Klikk (gráfelmélet) forrásának megtekintése

[[File:VR complex.svg|thumb|upright=1.35|Egy gráf, melynek van {{pontozott lista
| 23 db 1 csúcsú klikkje (a csúcsok),
| 42 db 2 csúcsú klikkje (az élek),
| 19 db 3 csúcsú klikkje (a világosabb és sötétebb kék háromszögek) és
| 2 db 4 csúcsú klikkje (sötétkék területek).}}
A 11 világoskék háromszög maximális klikkeket alkot. A két sötétkék 4-klikk maximális, egyben maximális elemszámú is, továbbá a gráf klikkszáma is 4.]]
[[File:Complete bipartite graph K3,3.svg|thumb|Egy biklikk: a K3,3 [[teljes páros gráf]].]]
A [[matematika]], azon belül a [[gráfelmélet]] területén a '''klikk''' ''(clique)'' egy [[irányítatlan gráf]] csúcsainak olyan halmaza, melyek [[feszített részgráf]]ja [[teljes gráf|teljes]]; tehát a klikk bármely két csúcsa között van él, bármely két csúcsa szomszédos. A klikk a gráfelmélet alapvető fogalmai közé tartozik, számos matematikai problémában és gráfkonstrukcióban előkerülnek. A klikkeket a [[számítástudomány]] is behatóan tanulmányozta: annak eldöntése, hogy létezik-e egy [[gráf]]ban adott méretű klikk (a [[klikkprobléma]]) [[NP-teljes]]; a probléma nehézsége ellenére számos, klikkek keresésére szolgáló algoritmus létezik.

Bár a [[teljes gráf|teljes részgráfok]] vizsgálata visszanyúlik legalább a [[Ramsey-elmélet]] {{harvtxt|Erdős|Szekeres|1935}} által elvégzett gráfelméleti átfogalmazásáig,<ref>{{harvtxt|Kuratowski|1930}} korábbi, a [[síkgráf]]okat tiltott teljes, illetve [[teljes páros gráf|teljes páros]] részgráfok alapján karakterizáló munkája eredetileg nem gráfelméleti, hanem topológiai megközelítésben íródott.</ref> magát a ''klikk'' kifejezést elsőként {{harvtxt|Luce|Perry|1949}} használta, aki az [[ismeretségi hálózat]]ok teljes részgráfjaival modellezte az emberekből álló [[klikk]]eket; tehát olyan embercsoportokat, akik közül mindenki ismer mindenkit. A klikkek számos más tudományterületen ismertek, különösen a [[bioinformatika|bioinformatikában]].

==Definíciók==
Egy {{nowrap|''G'' {{=}} (''V'', ''E'')}} [[irányítatlan gráf]] ''C'' '''klikkje''' csúcsainak olyan {{nowrap|''C'' ⊆ ''V''}} részhalmaza, melyben bármely két csúcs szomszédos. Ezzel ekvivalens megfogalmazás, hogy a ''G'' gráf ''C'' által [[feszített részgráf]]ja [[teljes gráf]]. Egyes esetekben a klikk kifejezés alatt magát a feszített részgráfot értjük.

A klikk csúcsainak számát a klikk méretének vagy rendjének is mondják. A ''k'' csúcsú klikket röviden ''k''-klikknek is nevezik.

A '''maximális klikk''' ''(maximal clique)'' a gráf olyan klikkje, ami nem terjeszthető ki szomszédos csúcsok hozzáadásával, tehát csúcsai nem képezik egy másik klikk valódi részhalmazát. Egyes szerzők klikk-meghatározása eleve magában foglalja a maximalitás kritériumát, ők a nem maximális teljes részgráfokra más terminológiát alkalmaznak.

A '''maximális elemszámú klikk''' ''(maximum clique)'' a ''G'' gráfnak olyan klikkje, aminél nincsen több csúcsból álló klikk a gráfban.

A ''G'' gráf '''klikkszáma''' a maximális elemszámú klikkjének a mérete; a jele [[Ómega|ω]](''G'').

A ''G'' gráf [[metszetszám (gráfelmélet)|metszetszáma]] ''(intersection number)'' a ''G'' éleit lefedő klikkek lehetséges minimális száma.

