Lánctört forrásának megtekintése

A '''lánctört''' egy olyan kifejezés, aminek alakja

:<math>b_0 + \frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{\displaystyle b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots}}}} = b_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \frac{a_4|}{|b_4} + \ldots</math>

Egy lánctört ''egyszerű'', vagy ''reguláris'', ha <math>a_1 = a_2 = \ldots = 1</math>, egyébként ''általános''. A lánctörtek vizsgálatakor gyakran elhagyják az egész értékű <math>b_0</math>-t.

== Definíció ==

=== A lánctört fogalma ===

Egy lánctört<ref>Sporer, első szakasz</ref> egy
:<math>\frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{\displaystyle b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots}}}}</math> vagy <math>\frac{1}{\displaystyle b_1+\frac{1}{\displaystyle b_2+\frac{1}{\displaystyle b_3+\frac{1}{b_4+\cdots}}}}</math>
alakú [[emeletes tört]]. A két forma átalakítható egymásba, ezért elég a második típust tekinteni. Sőt, ilyenből van olyan is, amiben a nevezők mind pozitív egészek: [[negatív számok]] esetén az egész tört elé tesszük a negatív előjelet. Ezekkel a feltételekkel a lánctört az
:<math>[b_1,b_2,b_3,b_4,\ldots]</math>
alakban is írható, ahol a zárójelben levő számok a lánctört jegyei.
=== Függvénysorozat ===
A lánctörtek<ref>lásd Henrici, 2. kötet</ref> <math>\Big(\left(\{a_n\},\{b_n\}\right),\{f_n\}\Big)</math> alakú rendezett párok, ahol <math>\{a_n\}^{\infty}_{n=1}</math>, <math>\{b_n\}^{\infty}_{n=1}</math> komplex számok sorozata, ahol <math>a_n \not= 0</math> minden ''n''-re. <math>\{f_n\}^{\infty}_{n=1}</math> egy sorozat a kiterjesztett [[komplex számok|komplex síkon]], ahol
:<math>f_n = s_1 \circ s_2 \circ \ldots \circ s_n(0)</math>
ahol <math>s_k</math>-k a komplex síkon értelmezett [[lineáris törtfüggvények]]:
:<math>s_k:\mathbb{C}_\infty \rightarrow \mathbb{C}_\infty, z \mapsto \frac{a_k}{b_k + z} \qquad (k=1,2,\ldots)</math>

Így
:<math>f_n = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \ldots + \frac{a_n|}{|b_n}.</math>
<math>a_n</math> az <math>n</math>edik részszámláló, <math>b_n</math> az <math>n</math>-edik résznevező, és <math>f_n</math> a lánctört <math>n</math>-edik közelítése.

== Típusaik ==
=== Véges lánctörtek ===
Egy lánctört véges, ha egy bizonyos ''n'' szám után véget ér. Egy egyszerű példa:

:<math>\frac{1729}{314} = [5;1,1,38,1,3] = 5 + \frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|38}+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|3},</math>

ahol a jegyek meghatározhatók az [[euklideszi algoritmus]]sal.

=== Végtelen lánctörtek ===
Ha a lánctörtnek végtelen sok jegye van, akkor végtelen. Ezek értéke [[irracionális számok|irracionális]]; a résztörtek közelítést adnak erre az értékre. Ha <math>a_n</math> minden ''n''-re egy, és a nevezők periodikusan váltakoznak, akkor a lánctört periodikus. Lagrange tétele szerint egy lánctört akkor és csak akkor periodikus, ha van olyan racionális együtthatós másodfokú egyenlet, aminek megoldása.
==== Irracionalitás ====
Vezessük be a következő jelölést:

:<math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \frac{a_4|}{|b_4} + \ldots</math>

legyen ''b''<sub>0</sub> = 0, és tekintsünk egyszerű lánctörteket.

Legyenek továbbá

:<math>\frac{u_0}{v_0} = \underset{i=r}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}</math>
:<math>\frac{u_1}{v_1} = \underset{i=r+1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}</math>
:<math>\frac{u_2}{v_2} = \underset{i=r+2}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}</math>

satöbbi.

