Lissajous-görbe forrásának megtekintése

[[File:Lissajous figure - sand on paper.jpg|bélyegkép|jobbra|Papírra homokkal kirajzolt Lissajous-görbe]]

A '''Lissajous-görbéket''' egymásra merőleges rezgések által kijelölt síkgörbék. A görbéket [[Jules Antoine Lissajous]] írta le 1857-ben.

A Lissajous-görbék meglehetősen ismertek, mivel igen látványos és egyszerűen előállítható alakzatok, így akár díszítőelem funkciót is betölthetnek.

== Leírás ==
[[File:Lissajous relaciones.png|bélyegkép|jobbra|Lissajous-görbék a fáziseltérés és a frekvencia-arányok szerint]]

A görbéket két, egymásra merőleges rezgés eredőjeként kapjuk.<ref name="holics">{{cite book
|title=Fizika
|author=Holics László
|coauthors=Csákány Antal, Flórik György, Gnädig Péter, Juhász András, Sükösd Csaba, Tasnádi Péter
|year=2009
|isbn=978 963 05 8487 6
|pulisher=Akadémiai Kiadó
}}</ref> Elképzelhető ugyan más szöget bezáró mozgás is, azonban ezek is mindig felbonthatóak merőleges és párhuzamos komponensekre.

A görbék paraméteres alakja:
:<math>\begin{align}x(t)&=a_1\cdot\sin(\alpha_1t+\varphi)\\y(t)&=a_2\cdot\sin(\alpha_2t)\end{align}</math>

A Lissajous-görbék egy téglalapot töltenek ki, aminek oldalhosszai a rezgések amplitúdója. A téglalapok oldalait érinti, az érintési pontok számának aránya a frekvenciák arányával egyenlő. Ennek következménye, hogy ha a két frekvencia aránya irracionális, a görbe a téglalapot kitölti. Másképpen fogalmazva a görbe periodikus függvény, ha a frekvenciák aránya racionális, és nem periodikus, ha irracionális szám.<ref name="litz">{{cite book
|title=Fizika
|series=1
|author=Dr. Erostyák János
|coauthors=Dr. Demény András, Dr. Szabó Gábor, Dr. Trócsányi Zoltán
|editor=Dr. Erostyák János, Dr. Litz József
|year=2005
|isbn=963 19 5719 5
|publisher=Nemzeti tankönyvkiadó
|location=Budapest-Debrecen-Pécs-Szeged
}}</ref>

Maga a görbe elképzelhető úgy is, hogy egy hengerfelületre írunk szinuszhullámot, és ezt a koordináta-rendszerbe vetítjük. A fázisszög a henger adott szögű elforgatásával egyenértékű, a henger magassága és átmérője az amplitúdókkal egyenlő, a hullám frekvenciája pedig a rezgések frekvenciájának arányával egyezik meg.

=== A legegyszerűbb eset ===

Ha a két frekvencia egyenlő, akkor a görbe vizsgálata egyszerű módszerekkel elvégezhető.

# Ha <math>\varphi=0</math>, akkor <math>\frac{x}{a_1}=\frac{y}{a_2}</math>, azaz a görbe egyenes, méghozzá az <math>a_1</math> és <math>a_2</math> oldalú téglalap átlója.
# Ha <math>\varphi=\frac{\pi}{2}</math>, akkor a [[szögfüggvények]] közötti összefüggéseket figyelembe véve kapjuk, hogy
:<math>\begin{align}\frac{x}{a_1}&=\cos(\alpha t)\\\frac{y}{a_2}&=\sin(\alpha t)\end{align}</math>.
Innen a [[Pitagorasz-tétel]]t alkalmazva a görbe egyenlete az
:<math>\left(\frac{x}{a_1}\right)^2+\left(\frac{y}{a_2}\right)^2=1</math>
alakot ölti. Ez pontosan az [[Ellipszis (görbe)|ellipszis]] egyenlete.

Némileg bonyolultabb belátni, hogy ha <math>\varphi=\pm\frac{\pi}{4}</math>, akkor a görbe egy olyan ellipszis, amelynek a nagytengelye az <math>a_1; a_2</math> oldalú téglalp átmérőjén fekszik. Ehhez a [[másodrendű görbék]] ismerete szükséges.

Az összetettebb esetekben már mélyebb matematikai ismeretekre van szükség, ezeket itt nem részletezzük.

== Alkalmazások ==
[[File:Australian Broadcasting Corporation logo (1974-).svg|bélyegkép|jobbra|Az [[Australian Broadcasting Corporation]] logója is egy Lissajous-görbe]]
A Lissajous-görbéket a [[harmonográf]] használata során alkalmazzuk. Ekkor harmonikus rezgőmozgásokat az általuk létrehozott rajzok segítségével elemzünk. Ha egy ismeretlen rezgést egy rá merőleges másik rezgéssel összekapcsolunk, a kirajzolt ábra alapján a paramétereit meg tudjuk határozni.

Egyes esetekben logóként is alkalmazzák a Lissajous-görbéket, mivel látványos, ugyanakkor egyszerű alakzatok. Ilyen például az Australian Broadcasting Corporation emblémája.

== Források ==
{{Jegyzetek}}

[[Kategória:Trigonometria]]
[[Kategória:Görbék]]