Ikozaéder forrásának megtekintése

[[Fájl:Icosahedron.svg|bélyegkép|jobbra|256px|Szabályos ikozaéder]]

Az '''ikozaéder''' ([[ógörög]]: ''εἰκοσάεδρον'', ''eikosáedron''; ''eikoszi'' = húsz, ''hedron'' = ülés) olyan [[poliéder]], melynek húsz lapja van.

Az „ikozaéder” szó alatt gyakran a '''szabályos ikozaédert''' értik, mely az öt platóni vagy [[szabályos test]] egyike. [[Konvex]], szabályos poliéder, melyet húsz háromszöglap alkot – ezekből a csúcsokon öt-öt találkozik. Tizenkettő csúcsa és harminc éle van. [[Duális poliéder]]e a [[dodekaéder]].

==Szimmetriái==
[[Fájl:Dualitaet Ikosaeder Dodekaeder.png|thumb|right|200px|Ikozaéder (zölddel) és duális teste, a pentagondodekaéder (sárgával)]]
Mivel minden csúcsa, éle és lapja szimmetriával átvihető egymásba, ezért a platóni szabályos testek egyike. Szimmetriái:
*Hat ötfogású forgástengely (a szemben levő csúcsain át)
*Tíz háromfogású szimmetriatengely (a szemben fekvő lapjainak középpontján át)
*Tizenöt kétfogású szimmetriatengely (a szemben levő éleinek felezőpontjain át)
*Tizenöt szimmetriasíkja (a szemben levő éleinek közös felezőmerőlegese)
*Középpontosan szimmetrikus a középpontjára

Szimmetriacsoportja duális teste, a dodekaéder nevén ismert [[dodekaédercsoport]], 120 elemmel. Ebben a forgatások 60 elemű részcsoportot alkotnak, ami a legkisebb nem [[Abel-csoport|Abel]] [[egyszerű csoport]], és a legnagyobb nem Abel [[normálosztó]] az összes szimmetria csoportjában. Az ikozaéder szimmetria[[csoport (matematika)|csoport]]ja izomorf az ötelemű halmazok páros permutációinak csoportjával. Ez a nem [[kommutativitás|kommutatív]] csoport egyszerű, és az egyetlen nem triviális [[normálosztó]] az ötelemű halmaz permutációinak csoportjában (azaz az ötödfokú szimmetrikus csoportban). Mivel az általános [[ötödfokú egyenlet]] [[Galois-csoport]]ja izomorf az ötödfokú szimmetrikus csoportjával, ezért az általános ötödfokú egyenlet nem oldható meg gyökjelekkel. Az [[Alternáló csoport|Abel–Ruffini-tétel]] bizonyítása ezt az egyszerű tényt használja, és [[Felix Christian Klein]] könyvet írt, amiben az ikozaéder szimmetriáinak elméletét használta, hogy analitikus megoldást adjon az ötödfokú egyenletre. A könyv 1884-ben jelent meg ''Vorlesungen über das Ikoksaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade'' (Előadások az ikozaéderről és az ötödfokú egyenletek megoldásáról) címmel.<ref>{{CitLib |aut=Felix Klein |tit=Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade |red=Teubner, |loc= Lipcse|lan=de |ann=1884 |url=http://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft |accd=2022-10-14}}</ref>

Mivel szimmetriáiban szerepel az ötös szám, ezért ez a csoport összeegyeztethetetlen a hézagmentes térkitöltéssel, így nincs ilyen szimmetriájú kristályrács. A [[kvázikristály]]okban azonban előfordulnak ikozaéder alakú cellák.

Az ikozaéder háromféleképpen színezhető uniform színezéssel. Ezek az 11213, 11212, 11111 számokkal reprezentálhatók, ahol a számok azt jelölik, hogy az egy csúcs körüli lapok milyen színűek lesznek.

Az ikozaéder a tetraéder snubjaként is előáll.<!-- Mi a snub konstrukció magyarul?--> Az így keletkezett ikozaéder mutatja az ikozaéder királis tetraéderes szimmetriáját. Oktaéderből alternált csonkolással is konstruálható, ez pyritoéderes szimmetriát mutat. A pyritoéderes szimmetriája egy nem szabályos ikozaédertípusnak is megvan, amit pszeudoikozaédernek neveznek, és aminek 8 szabályos és 12 egyenlő szárú lapja van. Duális teste a pyritoéder.
{| class=wikitable
|- align=center
!Név
|Szabályos ikozaéder
|Snub oktaéder
|Snub tetratetraéder
|Ötszög alapú<br>csavart bipiramis
|- align=center
![[Schläfli-szimbólum]]
|{3,5}
|s{3,4}
|sr{3,3}
|- align=center
![[Wythoff-szimbólum]]
| 5 &#124; 3 2
|
| &#124; 3 3 2
|- align=center
!Szimmetria
|I<sub>h</sub><br>[5,3]<br>(*532)
|T<sub>h</sub><br>[3<sup>+</sup>,4]<br>(3*2)
|T<br>[3,3]<sup>+</sup><br>(332)
|D<sub>5d</sub><br>[2<sup>+</sup>,10]<br>(2*5)
|- align=center
!Szimmetriarend
|60
|24
|12
|10
|- align=center
![[Uniform színezés]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t2.png|100px]]<br>(11111)
|[[Image:Uniform polyhedron-43-h01.svg|100px]]<br>(11212)
|[[Image:Uniform polyhedron-33-s012.png|100px]]<br>(11213)
|valign=top|[[Image:Pentagonal gyroelongated bipyramid.png|100px]]<br>(11122)&(22222)
|}

== Méretek ==
[[Fájl:Icosahedron flat.svg|bélyegkép|jobbra|150px|Az ikozaéder hálója]]
Ha egy szabályos ikozaéder élhossza <math>a</math>, a köré rajzolt gömb sugara (amely az ikozaéder minden csúcsát érinti):

: <math>r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\tau \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0,9510565163 \cdot a </math>

és a beírt gömb sugara pedig (amely az ikozaéder minden lapját érinti)

: <math>r_i = \frac{\tau^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0,7557613141\cdot a </math>

a középsugár (midradius), amely minden él közepét érinti

: <math> r_m = \frac{a \tau}{2} = \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) a \approx 0,80901699\cdot a </math>
ahol <math> \tau </math> (vagy φ) az [[aranymetszés]].