A ''G'' gráf '''klikkfedési száma''' ''(clique cover number)'' a ''G'' csúcsait lefedő (nem feltétlenül diszjunkt) klikkek lehetséges minimális száma.

A klikk „ellentéte” a '''[[független csúcshalmaz]]''', abban az értelemben, hogy minden klikk a [[komplementer gráf]] egy független csúcshalmazának felel meg. A [[klikkfedés]]i probléma a gráf csúcsait lefedő minimális számú klikk megkeresése.

Kapcsolódó fogalom a '''bi-klikk''', '''páros klikk''' avagy [[teljes páros gráf|teljes páros részgráf]]. Egy gráf biklikkfedési száma ''(bipartite dimension)'', ''d''(''G'') a gráf éleit lefedő páros klikkek lehetséges minimális száma.

Egy gráf [[klikkgráf]]ja az a gráf, aminek minden pontja megfelel az eredeti gráf egy-egy maximális klikkjének, és két pont akkor van összekötve, ha a megfelelő klikkek metszete nem üres.

==Eredmények ==
A klikkekkel kapcsolatos matematikai eredmények közül néhány:

*Tetszőleges gráfra teljesül, hogy (az ''i''-edik csúcs [[Fokszám (gráfelmélet)|fokszámát]] ''d<sub>i</sub>''-vel jelölve)
:<math>\omega(G) \geq \sum_{i=1}^n \frac{1}{n-d_i}</math>
*A legkisebb olyan ''R'' szám, amire egy ''R'' csúcsú gráfban biztosan van egy ''m'' csúcsú klikk vagy egy ''n'' elemű független ponthalmaz, az <math>R(m,n)</math> [[Ramsey-szám]]. A [[Ramsey-tétel]] kimondja, hogy minden ''m''-re és ''n''-re létezik ilyen szám, de a pontos értékük meghatározása nehéz feladat.
*A klikkszám mindig kisebb vagy egyenlő, mint a [[kromatikus szám]]; azt a gráfot, aminek minden [[feszített részgráf]]jára teljesül, hogy a klikkszáma megegyezik a kromatikus számával, [[perfekt gráf]]nak nevezzük. A legnagyobb olyan ''n'' csúcsú gráf, amiben nincs ''k'' csúcsú klikk, a <math>T_{n,k}</math> [[Turán-gráf]].
*A [[Turán-tétel]] {{harv|Turán|1941}} alsó korlátot ad a [[sűrű gráf]]ok klikkjeinek méretére. Ha egy gráf elegendően sok éllel rendelkezik, tartalmaznia kell egy nagy klikket. Például minden, <math>n</math> csúccsal és több mint <math>\scriptstyle\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\cdot\lceil\frac{n}{2}\rceil</math> éllel rendelkező gráfban kell lennie 3-klikknek.
*A [[Ramsey-tétel]] értelmében {{harv|Graham|Rothschild|Spencer|1990}} bármely gráf vagy a [[komplementer gráf|komplementere]] legalább a csúcsok számának logaritmusa szerinti klikket tartalmaz.
*{{harvtxt|Moon|Moser|1965}} eredménye szerint egy 3''n'' csúcsból álló gráf legfeljebb 3<sup>''n''</sup> maximális klikket tartalmazhat. A korlátot ténylegesen elérő gráfok a ''K''<sub>3,3,...</sub> Moon–Moser-gráfok , a Turán-tétel extremális eseteként fellépő [[Turán-gráf]]ok speciális esetei.
*A [[Hadwiger-sejtés (gráfelmélet)|Hadwiger-sejtés]] a gráf legnagyobb klikk [[gráfminor|minorját]] (a gráf [[Hadwiger-szám]]át) a [[kromatikus szám]]ával hozza kapcsolatba.
*Az [[Erdős–Faber–Lovász-sejtés]] szintén a gráfok színezését hozza kapcsolatba a klikkekkel.