Ezzel

:<math>\frac{u_k}{v_k} = \frac{1|}{|b_r} + \frac{u_{k+1}|}{|v_{k+1}}</math> also <math>\frac{u_{k+1}}{v_{k+1}} = \frac{v_k - u_k b_r}{u_k}</math>

ahonnan

<math>v_{k+1} = u_k</math>

így

<math>\frac{u_{k+1}}{v_{k+1}} = \frac{v_k - u_k b_r}{u_k}</math>

ezzel

<math>v_{k+1} = u_k.</math>

<math>\frac{u_k}{v_k}<1,</math> tehát <math>v_0 > u_0 > u_1 > u_2 > u_3 \ldots</math>. Ha egy ''i'' indextől kezdve racionálisak lennének, akkor u<sub>''i''</sub>, u<sub>''i''+1</sub>, u<sub>''i''+2</sub>, … egyre kisebb lenne, és a nullához kellene tartania, és így a lánctört nem lehet véges.
==== Periodikus lánctörtek ====
Egy lánctört periodikus, ha vannak <math>k, l</math> számok, hogy <math>x_{\lambda+k} = x_\lambda</math> minden <math>\lambda \geq l + 1</math> számra. A legkisebb ilyen <math>k</math> a lánctört periódusa.<ref>lásd Wüstholz, 92. oldal</ref> Ekkora lánctört az

:<math>x = [x_0;x_1,\ldots,x_l,\overline{x_{l+1},\ldots,x_{l+k}}]</math>

alakba írható.

A lehető legkisebb <math>l</math>-re az <math>x_0, \ldots, x_l</math> sorozat a lánctört előszakasza, aminek hossza <math>l+1.</math> [[Joseph Louis Lagrange]] egy tétele szerint egy lánctört pontosan akkor periodikus, ha értéke egy racionális együtthatós [[másodfokú egyenlet]] megoldása.

'''Példák:'''

Legyen <math>x = [1;\overline{1,2}]</math>. Mivel egynél nagyobb, ezért vonjuk le az [[egészrész]]t:

<math>y:= x-1</math>.

Ekkor <math>y = (x - 1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + y}}</math>.

Átrendezéssel <math>y= \frac{2+y}{3+y}</math>,

így <math>y^2+2y+1=3</math>

amiből <math>y+1 = \pm\sqrt{3}</math>.

Mivel <math>y>0</math>,

azért <math> x = y+1= \sqrt{3}</math>.

Hasonlóan mutatható meg, hogy <math>\sqrt{2} = [1;2,2,2,2,\ldots].</math> Fejtsük <math>x = \sqrt{2}</math>-t lánctörtbe! <math>\sqrt{2} > 1,</math> így különvesszük az egészrészt: <math>x = 1+ \sqrt{2} - 1</math>

Felírjuk <math>\sqrt{2} - 1</math>-t, mint [[reciprok]]ának reciprokát. Kapjuk:

:<math>x = 1+ \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2} - 1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}.</math>

A harmadik binomiális tétel miatt <math> \frac{1}{a-b} = \frac{a+b}{a^2-b^2}</math>,

ennélfogva <math>\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2-1}</math>.

Mivel <math>x = \sqrt{2}</math>, azért írhatjuk, hogy:

<math>x = 1 + \frac{1}{1 + x},</math> azaz <math>(x - 1) =\frac{1}{2 + (x - 1)}</math>.

Tehát x-1 lánctörtbe fejtése <math>(x-1) = (\sqrt{2}-1) = [0;2,2,\ldots],</math> és ehhez már csak egyet kell adni, hogy négyzet[[gyök kettő]]t kapjunk.

==== Nem periodikus lánctörtek ====
A végtelen, nem periodikus törtek olyan irracionális számoknak felelnek meg, amik vagy [[transzcendens számok|transzcendensek]], vagy kettőnél magasabb fokú [[algebrai számok|algebraiak]].

'''Példa:''' köbgyök kettő lánctörtes alakja :<math>\sqrt[3]{2}</math><math> = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots]</math>.

Az ''e'' Euler-konstans lánctörtbe fejtve: :<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots],</math>

ahol is a könnyen felismerhető minta folytatódik a végtelenségig.