== Felszín és térfogat ==
Az ''a'' élhosszú szabályos ikozaéder felszíne (''A'') és térfogata (''V'') az alábbiak szerint számolható:

:<math>A = 5\sqrt{3}a^2 \approx 8,66025404a^2</math>
:<math>V = \frac{5}{12} (3+\sqrt5)a^3 \approx 2,18169499a^3</math>

== Koordináták ==
[[Image:Pentagonal gyroelongated bipyramid.png|jobbra|240px|Az ikozaéder mint csavart nyújtott bipiramis]]

Az [[origó (metszéspont)|origó központ]]ú, 2 élhosszúságú ikozaéder csúcsait az alábbi [[Koordináta-rendszer|Descartes-koordináták]] határozzák meg:
: <math>(0, \pm 1, \pm\phi)</math>
: <math>(\pm 1, \pm\phi, 0)</math>
: <math>(\pm\phi, 0, \pm 1)</math>,
ahol
<math>\scriptstyle\phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618</math> az [[aranymetszés]] arányszáma (fi-szám).

Az egységnyi élű ikozaéder lapközéppontjait összekötve kapott dodekaéder élhossza
<math>\scriptstyle\tfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0,618</math>,
ami az arany arány reciproka.

Az ikozaéder csúcsai gömbi koordinátákkal, szélességgel és hosszúsággal is megadhatók. Ha az északi és a déli sark az ikozaéder két csúcsa, akkor a többi tíz csúcs szélessége <math>\scriptstyle \pm \arctan\tfrac{1}{2} \approx \pm 26,57^{\circ}</math>. Hosszúságok szerint egyenletesen oszlanak el, 36 fokonként.

Ez azt mutatja, hogy az ikozaéder ötszög alapú csavart nyújtott bipiramis D<sub>5d</sub> diéderszimmetriával, azaz két szabályos ötszög alapú [[gúla]] összekapcsolva egy ötszög alapú [[antiprizma|antiprizmával]].

== Mértani arányok ==
Az ikozaéder egyedülálló a szabályos testek közül abban, hogy lapszöge nagyobb 120°-nál: ez az érték körülbelül 138,19°.

A szabályos hatszögek nem lehetnek egy szabályos poliéder lapjai, mert szögei 120°-osak, és nem fér el teljesszögnél kisebb szögben három 120°-os szög. Hasonlóan, az ikozaéder nem lehet egy négydimenziós szabályos test lapja, mert lapszöge nagyobb 120°-nál, és magasabb dimenzióban is minden csúcsban legalább három lapnak kell találkoznia.

Kisebb lapszögű szabályos testekkel együtt határolhat félig szabályos testeket. Ebben is hasonlít a hatszöghöz, ami szintén lehet félig szabályos test lapja. Végül határolhat négydimenziós konkáv szabályos testeket.

=== Ikozaéder kontra dodekaéder ===
[[Kép:Leonardo Ycocedron Abscisus.jpg|bélyegkép|[[Leonardo da Vinci]] ''Ycocedron Abscisus Vacuus'' nevű csonkított ikozaédere]]
Ha egy ikozaédert rajzolunk egy gömb belsejébe, az a gömb térfogatának kisebb részét (60,54%) foglalja el, mint egy ugyanabba a gömbbe írt [[dodekaéder]] (66,49%).

Az ikozaéder csonkítási sora:

{| class="wikitable"
|- align="center"
!Kép
|[[Fájl:Uniform polyhedron-53-t2.png|100px]]<br> '''Ikozaéder'''
|[[Fájl:Uniform polyhedron-53-t12.png|100px]]<br> '''Csonkított ikozaéder'''
|[[Fájl:Uniform polyhedron-53-t1.png|100px]]<br> '''Ikozidodekaéder'''
|[[Fájl:Uniform polyhedron-53-t01.png|100px]]<br> '''Csonkított dodekaéder'''
|[[Fájl:Uniform polyhedron-53-t0.png|100px]]<br> [[Dodekaéder]]
|- align="center"
![[Coxeter-Dynkin diagram]]
|[[Fájl:CDW dot.png]][[Fájl:CDW 5.png]][[Fájl:CDW dot.png]][[Fájl:CDW 3.png]][[Fájl:CDW ring.png]]
|[[Fájl:CDW dot.png]][[Fájl:CDW 5.png]][[Fájl:CDW ring.png]][[Fájl:CDW 3.png]][[Fájl:CDW ring.png]]
|[[Fájl:CDW dot.png]][[Fájl:CDW 5.png]][[Fájl:CDW ring.png]][[Fájl:CDW 3.png]][[Fájl:CDW dot.png]]
|[[Fájl:CDW ring.png]][[Fájl:CDW 5.png]][[Fájl:CDW ring.png]][[Fájl:CDW 3.png]][[Fájl:CDW dot.png]]
|[[Fájl:CDW ring.png]][[Fájl:CDW 5.png]][[Fájl:CDW dot.png]][[Fájl:CDW 3.png]][[Fájl:CDW dot.png]]
|}

Az ikozaéder és a dodekaéder segítségével további testek is alkothatók, amelyeknek ugyanazok a szimmetriáik, mint ezeknek a testeknek:
*A [[rombotriakontaéder]]nek 20 + 12 = 32 éle és 30 rombusz lapja van. Megkapható alkalmas méretű, közös középpontú ikozaéder és dodekaéder uniójának konvex burkaként.
*Az [[ikozaédercsillag]] az ikozaéder éleinek meghosszabbításából keletkező konkáv test.

