csíkot húzunk, visszajutunk oda, ahonnan elindultunk, bejárva az eredeti fizikai szalag mindkét oldalát. További érdekesség, hogy ha kettévágjuk az imént említett vonal mentén, egy, az eredeti szalagnál kétszer hosszabb (fele olyan széles), immár kétoldalú [[felület]]et kapunk. Ha még egyszer hasonló módon körbevágjuk, akkor két egymásba fonódó szalag lesz az eredmény.
Ha három részre vágjuk, akkor két egymásba fonódó szalagot kapunk: az egyik újra Möbius-szalag, a másik egy kétszer olyan hosszú szalag, ami kétszer csavart.

A hasonlóan páratlan számszor csavart szalagok darabolása hasonló érdekes eredményt ad. Például a háromszor 180 fokosan csavarodó szalag kettévágásával [[lóherecsomó]]t kapunk. A végeredményként kapott csavarodások száma kiszámítható a következő egyenletből: 2''N'' + 2 = ''M'', ahol ''N'' a csavarodások eredeti száma, és ''M'' a csavarodások kapott száma. A Möbius-szalaghoz hasonlóan a páratlan számszor csavart szalagoknak egy élük és egy oldaluk van. A páros számszor csavartak ellenben két oldalúak és két élűek.

== A Möbius-szalag paraméteres képletei ==
Alább Möbius-szalaggal homeomorf felületek paraméterezését adjuk meg.
Descartes-féle koordináta-rendszerben:

:<math>x(u,v)= \textstyle \left(1+\frac{1}{2}v \cos \frac{1}{2}u\right)\cos u</math>

:<math>y(u,v)= \textstyle \left(1+\frac{1}{2}v\cos\frac{1}{2}u\right)\sin u</math>

:<math>z(u,v)= \textstyle \frac{1}{2}v\sin \frac{1}{2}u</math>

ahol 0 ≤ ''u'' < 2π és ‒1 ≤ ''v'' ≤ 1. Ez egy 1 szélességű, origó középpontú szalag, aminek egységsugarú alapköre az xy síkban fekszik.

Hengerkoordinátákban <math>(r,\;\vartheta,\;z)</math> az él nélküli Möbius-szalag a következőképpen paraméterezhető:

:<math>\textstyle \log(r) \sin \left( \frac{1}{2} \vartheta \right) = z \cos \left( \frac{1}{2} \vartheta \right)</math>.

== A topológiában ==
[[Fájl:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|right|Möbius-szalag készítése téglalapból]]

Topológiailag a Möbius-szalag egy olyan [0,1] × [0,1] négyzet, aminek az oldalait a {{nowrap|(''x'', 0) ~ (1 ‒ ''x'', 1)}} ahol {{nowrap|0 ≤ ''x'' ≤ 1,}} reláció szerint azonosítjuk.

A Möbius-szalag kétdimenziós kompakt sokaság (felület, aminek határa van). A nem irányítható felületek standard példája.

A komputergrafikában vagy a modellezésben így is lehet Möbius-szalagot konstruálni:
* Végy egy téglalap alakú szalagot
* Forgasd meg egy olyan pont körül, ami nincs vele egy síkban
* Minden egyes lépésben forgasd meg a körül a vele egysíkú egyenes körül, ami kettévágja a szalagot, és merőleges az alapkör sugarára
* Ha így megtettél egy teljes fordulatot, akkor a téglalap egy Möbius-szalagot súrolt végig

A Möbius-szalag darabolásának szemléltetése:
* Kettévágva a szalagot egy teljes fordulatot megtevő szalagot kapunk
* Ezt újra kettévágva két, egymásba fonódó, teljes fordulatot tevő szalagot kapunk

== Rokon objektumok ==
Egy hasonlóan furcsa objektum a [[Klein-féle palack|Klein-palack]]. Ez megkapható két Möbius-szalagból a két szalag éleinek azonosításával. A Klein-palack nem ágyazható be a háromdimenziós euklideszi térbe önátmetszés nélkül.<ref>{{cite book
 | last = Spivak
 | first =  Michael
 | title = A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volume I
 | edition = 2nd
 | series = 
 | year =  1979
 | publisher = Publish or Perish
 | location = Wilmington, Delaware
 | pages = 591
 | chapter = 
 | chapterurl = 
 | quote = 
 | ref =
 }}</ref>

Egy másik rokon objektum a valós [[projektív sík]]. Ha a valós projektív síkból kivágunk egy körlapot, akkor Möbius-szalagot kapunk.<ref>{{cite book
 | last = Hilbert
 | first =  David
 | coauthors = S. Cohn-Vossen
 | edition = 2nd
 | title = Geometry and the Imagination
 | year =  1999
 | publisher = American Mathematical Society
 | location = Providence, Rhode Island
 | pages = 316
 | isbn = 9780821819982
 }}</ref>
Megfordítva, ha egy Möbius-szalag határát azonosítjuk egy körlap határával, akkor valós projektív síkot kapunk. Ennek szemléltetéséhez a szalag határát körvonallá kell alakítani. A valós projektív sík szintén nem ágyazható be a háromdimenziós euklideszi térbe önátmetszés nélkül.