Különlegesen fontos a π lánctörtbe fejtésének a π irracionális voltának és approximálhatóságának bizonyításában.<ref>lásd Ebbinghaus, 121ff. oldal <math>\pi</math> irracionalitása és lánctörtbe fejtése</ref><ref>Johann Heinrich Lambert: ''Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen.'' (1766), Werke I., 194-212. oldal</ref> A lánctört jegyeiben semmilyen minta nem ismerhető fel:

:<math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]</math>

Lambert megtalálta a [[tangens]]függvény lánctörtbe fejtését:

:<math>\mathrm{tg} z = \frac{z|}{|1} + \frac{z^2|}{|3} + \frac{z^3|}{|5} + \frac{z^4|}{|7} + \ldots = \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{z^i}{2i-1}</math>

és ez alapján belátta, hogy a nullától különböző [[racionális szám]]ok tangense irracionális. Továbbá bebizonyította, hogy π irracionális, amihez felhasználta [[Adrien Marie Legendre]] egy lemmáját, és azt, hogy <math>\mathrm{tg} \frac{1}{4}\pi = 1</math><ref>Adrien Marie Legendre: ''Éléments de Géometrie.'' 1806</ref>

Az <math>\frac{\pi}{4} = \frac{1|}{|1} + \frac{1^2|}{|2} + \frac{3^2|}{|2} + \frac{5^2|}{|2} + \ldots</math> általános lánctörtbe fejtést 1656-ban Lord William Brouncker fedezte fel a Wallis-szorzat segítségével.<ref>lásd Ebbinghaus, 123. oldal</ref> Ez a lánctört azonban az egyszerű lánctörtekkel ellentétben nagyon lassan konvergál.

[[Fájl:KhinchinBeispiele.svg|thumb|left|200px|Példák a konvergenciára:<br />
Piros: A π<br />
Kék: A γ [[Euler-Mascheroni-konstans]]<br />
Zöld: Kettő köbgyöke (<math>\sqrt[3]2</math>)<br />
Fekete: Hincsin-konstans]]

[[Fájl:KhinchinGegenbeispiele.svg|thumb|200px|Ellenpéldák a konvergenciára:<br />
Piros: Az <math>e</math> Euler—szám<br />
Kék: Négyzetgyök kettő(<math>\sqrt2</math>)<br />
Zöld: Négyzetgyök három (<math>\sqrt3</math>)<br />
Fekete: Hincsin-konstans]]

A <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1a_2a_3\dots a_n}</math> kifejezés majdnem minden valós szám esetén ugyanahhoz a számhoz konvergál. Ez a [[Hincsin-konstans]]. Ez megfelel az <math>a_k</math> lánctörtjegyek mértani közepének. A Hincsin-konstans közelítő értéke <math>2{,}685452001\dots</math>, és nem ismert, hogy irracionális-e.

A majdnem mindenütt kifejezésben a kivételeket azok a számok jelentik, amik lánctörtes alakjában a jegyek felismerhető minta szerint következne. Ilyen például az ''e'' szám négyzetgyöke és négyzete, aminek első néhány lánctörtes jegye

<math>e^2=[7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, \dots]</math>

== Lánctörtbe fejtés ==
Egy α pozitív szám <math>[a_0;a_1,a_2,\ldots]</math> lánctörtes alakja egy lánctörtbefejtő algoritmussal számítható, ami az euklideszi algoritmus kiterjesztése a valós számokra.

Az algoritmus kezdetekor <math>\alpha_0 = \alpha .</math> A lánctört minden egyes jegyéhez a következőket kell tenni:

# Az ''i''-edik jegy, ''a''<sub>''i''</sub> α<sub>''i''</sub> egészrésze.
# <math>\alpha_{i+1} = \frac{1}{\alpha_i - \lfloor \alpha_i \rfloor}</math>

Racionális α esetén az egyik ''a''<sub>''i''</sub> egész szám lesz, a lánctört utolsó jegye. Ezzel az eljárás véget ér. Irracionális α szám estén meg kell adni egy ''i'' lépésszámot, különben az algoritmus nem ér véget.