{| class="wikitable"
|+ Az uniform ikozaéderes poliéderek családja
|- align=center
!colspan=7| Szimmetria: [5,3], (*532)
![5,3]<sup>+</sup>, (532)
|- align=center
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t0.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t01.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t1.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t12.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t2.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t02.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t012.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-s012.png|50px]]
|- align=center
|[[Dodekaéder|{5,3}]]
|[[Csonkított dodekaéder|t{5,3}]]
|[[Ikozidodekaéder|r{5,3}]]
|[[Csonkított ikozaéder|2t{5,3}=t{3,5}]]
|2r{5,3}={3,5}
|[[Rombikozidodekaéder|rr{5,3}]]
|[[Csonkított ikozidodekaéder|tr{5,3}]]
|[[Snub dodekaéder|sr{5,3}]]

|- align=center
!colspan=8|Duális testek
|- align=center
|[[Fájl:Icosahedron.svg|50px]]
|[[Fájl:Triakisicosahedron.jpg|50px]]
|[[Fájl:Rhombictriacontahedron.svg|50px]]
|[[Fájl:Pentakisdodecahedron.jpg|50px]]
|[[Fájl:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px]]
|[[Fájl:Deltoidalhexecontahedron.jpg|50px]]
|[[Fájl:Disdyakistriacontahedron.jpg|50px]]
|[[Fájl:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|50px]]
|- align=center
|V5.5.5
|[[Triakisz ikozaéder|V3.10.10]]
|[[Rombikus triakontaéder|V3.5.3.5]]
|[[Pentakisz dodekaédr|V5.6.6]]
|[[Dodekaéder|V3.3.3.3.3]]
|[[Deltoid hexekontaéder|V3.4.5.4]]
|[[Disdiakisz triakontaéder|V4.6.10]]
|[[Pentagonális hexekontaéder|V3.3.3.3.5]]

|}

===Kapcsolatai más testekkel===
[[Fájl:Icosahedron-golden-rectangles.svg|bélyegkép|jobbra|Aranytéglalapok egy ikozaéderben]]
Az [[oktaéder]] 12 élét fel lehet osztani az aranymetszés szerint úgy, hogy az eredményül kapott csúcsok szabályos ikozaédert adjanak. Ezt úgy tehetjük, hogy [[vektor]]okat helyezünk az oktaéder éleire úgy, hogy minden lapot egy [[kör (geometria)|kör]] határol és ehhez hasonlóan minden élt az aranymetszés szerint felosztunk a vektor iránya mentén. Egy adott ikozaédert meghatározó öt oktaéder mindig szabályos összetett [[poliéder]]t alkot.

Az ikozaéder élei közül kiválasztható három szemben fekvő élpár, hogy ezek három, egymásra páronként merőleges téglalapot feszítsenek ki, amely téglalapok oldalainak aránya éppen az aranymetszés, mivel az oldalak és az átlók szabályos ötszögeket alkotnak. Az ikozaéder így beírható egy kockába úgy, hogy ez a hat él a kocka hat oldalán feküdjön, és a kocka éleivel párhuzamos legyen.

A maradék 24 él 8 szabályos háromszöget határol, amelyek egy, az ikozaéder köré írt oktaéder lapjain fekszenek. Az ikozaéder csúcsai az oktaéder élein vannak.

Összesen öt ilyen helyzet van, amiben az ikozaéder minden éle élpárok egy ilyen halmazához tartozik, míg minden lap kétszer kerül egy köréírt oktaéder egy lapjára. Így hat az ikozaéder szimmetriacsoportja az öt helyzet 5!/2 = 60 páros permutációjára.

Az ikozaéder élei 12 szabályos ötszöget határoznak meg, minden él kettő és minden csúcs öt ilyen ötszöghöz tartozik. Ez a tulajdonság drótmodell építéséhez is használható.

Snub tetraéderként szintén megjelenik a tetraéderes és az oktaéderes szimmetriájú poliéderek családjában:

{| class="wikitable"
|+ Az uniform tetraéderes poliéderek családja
|- align=center
!colspan=7|Szimmetria: tetraéderes [3,3], (*332)
![3,3]<sup>+</sup>, (332)
|- align=center
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t0.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t01.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t1.svg|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t02.svg|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-s012.png|50px]]
|- align=center
|[[Tetraéder|{3,3}]]
|[[Csonkított tetraéder|t{3,3}]]
|[[Oktaéder|r{3,3}]]
|[[Csonkított tetraéder|t{3,3}]]
|[[Tetraéder|{3,3}]]
|[[Kuboktaéder|rr{3,3}]]
|[[Csonkított oktaéder|tr{3,3}]]
|[[pszeudoikozaéder|sr{3,3}]]
|-
!colspan=8|Duális testek
|- align=center
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px]]
|[[Image:Triakistetrahedron.jpg|50px]]
|[[Image:Hexahedron.svg|50px]]
|[[Image:Triakistetrahedron.jpg|50px]]
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px]]
|[[Image:Rhombicdodecahedron.jpg|50px]]
|[[Image:Tetrakishexahedron.jpg|50px]]
|[[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px]]
|- align=center
|[[Tetraéder|V3.3.3]]
|[[Triakisz tetraéder|V3.6.6]]
|[[Kocka|V3.3.3.3]]
|[[Triakisz tetraéder|V3.6.6]]
|[[Tetraéder|V3.3.3]]
|[[Rombikus dodekaéder|V3.4.3.4]]
|[[Tetrakisz hexaéder|V4.6.6]]
|[[pyritoéder|V3.3.3.3.3]]
|}