Számos fontos gráfosztály határozható meg vagy karakterizálható klikkjei alapján:
*Egy [[klasztergráf]] vagy P3-mentes gráf olyan gráf, melynek [[összefüggő komponens (gráfelmélet)|összefüggő komponensei]] klikkek.
*Egy [[blokkgráf]] vagy klikkfa olyan gráf, melyben minden [[kétszeresen összefüggő komponens]] klikk.
*Egy [[húrgráf]] olyan gráf, melynek csúcsaira létezik olyan rendezés, hogy bármely ''v'' csúcs [[környezet (gráfelmélet)|környezetében]] lévő csúcsok közül a rendezésben utána következő csúcsok klikket alkotnak (bármely feszített részgráf tartalmaz szimpliciális csúcsot).
*Egy [[kográf]] olyan gráf, melynek feszített részgráfjaiban bármely maximális klikk bármely [[maximális független csúcshalmaz]]t egyetlen csúcsban metsz.
*Egy [[intervallumgráf]] olyan gráf, melynek maximális klikkjeire létezik olyan rendezés, hogy bármely ''v'' csúcsra a ''v''-t tartalmazó klikkek egymás után következnek a rendezésben.
*Egy [[élgráf]] olyan gráf, melyben lehetséges klikkek olyan éldiszjunkt gyűjteményét azonosítani (megengedve, hogy egyes klikkek egyetlen csúcsból álljanak), melyek a gráf éleit úgy particionálják, hogy a gráf minden csúcsa pontosan két klikkbe tartozzon.
*Egy [[perfekt gráf]] olyan gráf, melynek minden [[feszített részgráf]]jában a [[kromatikus szám]] a klikkszámmal megegyezik.
*Egy [[split gráf]] olyan gráf, melynek csúcsai egy klikkbe és egy független csúcshalmazba oszthatók szét.
*Egy [[háromszögmentes gráf]]ban a csúcsokon és éleken kívül nincsen több klikk.

A fentieken túl számos más matematikai konstrukciónak van köze a klikkekhez. Néhány közülük:
*A ''G'' gráf [[klikk-komplexus|klikk-komplexum]]a egy ''X''(''G'') [[absztrakt szimpliciális komplexus|absztrakt]] [[szimpliciális komplexus|szimpliciális komplexum]], mely ''G'' minden klikkjéhez egy [[szimplex]]et tartalmaz.
*A ''G'' gráfhoz tartozó irányítatlan κ(''G'') [[szimplexgráf]] egy csúcsot tartalmaz ''G'' minden klikkjéhez és minden olyan klikk között húzódik él, melyek egyetlen csúcsban különböznek. A [[mediángráf]]ok közé tartozik, és kapcsolódik a gráf klikkjeinek [[medián algebra|medián algebrájához]]: az ''A'', ''B'', és ''C'' klikken értelmezett ''m''(''A'',''B'',''C'') medián egy olyan klikk, melynek csúcsai az ''A'', ''B'' és ''C'' klikkek közül legalább kettőbe beletartoznak.<ref>{{harvtxt|Barthélemy|Leclerc|Monjardet|1986}}, page 200.</ref>
*A [[klikk-összeg művelet]] segítségével két gráf egy közös klikk mentén összefűzhető.
*A [[klikkszélesség]] egy gráf bonyolultságát fejezi ki annak fényében, hogy legalább hány különbözően címkézett csúcsra van szükség ahhoz, hogy a gráfot felépítsük a diszjunkt unió, átcímkézés és az adott címkéjű csúcspárok összekötésének művelete segítségével. Az 1 klikkszélességű gráfok éppen a diszjunkt klikkekből felépített gráfok ([[klasztergráf]]ok).
*Egy gráf [[metszetszám (gráfelmélet)|metszetszáma]] éleit lefedő klikkek lehetséges minimális száma.
*Egy gráf [[klikkgráf]]ja a maximális klikkjei [[metszetgráf]]jának felel meg.

A teljes részgráfokkal közeli kapcsolatban álló fogalmak a teljes gráfok [[topologikus izomorfia|topologikusan izomorf]] felosztásai és a teljes [[gráfminor]]ok. A [[Kuratowski-tétel]] és a [[Wagner-tétel]] a [[síkgráf]]okat tiltott teljes, illetve [[teljes páros gráf|teljes páros]] felosztásaik és minoraik alapján karakterizálja.