A gráfelméletben a gráfok egy ''M''<sub>''n''</sub> speciális osztálya szintén Möbiusról kapta a nevét. Ezek egy páros ''n'' pontszámú körből származtathatók a szemben fekvő csúcsok összekötésével. Nevét onnan kapta, hogy az ''M''<sub>6</sub> = ''K''<sub>3,3</sub> kivételével ''M''<sub>''n''</sub> ''n''/2 négyszöget tartalmaz, amelyek egymáshoz csatlakozva Möbius-szalagot formálnak (McSorley 1998). Ezt a gráfosztályt először Richard K. Guy és Frank Harary tanulmányozta (1967).

== Felhasználása ==
[[Fájl:Recycle001.svg|bélyegkép|jobbra|200px|Az újrahasznosítás nemzetközi jelképe Möbius-szalagot formál]]
[[Fájl:MöbiusWeddingBand.JPG|bélyegkép|jobbra|200px|Möbius-szalag alakú [[jegygyűrű]]]]

* Möbius szalagokat használtak szállítószalagnak is (hogy tovább tartsanak, hiszen "mindkét oldaluk" ugyanannyit kopik).
* Magnó-felvételeknél (hogy megkétszerezzék a lejátszási időt).
* Írógépek és nyomtatók szalagjai, hogy kétszer olyan szélesek lehessenek, mint a fej.
* [[Ellenállás (áramköri alkatrész)|Ellenállásként]] [[áramkör]]ökben.
* Magas hőmérsékletű [[Szupravezetés|szupravezetőkhöz]].<ref>Raul Perez Enriquez A Structural parameter for High Tc Superconductivity from an Octahedral Moebius Strip in RBaCuO: 123 type of perovskite Rev Mex Fis v.48 supplement 1, 2002, p.262 or at [http://arxiv.org/abs/cond-mat/0308019 here]</ref>
* Molekulamotorként.<ref>Angew Chem Int OD English one 2005 February 25; 44 (10): 1456–77.</ref>
* Speciális tulajdonságú molekulacsomóként (knotán [2], kiralitás).
* Aromás vegyületek altípusa, ahol a molekulagyűrű Möbius-szalag módjára csavarodik.
* Nanografit szerkezetekben különleges elektromágneses terekhez, például spirális alakú mágneses terekhez.<ref>[[arXiv]]: cond-mat/0309636 v1 Physica E 26 February 2006</ref>
* A Föld mágneses tere által foglyul ejtett töltött részecskék Möbius-szalag mentén mozognak.<ref>IEEE Transactions on plasma Science, volume. 30, No. 1, February 2002</ref>

Ez az ellenállás két vezető réteg között szigetelőanyagot tartalmaz, és úgy van kialakítva, hogy az átfolyó áram két, ellentétes irányban azonos utat jár be, így a gerjesztett elektromágneses terek kioltódnak. Röviden: nincs önindukciója. A bifilláris tekercseléssel létrehozott indukciómentes ellenállások is felfoghatók Möbius-szalagnak.

A Möbius-szalag egy kör rendezetlen pontpárjának a konfigurációs tere. Ebből adódik, hogy a kettőshangzatok tere Möbius-szalag.<ref>[http://www.livescience.com/strangenews/080507-math-music.html Clara Moskowitz, Music Reduced to Beautiful Math, LiveScience]</ref><ref>{{cite journal |author= Dmitri Tymoczko |title= The Geometry of Musical Chords |url= https://archive.org/details/sim_science_2006-07-07_313_5783/page/72 |date= 7 July 2006 |volume= 313 |issue= 5783 |pages= 72–74 |journal= [[Science (journal)|Science]] |doi= 10.1126/science.1126287}}</ref>

== Megjelenése a kultúrában ==
* Több [[szobrászat|szobor]] és [[grafika]] készült, amiket a Möbius-szalag ihletett: [[Maurits Cornelis Escher|M. C. Escher]] számos metszete alapul rajta. Híres képén hangyák másznak körbe egy Möbius-szalag felületén<ref>{{Cite web |url=http://www.worldofescher.com/gallery/jpgs/P3L.jpg |title=Archivált másolat |accessdate=2009-09-25 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080916210514/http://www.worldofescher.com/gallery/jpgs/P3L.jpg |archivedate=2008-09-16 }}</ref>
* A Möbius-szalag alakú jegygyűrűk az egységet szimbolizálják a házasságban.
* A [[sci-fi|tudományos-fantasztikus]] irodalom visszatérő eleme. Több történet feltételezi, hogy univerzumunk alakja egy magasabb dimenzióra általánosított Möbius-szalag. Armin Joseph Deutsch ''A Möbius metró'' című novellájában a bostoni földalattit egy új vonallal bővítik, és így a pálya Möbius-szalagként funkcionál: a szerelvények kezdenek eltünedezni. A műből film is készült ''A Moebius-metró'' (1996) címmel.
{{Idézet 3|Talán néha másnak is tűnik<br>Egyszerűbb, mint hogy érthetném<br>Csak egyetlen oldal van<br>Rajta csak egyetlenegy él|Veres Gábor, Watch My Dying|300px|right}}
* David Lynch ''[[Lost Highway – Útvesztőben]]'' (1997) című filmjének történetvezetése a Möbius-szalagra hasonlít: a cselekmény pontosan oda tér vissza, ahonnan a film elején elindult.
* A Watch My Dying együttes Moebius című dala a Möbius-szalagra utal.<ref>[http://www.zeneszoveg.hu/dalszoveg/49694/watch-my-dying/moebius-zeneszoveg.html Watch My Dying együttes Moebius című dalának szövege]</ref>{{-}}