{| class="wikitable"
|+ Uniform oktaéderes poliéderek
|- align=center
!colspan=7|Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432)
![4,3]<sup>+</sup><BR>(432)
!colspan=2|[1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3]<BR>(*332)
![3<sup>+</sup>,4]<BR>(3*2)

|- align=center valign=top
|[[Kocka|{4,3}]]
|[[Csonkított kocka|t{4,3}]]
|[[kuboktaéder|r{4,3}]]<BR>r{3<sup>1,1</sup>}
|[[Csonkított oktaéder|t{3,4}]]<BR>t{3<sup>1,1</sup>}
|[[Oktaéder|{3,4}]]<BR>{3<sup>1,1</sup>}
|[[Rombikuboktaéder|rr{4,3}]]<BR>s<sub>2</sub>{3,4}
|[[Csonkított kuboktaéder|tr{4,3}]]
|[[Snub kocka|sr{4,3}]]
|[[Tetraéder|h{4,3}]]<BR>{3,3}
|[[Csonkított tetraéder|h<sub>2</sub>{4,3}]]<BR>t{3,3}
|[[Pszeudoikozaéder|s{4,3}]]<BR>s{3<sup>1,1</sup>}
|- align=center valign=top
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t0.svg|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t01.svg|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t1.svg|40px]]<BR>[[Fájl:Uniform polyhedron-33-t02.svg|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t12.svg|40px]]<BR>[[Fájl:Uniform polyhedron-33-t012.png|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t2.svg|40px]]<BR>[[Fájl:Uniform polyhedron-33-t1.svg|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t02.png|40px]]<BR>[[Fájl:Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-t012.png|40px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-s012.png|40px]]
|valign=bottom|[[Fájl:Uniform polyhedron-33-t0.png|30px]][[Fájl:Uniform polyhedron-33-t2.png|30px]]
|valign=bottom|[[Fájl:Uniform polyhedron-33-t01.png|30px]][[Fájl:Uniform polyhedron-33-t12.png|30px]]
|[[Fájl:Uniform polyhedron-43-h01.svg|40px]]<BR>[[Fájl:Uniform polyhedron-33-s012.png|40px]]
|- align=center
!colspan=11|Az uniform poliéderek duálisai
|- align=center
|[[Oktaéder|V4<sup>3</sup>]]
|[[Triakisz oktaéder|V3.8<sup>2</sup>]]
|[[Rombododekaéder|V(3.4)<sup>2</sup>]]
|[[Tetrakisz hexaéder|V4.6<sup>2</sup>]]
|[[Kocka|V3<sup>4</sup>]]
|[[Deltoid ikozitetraéder|V3.4<sup>3</sup>]]
|[[Disdiakisz dodekaéder|V4.6.8]]
|[[Pentagonális ikozitetraéder|V3<sup>4</sup>.4]]
|[[Tetraéder|V3<sup>3</sup>]]
|[[Triakisz tetraéder|V3.6<sup>2</sup>]]
|[[Pyritoéder|V3<sup>5</sup>]]
|- align=center
|[[Fájl:Octahedron.svg|40px]]
|[[Fájl:Triakisoctahedron.jpg|40px]]
|[[Fájl:Rhombicdodecahedron.jpg|40px]]
|[[Fájl:Tetrakishexahedron.jpg|40px]]
|[[Fájl:hexahedron.svg|40px]]
|[[Fájl:Deltoidalicositetrahedron.jpg|40px]]
|[[Fájl:Disdyakisdodecahedron.jpg|40px]]
|[[Fájl:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|40px]]
|[[Fájl:Tetrahedron.svg|40px]]
|[[Fájl:Triakistetrahedron.jpg|40px]]
|[[Fájl:POV-Ray-Dodecahedron.svg|40px]]
|}

Az ikozaéder a {3,''n''} Shläfli-szimbólummal jellemezhető poliéderek és parkettázások sorozatába is beletartozik:
{| class="wikitable"
!colspan=4|Véges
!Euklideszi
!colspan=4|kompakt hiperbolikus
!Parakompakt
|- align=center
|[[Fájl:Trigonal dihedron.png|60px]]<BR>[[Diéder|{3,2}]]
|[[Image:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]<BR>[[Tetraéder|{3,3}]]
|[[Image:Uniform polyhedron-43-t2.png|60px]]<BR>[[Oktaéder|{3,4}]]
|[[Image:Uniform polyhedron-53-t2.png|60px]]<BR>{3,5}
|[[Image:Uniform polyhedron-63-t2.svg|60px]]<BR>[[Háromszögrács|{3,6}]]
|[[Image:Uniform tiling 73-t2.png|60px]]<BR>[[Hét rendű háromszögrács|{3,7}]]
|[[Image:Uniform tiling 83-t2.png|60px]]<BR>[[Nyolc rendű háromszögrács|{3,8}]]
|[[Image:Uniform tiling 39-t0.png|60px]]<BR>[[Kilenc rendű háromszögrács|{3,9}]]
|...
|[[Fájl:H2 tiling 23i-4.png|60px]]<BR>[[Végtelen rendű háromszögrács|(3,∞)]]
|}

Az ikozaéder, mint snub tetraéder az (3.3.3.3.''n'') csúcsalakzatú snub poliéderek és parkettázások sorozatába tartozik. Mindezek az alakzatok és duálisaik (n32) forgásszimmetrikusak, ahol n=6 az euklideszi síkon, és n > 6 a hiperbolikus síkon. Ezeket a sorozatokat n=2-től kezdik.