==Számítástudomány==
{{Fő|Klikkprobléma}}
A [[számítástudomány]]ban a [[klikkprobléma]] adott gráf maximális elemszámú klikkjének, illetve összes klikkjének megkeresése. [[NP-teljes]], szerepel [[Karp 21 NP-teljes problémája]] között. Egyben [[parametrizált komplexitás|rögzített paraméter mellett kezelhető]] és nehezen approximálható probléma. A klikkek keresésére kifejlesztett legjobb algoritmusok vagy [[exponenciális idő]]ben futnak (mint a [[Bron–Kerbosch-algoritmus]]) vagy valamely gráfosztályra vannak specializálva (pl. [[síkgráf]]ok vagy [[perfekt gráf]]ok), melyekre a probléma [[polinom idő]]ben megoldható.

==Alkalmazásai==
Maga a „klikk” kifejezés és gráfelméleti használata {{harvtxt|Luce|Perry|1949}} munkásságából ered, aki az [[ismeretségi hálózat]]ok teljes részgráfjaival modellezte az emberekből álló [[klikk]]eket; tehát olyan embercsoportokat, akik közül mindenki ismer mindenkit. Az ismeretségi hálózatok gráfelméleti vizsgálatának további fejleményeihez lásd pl. {{harvtxt|Alba|1973}}, {{harvtxt|Peay|1974}} és {{harvtxt|Doreian|Woodard|1994}}.

A [[bioinformatika]] számos különböző problémáját modellezték klikkek segítségével. Például {{harvtxt|Ben-Dor|Shamir|Yakhini|1999}} a [[génkifejeződés]]i adatok klaszterezésének problémáját úgy modellezi, mint egy gráf diszjunkt klikkek uniójává való átalakításához szükséges lépések minimális számát; {{harvtxt|Tanay|Sharan|Shamir|2002}} egy hasonló [[biklaszterezés]]i problémát tárgyal, mely megköveteli, hogy minden klaszter egyben klikk legyen. {{harvtxt|Sugihara|1984}} a klikkek segítségével modellezi a [[tápláléklánc]]ok [[niche]]-eit. {{harvtxt|Day|Sankoff|1986}} [[filogenetikai fa|filogenetikai fák]] (evolúciós leszármazási vonalak) kikövetkeztetésének problémáját úgy írja le, mint egy olyan gráf maximális elemszámú klikkjeinek megkeresését, melyben a csúcsok a fajok tulajdonságait jelentik, és két csúcs akkor szomszédos, ha a két tulajdonság tökéletesen (homoplázia nélküli törzsfejlődési vonallal) összeköthető. {{harvtxt|Samudrala|Moult|1998}} a [[fehérjeszerkezet-előrejelzés]]t úgy modellezik, mint klikkek keresését egy olyan gráfban, melynek csúcsai a fehérjék alegységeinek elhelyezkedéseinek felelnek meg. És a [[fehérjék közötti kölcsönhatás]]ok hálózatában klikkek keresésével {{harvtxt|Spirin|Mirny|2003}} fehérjék olyan klaszterét találta meg, melyek egymással szorosan kölcsönhatnak, de a klaszteren kívül kevés fehérjével lépnek kölcsönhatásba. A [[power graph analysis]] nevű módszer egyszerűsíti a komplex biológiai hálózatokat azzal, hogy a klikkeket és hasonló struktúrákat tekinti a hálózat alapvető építőelemeinek.

A [[villamosmérnök]]i szakmában {{harvtxt|Prihar|1956}} a klikkek segítségével analizált távközlési hálózatokat, {{harvtxt|Paull|Unger|1959}} pedig részlegesen specifikált Boole-függvények számításával hatékony áramkörök tervezésére használta őket. Klikkeket alkalmaztak automatikus tesztmintázat-előállításra is: a lehetséges hibák ún. inkompatibilitási gráfjában lévő nagy klikk alsó korlátot ad a teszthalmaz méretére.<ref>{{harvtxt|Hamzaoglu|Patel|1998}}.</ref> {{harvtxt|Cong|Smith|1993}} leírja a klikkek egy alkalmazási területét egy elektronikus áramkör kisebb alegységekre való hierarchikus particionálásában.

A [[kémia|kémiában]] {{harvtxt|Rhodes|Willett|Calvet|Dunbar|2003}} egy [[kémiai adatbázis]]ban klikkekkel jellemez olyan vegyi anyagokat, melyek a célul kitűzött térszerkezettel nagyfokú hasonlóságot mutatnak. {{harvtxt|Kuhl|Crippen|Friesen|1983}} klikkekkel modellezi két vegyi anyag egymással való kötőhelyeit.