== Érdekességek a Möbius szalaggal ==
[[Fájl:Möbius-szalagra helyezett kettősfrizek.jpg|bélyegkép|300px|jobbra|A Möbius-szalagra helyezett kettős frízek néhány esete]]

A Möbius szalagra frízmintázatok építhetők. Ezek azonban csak olyanok lehetnek, amelyek a csúsztatva tükrözés műveletét (lásd a [[szimmetria]] címszónál) tartalmazzák. Ugyancsak felhelyezhetők kettős frízek is a Möbius-szalagra. Ezekből néhányat bemutatunk a mellékelt ábrán.

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[August Ferdinand Möbius]]
* [[Klein-féle palack]] (egy másik egyoldalú felület)

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
* Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és Topológia: Rácsátrendeződések a Möbius-szalag–Tórusz transzformáció során. [[Természet Világa]], 1990/10. 464-466. (HU {{ISSN|0040-3717}})
* Bérczi Sz. (1993): Symmetry Changes by Cellular Automata in Transformations of Closed Double-Threads and Cellular Tubes with Möbius-Band, Torus, Tube-Knot and Klein-Bottle Topologies. Symmetry: Culture and Science, 4. No. 1. p.&nbsp;49-68. ({{ISSN|0865-4824}})
* Szaniszló Bérczi (1997): Symmetrieanderungen durch zellulare Automaten in Transformationen geschlossener Doppelfaden und zellularer Röhren mit Möbiusband-, Torus-, Röhrenknoten- und Klein-Flaschen-Topologie. (In: Jenseits von Kunst, P. Weibel, ed.), p.&nbsp;216-220. Passagen Verlag, Wien (A Művészeten Túl magyar katalógus ISBN száma: {{ISBN|963-03-8859-6}})
* {{Cite journal | title=Making Resistors with Math | journal=Time | volume=84 | issue=13 | date=1964-09-25 | url=http://www.time.com/time/printout/0,8816,876181,00.html | language=angol | accessdate=2009-09-24 | archiveurl=https://archive.today/20130105022618/http://www.time.com/time/printout/0,8816,876181,00.html | archivedate=2013-01-05 }}
* {{cite journal| author = Maharry, John | title = A characterization of graphs with no cube minor | journal = Journal of Combinatorial Theory, Series B| volume = 80| year = 2000| issue = 2| pages = 179–201| doi = 10.1006/jctb.2000.1968}}

== További információk ==
{{Commonskat|Moebius strip}}
* [https://index.hu/tech/tudomany/mobius160707/ Megoldották a Möbius-szalag rejtélyét] – [[Index.hu]], 2007. július 16.
* [http://demonstrations.wolfram.com/MoebiusStripMadeFromARotatingBar/ Egy Möbius-szalag demonstráció a Mathematica Programmal a Wolfram Demonstrációk között]
* [http://www.pparc.ac.uk/frontiers/latest/update.asp?article=2U2&style=update A virtual walk in the solar wind]{{Halott link|url=http://www.pparc.ac.uk/frontiers/latest/update.asp?article=2U2&style=update |date=2018-11 }}
* {{cite web
|url = http://www.nature.com/news/2007/070709/full/070709-16.html
|title = Möbius strip unravelled
|accessdate = 2006-07-16
|author = Louis Buckley
|date = 2007-07-15
|publisher = Nature
|doi = 10.1038/news070709-16
}}
* [http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A337592 h2g2 – Az érdekes Möbius-szalag]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/moebius.shtml Möbius-szalag] a cut-the-knotnál
* [https://web.archive.org/web/20090501054649/http://robotics.eecs.berkeley.edu/~ahoover/Moebius.html The Möbius Gear – A functional planetary gear model in which one gear is a Möbius strip]
* [http://www.expasy.org/spotlight/back_issues/sptlt020.shtml Fehérje, topologikus csavarral]
* [http://moebio.com/strip Térbeli és forgó Möbius-szalag]
* [http://symmetry-us.com/Journals/4-1/berczi.pdf A Symmetry changes by cellular automata ... cikk] 
* {{MathWorld|urlname=MoebiusStrip|title=Möbius Strip}}
* Jeffrey R. Weeks: A tér alakja
{{csonk-dátum|csonk-geometria|2007 januárjából}}

[[Kategória:Topológia]]
[[Kategória:Geometria]]