{|class="wikitable"
|+ A ''3.3.3.3.n'' snub poliéderek és parketták családja
|-
!rowspan=2|Symmetry<BR>n32<BR>[n,3]<sup>+</sup>
!colspan=4|Szférikus
!Euklideszi
!colspan=3|Hiperbolikus
|-
!232<BR>[2,3]<sup>+</sup><BR>D<sub>3</sub>
!332<BR>[3,3]<sup>+</sup><BR>T
!432<BR>[4,3]<sup>+</sup><BR>O
!532<BR>[5,3]<sup>+</sup><BR>I
!632<BR>[6,3]<sup>+</sup><BR>P6
!732<BR>[7,3]<sup>+</sup>
!832<BR>[8,3]<sup>+</sup>
!&infin;32<BR>[&infin;,3]<sup>+</sup>
|- align=center
!Snub<BR>alakzat
|[[Fájl:Spherical trigonal antiprism.svg|60px]]<BR>[[Oktaéder|3.3.3.3.2]]
|[[Fájl:Spherical snub tetrahedron.svg|60px]]<br>3.3.3.3.3
|[[Fájl:Spherical snub cube.png|60px]]<br>[[Snub kocka|3.3.3.3.4]]
|[[Fájl:Spherical snub dodecahedron.png|60px]]<br>[[Snub dodekaéder|3.3.3.3.5]]
|[[Image:Uniform tiling 63-snub.png|60px]]<br>[[Snub trihexagonális parketta|3.3.3.3.6]]
|[[Image:Uniform tiling 73-snub.png|60px]]<br>[[Snub triheptagonális parketta|3.3.3.3.7]]
|[[Image:Uniform tiling 83-snub.png|60px]]<br>[[Snub trioktagonális parketta|3.3.3.3.8]]
|[[Fájl:Uniform tiling i32-snub.png|60px]]<BR>[[Snub triapeirogonális parketta|3.3.3.3.&infin;]]
|-
[[Schläfli szimbólum|Schläfli]]
!sr{2,3}
!sr{3,3}
!sr{4,3}
!sr{5,3}
!sr{6,3}
!sr{7,3}
!sr{8,3}
!sr{&infin;,3}
|- align=center valign=bottom
!Snub<br>duális<BR>alakzat
|[[Fájl:Hexahedron.svg|60px]]<BR>[[Cube|V3.3.3.3.2]]
|[[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|60px]]<br>[[Dodecahedron|V3.3.3.3.3]]
|[[Image:Pentagonalicositetrahedroncw.jpg|60px]]<br>[[Pentagonális ikozitetraéder|V3.3.3.3.4]]
|[[Image:Pentagonalhexecontahedroncw.jpg|60px]]<br>[[Pentagonális hexekontaéder|V3.3.3.3.5]]
|[[Image:Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg|60px]]<br>[[Floret ötszögparketta|V3.3.3.3.6]]
|[[Image:Ord7 3 floret penta til.png|60px]]<br>V3.3.3.3.7
|V3.3.3.3.8
|V3.3.3.3.&infin;
|-
|}

{| class="wikitable"
!colspan=2|Szférikus
!colspan=7|Hiperbolikus parketták
|- align=center
|[[Fájl:Spherical pentagonal hosohedron.svg|50px]]<BR>[[Hozoéder|{2,5}]]
|[[Fájl:Uniform tiling 532-t2.png|50px]]<BR>{3,5}
|[[Fájl:H2 tiling 245-1.png|50px]]<BR>[[Öt rendű négyzetes parketta|{4,5}]]
|[[Fájl:H2 tiling 255-1.png|50px]]<BR>[[Öt rendű pentagonális parketta|{5,5}]]
|[[Fájl:H2 tiling 256-1.png|50px]]<BR>[[Öt rendű hexagonális parketta|{6,5}]]
|[[Fájl:H2 tiling 257-1.png|50px]]<BR>[[Öt rendű heptagonális parketta|{7,5}]]
|[[Fájl:H2 tiling 258-1.png|50px]]<BR>[[Öt rendű oktagonális parketta|{8,5}]]
|...
|[[Fájl:H2 tiling 25i-1.png|50px]]<BR>[[Öt rendű apeirogonalális parketta|{&infin;,5}]]
|}

Az ikozaéder csúcsainak elrendezése megegyezik a [[Kepler–Poinsot-poliéderek]]kel. A nagy ikozaédernek az élelrendezése is megegyezik.

{| class="wikitable"
|- align=center
!Kép
| [[Image:Great dodecahedron.png|100px]]<br>[[Nagy dodekaéder]]
| [[Image:Small stellated dodecahedron.png|100px]]<br>[[Kis csillagikozaéder]]
| [[Image:Great icosahedron.png|100px]]<br>[[Nagy ikozaéder]]
|}

A hiperbolikus tér átfedés nélkül kitölthető egybevágó ikozaéder cellákkal, ahol egy él mentén három, egy csúcsnál 12 ikozaéder találkozik, és Schläfli-szimbóluma {3,5,3}. Ez a hiperbolikus tér négy szabályos cellarácsa közül az egyik.

{| class=wikitable width=240
|[[Fájl:Hyperb icosahedral hc.png|240px]]<br>A hiperbolikus tér ikozaéderes cellarácsa az ikozaéderekkel jelezve. A modell középpontjában található ikozaéder is látható
|}

===Merőleges vetületei===
Az ikozaédernek három speciális vetülete van: lapközepes, élközepes és csúcsközepes.

{|class=wikitable width=360
|+ Ortogonális vetítések
|-
!Közép
!Lap
!Él
!Csúcs
|- align=center
![[Coxeter-sík]]
!A<sub>2</sub>
!A<sub>3</sub>
!H<sub>3</sub>
|- align=center
!Gráf
|[[Fájl:Icosahedron_A2_projection.svg|100px]]
|[[Fájl:Icosahedron graph A3 1.png|100px]]
|[[Fájl:Icosahedron t0 H3.png|100px]]
|- align=center
!Projektív<BR>szimmetria
|[6]
|[2]
|[10]
|- align=center
!Gráf
|[[Fájl:Icosahedron fnormal.png|100px]]<BR>Lap normális
|[[Fájl:Icosahedron graph A3 2.png|100px]]<BR>Él normális
|[[Fájl:Icosahedron vnormal.png|100px]]<BR>Csúcs normális
|}
===További rokon testek===
A ''The Fifty-Nine Icosahedra'' szerint az ikozaédernek 59 csillagpoliédere van, ezek közül az egyik maga az ikozaéder, egy másik a szabályos Kepler–Poinsot poliéder. Három közülük szabályos összetett poliéder.<ref>{{Citation |last1=Coxeter |first1=Harold Scott MacDonald |author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |last2=Du Val |first2=P. |last3=Flather |first3=H.T. |last4=Petrie |first4=J.F. |title=The Fifty-Nine Icosahedra |publisher=Tarquin |edition=3rd |isbn=978-1-899618-32-3 |mr=676126 |year=1999}} (1st Edn University of Toronto (1938))</ref> Az ikozaéder lapsíkjai által kimetszett tartományok síkmetszete:

{| class=wikitable
|+
|-
|rowspan=3 width=200|[[Fájl:Zeroth stellation of icosahedron facets.png|200px]]
|[[Fájl:Zeroth stellation of icosahedron.svg|50px]]
|[[Fájl:First stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Second stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Third stellation of icosahedron.svg|50px]]
|[[Fájl:Fourth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Fifth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Sixth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Seventh stellation of icosahedron.png|50px]]
|-
|[[Fájl:Eighth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Ninth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Tenth stellation of icosahedron.png|50px]]
|
|[[Fájl:Twelfth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Thirteenth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Fourteenth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Fifteenth stellation of icosahedron.png|50px]]
|-
|[[FÁjl:Sixteenth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Seventeenth stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:First compound stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Second compound stellation of icosahedron.png|50px]]
|[[Fájl:Third compound stellation of icosahedron.png|50px]]
|}

==További tények==
*Az ikozaéder különböző testhálóinak száma 43&nbsp;380, csak úgy, mint duálisának, a dodekaédernek. 
*Az ikozaéder lapjai három színnel színezhetők úgy, hogy két szomszédos lapnak ne legyen ugyanaz a színe. Ez a tetraédert kivéve minden konvex testre igaz, aminek háromszöglapjai vannak. Ez a [[Brooks-tétel]]ből következik, ha azt a test duális gráfjára alkalmazzuk.
*Egy ókori görög probléma azt a kérdést veti fel, hogy melyiknek nagyobb a térfogata: egy adott gömbbe írt ikozaédernek, vagy az ugyanabba a gömbbe írt dodekaédernek. A feladatot többen is megoldották, köztük [[Hérón]], [[Papposz]] és [[Fibonacci]].<ref>{{citation|title=A Mathematical History of the Golden Number|first=Roger|last=Herz-Fischler|publisher=Courier Dover Publications|year=2013|isbn=9780486152325|pages=138–140|url=https://books.google.com/books?id=aYjXZJwLARQC&pg=PA138}}.</ref> Arra a következtetésre jutottak, hogy a gömb térfogatának nagyobb részét teszi ki a dodekaéder (66,49%), mint az ikozaéder (60,54%).<ref>{{citation|title=The Platonic Solids (Solution to problem E2053)|first1=W. E.|last1=Buker|first2=R. B.|last2=Eggleton|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=76|issue=2|year=1969|page=192|jstor= 2317282}}.</ref>
*A pergamomi [[Pergai Apollóniosz|Apollóniosz]] arra a meglepő következtetésre jutott, hogy a két test térfogata úgy aránylik egymáshoz, ahogy a testek felszíne.<ref>{{citation|title=Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics|first=George F.|last=Simmons|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=9780883855614|page=50|url=https://books.google.com/books?id=3KOst4Mon90C&pg=PA50}}.</ref> Mindkét test képletében szerepel az arany arány, de más hatványon.<ref>{{citation|title=Platonic & Archimedean Solids|series=Wooden Books|first=Daud|last=Sutton|publisher=Bloomsbury Publishing USA|year=2002|isbn=9780802713865|page=55|url=https://books.google.com/books?id=vgo7bTxDmIsC&pg=PA55}}.</ref>
==Gráfként==
[[Image:Icosahedron graph.svg|right|120px|thumb|Az ikozaédergráf egy hármas szimmetriát mutató síkba rajzolása]]
Az ikozaédergráf az a gráf, ami megkapható úgy, hogy csúcsai egy ikozaéder csúcsai, élei pedig az ikozaéder élei. A poliéder szimmetriatulajdonságai a gráfban is megjelennek, így az távolságtranzitív, távolságreguláris és szimmetrikus. Automorfiacsoportja megegyezik az ikozaéder szimmetriacsoportjával, így 120 elemű. Csúcsai 4, élei 5 színnel színezhetők, és átmérője 3.<ref>{{MathWorld |urlname=IcosahedralGraph |title=Icosahedral Graph}}</ref>

Mint minden konvex poliéder gráfja, az ikozaéder gráfja is síkba rajzolható. Hamilton-gráf, azaz van egy köre, ami minden csúcsát tartalmazza.

Egy [[Almássy-féle ikozaéder#3D gráf|3D gráf]] szerkezetet ír le az [[Almássy-féle ikozaéder]].

==Konstrukció egyenlő szögű egyenesekkel==
{| class=wikitable align=right width=320
|- align=center
|[[Fájl:Icosahedron t0 H3.png|160px]]<BR>Ikozaéder<BR>H<sub>3</sub> Coxeter-sík
|[[Fájl:6-cube t5 B5.svg|160px]]<BR>[[6-ortoplex]]<BR>D<sub>6</sub> Coxeter-sík
|-
|colspan=2|Ez a konstrukció geometriailag azt jelenti, hogy egy 6-ortoplex 12 csúcsát levetítjük 3 dimenzióba. Ez reprezentálja D<sub>6</sub> geometriai hajtogatását a H<sub>3</sub> [[Coxeter-csoport]]ba: [[Fájl:Geometric folding Coxeter graph D6 H3.png]]
A 2 dimenziós ábrákon a [[Coxeter-sík]]ok ortogonális vetületei láthatók, ahol a két egymást fedő középponti csúcs határozza meg a leképezés harmadik tengelyét.
|}
Egyes megközelítések a <math>\scriptstyle\mathbb{Q}\left[\sqrt{5}\right]</math> szám[[test (algebra)|test]]ben végeznek számításokat. Itt azonban egy olyan konstrukciót mutatunk be, ami mellőzi ezt.