==Fordítás==
* {{fordítás|en|Clique (graph_theory)|oldid=767616124|n=a|4=angol}}

==Jegyzetek==
{{reflist}}

{{refbegin|2}}
*{{citation |doi=10.1080/0022250X.1973.9989826 |first=Richard D. |last=Alba |title=A graph-theoretic definition of a sociometric clique |journal=Journal of Mathematical Sociology |year=1973 |volume=3 |issue=1 |pages=113–126 |url=http://aris.ss.uci.edu/~lin/1.pdf }} {{Wayback|url=http://aris.ss.uci.edu/~lin/1.pdf |date=20110503220546 }}.
*{{citation | last1 = Barthélemy | first1 = J.-P. | last2 = Leclerc | first2 = B. | last3 = Monjardet | first3 = B. | issue = 2 | journal = Journal of Classification | pages = 187–224 | title = On the use of ordered sets in problems of comparison and consensus of classifications | doi = 10.1007/BF01894188 | volume = 3 | year = 1986}}.
*{{citation |first1=Amir |last1=Ben-Dor |first2=Ron |last2=Shamir |first3=Zohar |last3=Yakhini |journal=Journal of Computational Biology |year=1999 |volume=6 |issue=3–4 |pages=281–297 |doi=10.1089/106652799318274 |pmid=10582567 |title=Clustering gene expression patterns.}}.
*{{citation |last1=Cong |first1=J. |last2=Smith |first2=M. |contribution=A parallel bottom-up clustering algorithm with applications to circuit partitioning in VLSI design |title=Proc. 30th International Design Automation Conference |year=1993 |pages=755–760 |doi=10.1145/157485.165119}}.
*{{citation |title=Computational complexity of inferring phylogenies by compatibility |first1=William H. E. |last1=Day |first2=David |last2=Sankoff |journal=Systematic Zoology |volume=35 |issue=2 |year=1986 |pages=224–229 |doi=10.2307/2413432 |jstor=2413432}}.
*{{citation |title=Defining and locating cores and boundaries of social networks |first1=Patrick |last1=Doreian |first2=Katherine L. |last2=Woodard |journal=Social Networks |volume=16 |issue=4 |year=1994 |pages=267–293 |doi=10.1016/0378-8733(94)90013-2}}.
*{{citation |first1=Paul |last1=Erdős |author1-link=Erdős Pál |first2=George |last2=Szekeres |author2-link=Szekeres György (matematikus) |title=A combinatorial problem in geometry |journal=Compositio Mathematica |volume=2 |year=1935 |pages=463–470 |url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1935-01.pdf}}.
*{{citation
 | last1 = Graham | first1 = R. | author1-link = Ronald Graham
 | last2 = Rothschild | first2 = B.
 | last3 = Spencer | first3 = J. H. | author3-link = Joel Spencer
 | location = New York
 | publisher = John Wiley and Sons
 | title = Ramsey Theory
 | year = 1990
 | isbn = 0-471-50046-1}}.
*{{citation |last1=Hamzaoglu |first1=I. |last2=Patel |first2=J. H. |contribution=Test set compaction algorithms for combinational circuits |title=Proc. 1998 IEEE/ACM International Conference on Computer-Aided Design |year=1998 |pages=283–289 |doi=10.1145/288548.288615}}.
*{{citation | last = Karp | first = Richard M. | authorlink = Richard M. Karp | url = http://www.cs.berkeley.edu/~luca/cs172/karp.pdf | contribution = Reducibility among combinatorial problems | title = Complexity of Computer Computations | editor1-first = R. E. | editor1-last = Miller | editor2-first = J. W. | editor2-last = Thatcher | publisher = New York: Plenum | pages = 85–103 | year = 1972 | accessdate = 2017-03-03 | archívurl = https://web.archive.org/web/20110629023717/http://www.cs.berkeley.edu/~luca/cs172/karp.pdf | archívdátum = 2011-06-29 }} {{Wayback|url=http://www.cs.berkeley.edu/~luca/cs172/karp.pdf |date=20110629023717 }}.
*{{citation |first1=F. S. |last1=Kuhl |first2=G. M. |last2=Crippen |first3=D. K. |last3=Friesen |year=1983 |title=A combinatorial algorithm for calculating ligand binding |journal=Journal of Computational Chemistry |doi=10.1002/jcc.540050105 |volume=5 |issue=1 |pages=24–34}}.