Példaként tekintsük négyzetgyök kettő lánctörtbe fejtésáét a második jegyig:

:<math>\begin{align}
\alpha_0 &= \sqrt{2}\\
     a_0 &= 1 \qquad (\text{mert } 1 \le \sqrt{2} < 2)\\
\alpha_1 &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1}\\
         &= \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)}\\
         &= \sqrt{2} + 1\\
     a_1 &= 2 \qquad (\text{mert } 2 \le \sqrt{2} + 1 < 3)\\
\alpha_2 &= \frac{1}{(\sqrt{2} + 1) - 2}\\
         &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1}\\
         &= \sqrt{2} + 1\\
     a_2 &= 2 \qquad (\text{mert } 2 \le \sqrt{2} + 1 < 3)
\end{align}</math>

Eszerint négyzetgyök kettő lánctörtes alakja <math>[1;2,2,\ldots]</math>

== Kiértékelés ==
Véges lánctörtekre kiszámítható a pontos érték; a végtelen lánctörtek értéke közelítőleg adható meg.
=== Felszálló módszer ===
A lánctörtet alulról felfelé oldja meg:

:<math>f_{n,n} = \frac{a_n}{b_n}, f_{j,n} = s_j (f_{j+1,n}) = \frac{a_j}{b_j + f_{j+1,n}}</math>
minden <math>j=n-1, n-2, \ldots, 1</math>-re.
=== Leszálló módszer ===
A lánctört kiértékelését az első résztörtnél kezdi. Az ''f''<sub>''n''</sub> közelítések egymásba skatulyázott intervallumokat adnak.

:<math>\begin{pmatrix}p_{-1} \\ q_{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}p_0\\ q_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix},{p_n \choose q_n} = a_n {p_{n-2} \choose q_{n-2}} + b_n {p_{n-1} \choose q_{n-1}}</math>
minden <math>n = 1,2, \ldots</math>-re.

Ezzel <math>f_n = \frac{p_n}{q_n}</math> az ''n''-edik közelítő tört.
== Konvergencia ==
Egy lánctört konvergens, ha létezik a

:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n = f</math>

határérték. Ekkor ez az ''f'' a lánctört értéke. Ha ''f''<sub>''n''</sub> nem korlátos, azaz minden <math>C \in \R_{\geq 0}</math>-hez van ''n'', hogy <math>|f_n| \geq C</math> minden <math>n \geq n_0</math>-ra, akkor nem beszélhetünk a szokásos értelemben vett lánctörtről.
=== Ekvivalens lánctörtek ===
Az <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}</math> és a <math>\underset{i=1}{\overset{\infty} {\mathbf{K}}} \frac{a^*_i}{b^*_i}</math> lánctörtek ekvivalensek, ha mindegyik közelítésük egyenlő.

:<math>\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a^*_i}{b^*_i}</math> minden ''n''-re.

Legyen <math>\{c_n\}_{n \geq 0} \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\}, c_0 = 1</math>. Mivel itt nem közönséges, hanem lánctörtekről van szó, ezért itt nem szabad egyszerűsíteni. Ekkor teljesülnek e következő ekvivalenciák:

:<math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}</math> ekvivalens <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{c_{i-1} c_i a_i}{c_i b_i}</math>-vel

Ebből

:<math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}</math> ekvivalens <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{b_{i-1}^{-1} b_i^{-1} a_i}{1}</math>-gyel,ha minden ''n''-re <math>b_n \not= 0</math>

és :<math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}</math> ekvivalens <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i c_i}</math>-vel, ahol <math>c_1 = a_1^{-1}, c_n = (a_n c_{n-1})^{-1}</math> minden <math>n=2,3,\ldots</math>-ra.
=== Konvergenciakritériumok ===
A leszálló kiértékelésből

:<math>p_{n-1}q_n-p_nq_{n-1} = (-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n</math>
minden <math>n=1,2,\ldots</math>-ra.