Az ikozaéder létezését arra vezetjük vissza, hogy létezik hat egyenes <math>\scriptstyle\mathbb R^3</math>-ben úgy, hogy bármely kettő közülük azonos szöget zár be. Egy, a közös metszéspontjukba helyezett középpontú gömb egy szabályos ikozaéder húsz csúcsát metszi ki.

Az egyenlő szögű egyenesek konstrukciójához ebből a mátrixból indulunk ki:

:<math>A=\left(\begin{array}{crrrrr}
0&1&1&1&1&1\\
1&0&1&-1&-1&1\\
1&1&0&1&-1&-1\\
1&-1&1&0&1&-1\\
1&-1&-1&1&0&1\\
1&1&-1&-1&1&0\end{array}\right).</math>

Némi számolással megmutatható, hogy {{nowrap|''A''<sup>2</sup> {{=}} 5''I''}}, ahol ''I'' a 6×6-os egységmátrix. Ebből következik, hogy ''A'' sajátértékei <math>\scriptstyle -\sqrt{5}</math> és <math>\scriptstyle \sqrt{5}</math>, mindkettő 3 multiplicitással, mivel ''A'' [[szimmetrikus mátrix|szimmetrikus]], és nyoma 0.

Tehát <math>\scriptstyle A+\sqrt{5}I</math> euklideszi struktúrát indukál a <math>\scriptstyle\mathbb R^6/\ker(A+\sqrt{5}I)</math> [[hányadostér]]en, ami [[izomorfia|izomorf]] <math> \scriptstyle\mathbb R^3</math>-nel, hiszen <math>\scriptstyle {A+\sqrt{5}I}</math> magja, <math>\scriptstyle \ker(A+\sqrt{5}I)</math> három dimenziós. <math>\scriptstyle \mathbb R^6</math>-ban a hat koordinátatengely, <math>\scriptstyle\mathbb R v_1,\dots,\mathbb R v_6</math> képe <math>\scriptstyle\pi:\mathbb R^6 \longrightarrow \mathbb R^6/\ker(A+\sqrt{5}I)</math> szerint hat egyenlő szögű egyenest ad <math>\scriptstyle\mathbb R^3</math>-ben, melyeknek páronkénti szöge <math>\scriptstyle{\arccos}\tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>. A ±''v''<sub>1</sub>, ..., ±''v''<sub>6</sub> vektorok vetülete ''A'' <math>\scriptstyle \sqrt{5}</math> sajátalterében egy ikozaéder csúcsait határozza meg.

Egy másik konstrukció az ''A''<sub>5</sub> csoport reprezentációelméletét felhasználva vizsgálja ennek a csoportnak a hatását az ikozaéder szimmetriáira.

== Előfordulás és alkalmazás ==

===Biológia===
Sok [[vírus]] fehérjeburka (ún. [[kapszid]]ja), például a [[herpesz]]é ikozahedrális szerkezetű. Ezt a szerkezetet lehet a legkönnyebben felépíteni azonos fehérjemolekulákból alkotott részegységekből. A szabályos testek közül az ikozaéder térfogata a legnagyobb a felszínéhez képest.<ref>C. Michael Hogan. 2010. [http://www.eoearth.org/article/Virus?topic=49496 ''Virus''. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment]. eds. S. Draggan and C. Cleveland</ref>

Egyes [[baktériumok]] tartalmaznak ikozaéder alakú sejtszervecskéket.<ref name=Bobik2007>{{Citation |author=Bobik, T.A. |title=Bacterial Microcompartments |year=2007 |journal=Microbe |volume=2 |pages=25–31 |url=http://www.microbemagazine.org/index.php/01-2007-home/2308-bacterial-microcompartments |publisher=Am. Soc. Microbiol. |accessdate=2012-02-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130729083846/http://www.microbemagazine.org/index.php/01-2007-home/2308-bacterial-microcompartments |archivedate=2013-07-29 }} {{Cite web |url=http://www.microbemagazine.org/index.php/01-2007-home/2308-bacterial-microcompartments |title=Archivált másolat |accessdate=2014-02-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130729083846/http://www.microbemagazine.org/index.php/01-2007-home/2308-bacterial-microcompartments |archivedate=2013-07-29 }}</ref> Az ikozaéder héj boríthat enzimeket és köztes termékeket is. Ezek a burkok különböző BMC tartományokat tartalmazó fehérjékből épülhetnek fel.

1904-ben Ernst Haeckel több sugárállatkáról írt, amelyek váza ikozaéderes szerkezetű.
===Kémia===
A klozo-karboránok alakja megközelítően ikozaéder. Az ikozaéderes ikresedés kristályokban és nanorészecskék között is előfordul.

Sok borid és a bór egyes allotrop módosulatában is B<sub>12</sub> az alap szerkezeti egység.
===Fizika===
[[Fájl:Twin2.jpg|thumb|upright|Arany nanorészecskék elektronmikroszkópos képe]]
Ha az ikozaéder minden élére teszünk egy 1 [[ohm (mértékegység)|ohm]]os [[Elektromos ellenállás|ellenállás]]t, akkor a szemközti csúcsok közötti ellenállás 0,5 ohm lesz, és a szomszédos csúcsok közötti ellenállás 11/30 ohm.<ref>{{cite journal | last = Klein | first = Douglas J. | year = 2002 | title = Resistance-Distance Sum Rules | journal = Croatica Chemica Acta | volume = 75 | issue = 2 | pages = 633–649 | url = http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf | format = PDF | accessdate = 2014-02-15 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20070610165115/http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf | archivedate = 2007-06-10 }}</ref>

Az ikozaéder fontos szerephez jut a klasztereknél. Egy klaszter 3 - 50&nbsp;000 atomból áll. A hétnél több atomos klasztereknél megjelenik egy ikozaéderre emlékeztető szerkezet. Ennek oka Friedel törvénye, ami kimondja, hogy minden szerkezet a lehető legkevesebb energiát tartalmazza, amiben a legközelebbi szomszédok közötti kötések száma maximális. Sok szabad szerkezetnél ez hétatomos mérettől jelentkezik, de vannak alóla kivételek, amelyek más szerkezeteket részesítenek előnyben, például a [[kocka|kockát]].

