Gauss-féle első alapmennyiség forrásának megtekintése

A [[differenciálgeometria|differenciálgeometriában]] a '''Gauss-féle első alapmennyiség''' egy háromdimenziós [[Euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi térben]] adott [[felület (differenciálgeometria)|felület]] [[érintő tér|érintő terében]] vett [[skaláris szorzat]], ami szokványosan az '''R'''<sup>''3''</sup> [[skaláris szorzat]]ából van indukálva. Lehetővé teszi a [[görbület]] és a felület metrikus tulajdonságainak (mint például hossz és terület) kiszámítását a körülvevő környezettel (magasabb dimenziószámú tér) konzisztens módon. A Gauss-féle első alapmennyiség jelölésére a római egyes szám (<math>\mathrm{I}</math>) szolgál.
:<math>\mathrm{I}(x,y)= \langle x,y \rangle.</math>

Legyen ''X''(''u'',&nbsp;''v'') egy [[paraméteres felület]].  Ekkor a két [[érintővektor]] [[skaláris szorzat]]a:

:<math>
\begin{align}
& {} \quad \mathrm{I}(aX_u+bX_v,cX_u+dX_v) \\
& = ac \langle X_u,X_u \rangle + (ad+bc) \langle X_u,X_v \rangle + bd \langle X_v,X_v \rangle \\
& = Eac + F(ad+bc) + Gbd,
\end{align}
</math>

ahol ''E'', ''F'' és ''G'' a '''Gauss-féle első alapmennyiség együtthatói'''.

A Gauss-féle első alapmennyiségek kifejezhetőek egy [[szimmetrikus mátrix]]szal is, melyet Gauss-féle első alapmátrixnak neveznek:

:<math>\mathrm{I}(x,y) = x^\text{T}
\begin{pmatrix}
E & F \\
F & G
\end{pmatrix}y
</math>

[[Kategória:Differenciálgeometria]]