Ezzel két lánctört különbsége
:<math>f_n - f_{n-1} = (-1)^{n+1} \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{q_{n-1} q_n},</math>

így a lánctörtek közelítő értékei pozitív jegyek esetén felváltva kisebbek és nagyobbak, mint a pontos érték.<ref>Lásd Sporer, 8f. oldal, Näherungswerte</ref> Következik, hogy a <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}</math> lánctört ''f''<sub>''n''</sub> közelítő értéke megegyezik a
:<math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{q_{n-1} q_n}</math> sor ''n''-edik részösszegével. Tehát <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}</math> akkor és csak akkor konvergál, ha a sor konvergens.
=== Reguláris lánctörtek ===
Legyen ''b''<sub>''n''</sub>>0 minden ''n''-re. Ekkor a <math>\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}</math> lánctört akkor és csak akkor konvergál, ha a <math>\sum_{i=1}^\infty b_i</math> sor divergál.
=== Konvergenciasebesség ===
Lochs tétele szerint majdnem minden nulla és egy közötti számra hosszú távon egy lépés <math>\tfrac{\pi^2}{6\ln 2\ln 10} \approx 1.03064</math> lánctörtjegyet ad. Ezzel a lánctört nem sokkal hatékonyabb, mint a tizedestört alak.
== Alkalmazások ==
A valós számok közelíthetők lánctörtekkel. Megmutatható, hogy egy irracionális szám legjobb racionális közelítése lánctörtbe fejtéssel, és annak részleges kiértékelésével kapható, és ennél pontosabbat csak a nevező növelésével lehet adni. A hiba a nevező reciprokának négyzetével arányos.

Például a fent említett

:<math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]</math>

lánctört rendre a következő közelítéseket adja:

:<math>3\quad , \quad \frac{22}{7} \approx 3{,}143\quad , \quad \frac{333}{106} \approx 3{,}14151\quad , \quad \frac{355}{113} \approx 3{,}1415929\quad , \quad \frac{103993}{33102} \approx 3{,}1415926530\quad , \quad \ldots</math>

Ezek váltakozva kisebbek és nagyobbak π pontos értékénél, és a hiba egyre kisebb.

Az ''a''<sub>''n''</sub> jegyek nagyságából kiolvasható, hogy milyen jól közelíthető az adott α=[''a''<sub>0</sub>;''a''<sub>1</sub>, ...] szám. Az algebrai számok nem közelíthetők tetszőleges pontossággal. [[Joseph Liouville]] ezt kihasználva adta az első példát transzcendens számra. Ha ''a''<sub>''n''</sub> elég gyorsan nő, akkor α egy jól approximálható Liouville-szám. Jó approximálhatóságuk miatt ezek a számok transzcendensek.

A lánctörtek gyakorlati számításokra nem alkalmasak, mert nincs olyan módszer, amivel két lánctört gyorsan összeadható, kivonható, szorozható, vagy osztható lenne, és nem létezik gyors gyökvonási eljárás sem.

Létezik egy faktorizáló algoritmus, ami a faktorizálandó szám négyzetgyökének lánctörtbe fejtésén alapul. A működés előfeltétele, hogy a faktorizálandó szám ne legyen négyzet.

1834-ben Vincent<ref>Vincent, ''Mémoire sur la résolution des équations numériques''. Mém. Soc. R. des Sc. de Lille (1834), pp. 1-34.</ref> publikált egy módszert, ami egy egész együtthatós négyzetmentes polinom gyökeit lánctörtek segítségével szétválasztja. Minden így kapott intervallumon a polinomnak egy gyöke van, ahova az adott intervallumon a Newton-módszer konvergál.
== Történeti áttekintés ==
Már nagyon régóta ismeretes, hogy a számok közelíthetők lánctörtekkel.
Felhasználják a naptárkészítésben, szökőévek kiszámításában, fontos konstansok közelítésére, és számok irracionális voltának bizonyítására.

Először [[Pietro Cataldi]] 1613 -ban kiadott könyvében jelentek meg lánctörtek, de szó esik róluk [[Daniel Schwenter]] könyvében, a „Deliciae Physic-Mathematicae”ban (1636) is. 1655-től [[John Wallis]] több művében is foglalkozott velük. [[Christiaan Huygens]] nagy törteket és természeti konstansokat közelített velük: így számította ki Naprendszer-modelljéhez a fogaskerekek áttétét.