*{{citation |first=Kazimierz |last=Kuratowski |authorlink=Kazimierz Kuratowski |language=French |title=Sur le probléme des courbes gauches en Topologie |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=15 |year=1930 |pages=271–283 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15126.pdf}}.
*{{citation
 | last1 = Luce | first1 = R. Duncan | author1-link = R. Duncan Luce
 | last2 = Perry | first2 = Albert D.
 | title = A method of matrix analysis of group structure
 | journal = Psychometrika | volume = 14 | issue = 2 | year = 1949
 | pages = 95–116 | doi = 10.1007/BF02289146
 | pmid = 18152948}}.
*{{citation
 | last1 = Moon | first1 = J. W. | author2-link = Leo Moser | last2 = Moser | first2 = L.
 | title = On cliques in graphs
 | journal = Israel J. Math.
 | volume = 3
 | year = 1965
 | pages = 23–28
 | mr = 0182577
 | doi = 10.1007/BF02760024}}.
*{{citation |first1=M. C. |last1=Paull |first2=S. H. |last2=Unger |title=Minimizing the number of states in incompletely specified sequential switching functions |journal=IRE Trans. on Electronic Computers |volume=EC-8 |issue=3 |year=1959 |pages=356–367 |doi=10.1109/TEC.1959.5222697}}.
*{{citation |title=Hierarchical clique structures |first=Edmund R. |last=Peay |journal=Sociometry |volume=37 |issue=1 |year=1974 |pages=54–65 |doi=10.2307/2786466 |jstor=2786466}}.
*{{citation |last=Prihar |first=Z. |title=Topological properties of telecommunications networks |journal=[[Proceedings of the IRE]] |volume=44 |issue=7 |year=1956 |pages=927–933 |doi=10.1109/JRPROC.1956.275149}}.
*{{citation |first1=Nicholas |last1=Rhodes |first2=Peter |last2=Willett |first3=Alain |last3=Calvet |first4=James B. |last4=Dunbar |first5=Christine |last5=Humblet |journal=Journal of Chemical Information and Computer Sciences |volume=43 |issue=2 |pages=443–448 |year=2003 |doi=10.1021/ci025605o |pmid=12653507 |title=CLIP: similarity searching of 3D databases using clique detection}}.
*{{citation |first1=Ram |last1=Samudrala |first2=John |last2=Moult |title=A graph-theoretic algorithm for comparative modeling of protein structure |journal=Journal of Molecular Biology |volume=279 |issue=1 |year=1998 |pages=287–302 |doi=10.1006/jmbi.1998.1689 |pmid=9636717}}.
*{{citation |first1=Victor |last1=Spirin |first2=Leonid A. |last2=Mirny |title=Protein complexes and functional modules in molecular networks |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] |volume=100 |issue=21 |pages=12123–12128 |doi=10.1073/pnas.2032324100 |year=2003 |pmid=14517352 |pmc=218723}}.
*{{citation |first=George |last=Sugihara |contribution=Graph theory, homology and food webs |year=1984 |pages=83–101 |series=Proc. Symp. Appl. Math. |volume=30 |title=Population Biology |editor-last=Levin |editor-first=Simon A.}}.
*{{citation |first1=Amos |last1=Tanay |first2=Roded |last2=Sharan |first3=Ron |last3=Shamir |title=Discovering statistically significant biclusters in gene expression data |journal=Bioinformatics |volume=18 |issue=Suppl. 1 |year=2002 |pages=S136–S144 |pmid=12169541 |doi=10.1093/bioinformatics/18.suppl_1.S136}}.
*{{citation
 | last = Turán
 | first = Paul | authorlink = Turán Pál
 | year = 1941
 | title = On an extremal problem in graph theory
 | journal = Matematikai és Fizikai Lapok
 | volume = 48
 | pages = 436–452
 | language = Hungarian
 }}
{{refend}}

==További információk==
*{{MathWorld|title=Clique|urlname=Clique}}
*{{MathWorld|title=Clique Number|urlname=CliqueNumber}}

[[Kategória:Gráfelméleti objektumok]]