Továbbá a klaszterfizikában vannak bűvös számok, amelyek szorosan kapcsolódnak a Mackay-ikozaéderhez. Az elektronszerkezethez hasonlóan ezek a számok egy réteg lezárását jelzik, így az ennyi atomból létrejött klaszterek különösen stabilak. Ezek a bűvös számok: 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 és 1415. Alan Mackaynek ez a korai észrevétele központi fontosságúvá vált a modern klaszterfizikában.<ref>A. L. Mackay: ''A dense non-crystallographic packing of equal spheres.'' In: ''Acta Crystallographia.'' Band 15, 1962, S. 916–918, {{doi|10.1107/S0365110X6200239X}}</ref>

A klaszterszámok ezzel a képlettel számíthatók:

<math>C = \, \frac{10n^3-15n^2+11n-3}{3} </math>

ahol ''C'' a klaszterben levő összes atom száma, és ''n'' az egy élen levő atomok száma.

===Játékok===
[[Fájl:Wuerfel w20.jpg|bélyegkép|jobbra|200px|Ikozaéder mint dobókocka (K20)]]
* A [[szerepjáték]]ok gyakori kelléke a húsz oldalú [[dobókocka]]. Az egyes akciók véletlenszerű kimenetelének meghatározására használják. Számozása lehet 0-tól 9-ig úgy, hogy minden szám kétszer szerepel (K10), de a legtöbb modern kiadást 1-től 20-ig számozzák (K20).
* Az [[Icosagame]] játékot ikozaéder alakú táblán játsszák. A játék korábban ''Ico Crystal Game'' néven volt ismert.
* A [[Scattergories]] táblás játékban ikozaédert használnak betűválasztásra. Hat, az angol nyelvben ritkán használt betű nem szerepel, mint például az X, a Q és a Z.
* A Vecsei Róbert és Zoltán által szabadalmaztatott Dogic egy türelemjáték, egy csavargatható ikozaéder.
[[Fájl:Dogic12.jpg|bélyegkép|jobbra|200px|Dogic]]
* Egy Magic 8 Ball belsejében egy ikozaéderre vannak felírva a lehetséges válaszok.

===Egyebek===
* Rudolf von Laban ikozaédert használt térharmóniatanához, így erős hatással volt a modern táncra. Ezt ma a modern Laban-mozgástanulmányok viszik tovább.
* Stafford Beer kibernetikai menedzsmentelméletében az ikozaéder szerkezet az ideális csapat tagjai közötti kapcsolatokat modellezi.
* A német meteorológiai szolgálat GME időjárás-előrejelző modelljének rácsstruktúrájának magja egy földgolyóba írt ikozaéder csúcsai.
* [[Buckminster Fuller|R. Buckminster Fuller]] és a [[japánok|japán]] [[Sodzsi Szadao]] ikozaéder alakú földgömböt tervezett. Ez a Fuller-vetítéssel ábrázolja a földgömböt, és maximális torzítása 2%. 
[[Fájl:Fuller projection.svg|bélyegkép|középre|250px|Fuller-vetülettel készült Föld-ikozaéder]]
* A "Sol de la Flor" húsz panelből áll, amelyek egy ikozaéder csúcsaiban találkoznak. Ezeket a pontokat rozetták díszítik, amelyek a frangipáni virágát mintázzák.
* A [[TDK Corporation]] logója egy olyan alakzatot tartalmaz, amely az ikozaéder csillagdiagramján alapul.
* A [[Grundy Television]] [[Ausztrália (ország)|ausztrál]] tévétársaság ikozaédert használt logóként.

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Források ==
{{Commonskat|Icosahedron}}
=== Angolul ===
<!--* {{mathworld | urlname = Icosahedron | title = Icosahedron}}-->
* [http://www.software3d.com/Icosahedron.php Paper models of the icosahedron]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.kjmaclean.com/Geometry/GeometryHome.html K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra]
* [https://web.archive.org/web/20071009235322/http://polyhedra.org/poly/show/4/icosahedron Interactive Icosahedron model] - works right in your web browser
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* [https://web.archive.org/web/20080223021333/http://www.tulane.edu/~dmsander/WWW/335/335Structure.html Tulane.edu] A discussion of viral structure and the icosahedron (archív: 2008. február 23.)
* [http://www.korthalsaltes.com/ Paper Models of Polyhedra] Many links
* [https://www.flickr.com/photos/pascalin/sets/72157594234292561/ Origami Polyhedra] - Models made with Modular Origami
* [https://web.archive.org/web/20120304151053/http://www.lifeisastoryproblem.org/explore/net_icosahedron.pdf Printable Geometric Net of a Regular Icosahedron (archív: 2012. március 4.)] [https://web.archive.org/web/20120321231511/http://www.lifeisastoryproblem.org/ Life is a Story Problem.org (archív: 2012. március 21.)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=r6JQWCi_lNM video of icosahedral mirror sculpture]
* [https://www.flickr.com/photos/pascalin/sets/72157594234292561/ Origami Polyhedra] – Models made with Modular Origami

=== Németül ===
* [http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/ikosa.html Herleitungen der Formeln]
* [http://www.mathematische-basteleien.de/ikosaeder.htm Mathematische Basteleien – Ikosaeder]

{{Poliéderek}}
{{Nemzetközi katalógusok}}

{{DEFAULTSORT:Ikozaeder}}
[[Kategória:Poliéderek]]