A [[Szaturnusz]]hoz például

:<math>\frac{77\,708\,491}{2\,640\,858}= 29{,}425471\dots</math>
kellett. Három lánctörtjeggyel a relatív hiba körülbelül 0,01%:

:<math>29 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1}}} = \frac{206}{7} = 29{,}428571\ldots</math>

[[Leonhard Euler]] levelezésében<ref>Leonhard Euler és Chr. Goldbach, levélváltása</ref> először a Riccati-differenciálegyenletekkel kapcsolatban jelentek meg a lánctörtek. Hamarosan azonban már maguk a lánctörtek kezdték érdekelni, és megalapozta a lánctörtek elméletét. Belátta, hogy a számok lánctörtbe fejthetők az euklideszi algoritmus általánosításával; hogy a racionális számok lánctörtes alakja véges; hogy a végtelen periodikus lánctörtek másodfokú racionális együtthatós egyenletek megoldásai; és hogy a lánctörtes közelítés valamilyen értelemben a legjobb. Ezek közül egyeseket már Huygens is ismert, de Euler erről nem tudott.<ref>[[André Weil]]: ''Number Theory.'' Birkhäuser Verlag, Boston Inc., Cambridge 1984</ref>

A lánctörtbe fejtéshez Lord [[William Brouncker]] is kidolgozott egy algoritmust. Euler 1759-ben kimutatta, hogy az új algoritmus valójában megegyezik a régivel. [[Johann Heinrich Lambert]] 1766-ban lánctörtekkel bizonyította π irracionális voltát. [[Bolyai Farkas]] szintén foglalkozott a témával.<ref>[http://www.termeszetvilaga.hu/szamok/kulonszamok/k0301/szabo.html Bolyai Farkas és a lánctörtek]</ref> Mortiz Abraham Stern 1832-ben megalkotta az első összefoglalást a lánctörtekről.<ref>Mortiz Abraham Stern: ''Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung.'' In: ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]].'' 1832</ref>

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Másodfokú egyenletek megoldása lánctörtekkel]]

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
* Peter Henrici: ''Applied and Computational Complex Analysis Volume 2.'' John Wiley & Sons Inc, 1991, {{ISBN|0-471-54289-X}}
* http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
* Oskar Perron: ''Die Lehre von den Kettenbrüchen.'' Leipzig, Berlin 1913
* Oskar Perron: ''Die Lehre von den Kettenbrüchen.'' Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: ''Elementare Kettenbrüche'' (1954), Band 2: ''Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche'' (1957)
* Peter Bundschuh: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' 5. Auflage. Springer, 2002, {{ISBN|3-540-43579-4}}, S. 23–24, 222–241
* Alexander Jakowlewitsch Chintschin: ''Kettenbrüche.'' Teubner, Leipzig 1956
* Benedikt Sporer: ''Niedere Analysis.'' 2 verb. Auflage. Göschensche Verlagshandlung, Berlin und Leipzig 1917
* Ebbinghaus et al.: ''Zahlen.'' 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 1992, Kapitel ''Irrationalität von <math>\pi</math>, Kettenbruchentwicklung derselben.'' {{ISBN|3-540-55654-0}}

== További információk ==
* [https://web.archive.org/web/20081210201934/http://www.ngkszki.hu/~trembe/lanctortek/lanctort.html Lánctörtbe fejtés és konverter]
* [http://www.math.u-szeged.hu/~klukovit/Hallgatoknak/Szamelm/szamelm0708/lan-t.pdf Tételek lánctörtekről]{{Halott link|url=http://www.math.u-szeged.hu/~klukovit/Hallgatoknak/Szamelm/szamelm0708/lan-t.pdf |date=2019-02 }}
* [http://www.termeszetvilaga.hu/szamok/kulonszamok/k0301/szabo.html Bolyai Farkas és a lánctörtek]
* [http://www.termeszetvilaga.hu/tv9709/penrose2.html Lánctörtek a Penrose-csempézésben] {{Wayback|url=http://www.termeszetvilaga.hu/tv9709/penrose2.html |date=20090923155028 }}
* [http://phd.okm.gov.hu/disszertaciok/tezisek/2006/tz_en3124.pdf Lánctörtek felhasználása approximációhoz]{{Halott link|url=http://phd.okm.gov.hu/disszertaciok/tezisek/2006/tz_en3124.pdf |date=2019-02 }}
* [https://web.archive.org/web/20160309131818/http://www.fomi.hu/honlap/magyar/szaklap/1998/12/1998_12_5.htm Egy másik approximációs alkalmazás]

{{DEFAULTSORT:Lanctort}}
[[Kategória:Számelmélet]]
[[Kategória:Numerikus analízis]]