Félnorma forrásának megtekintése

[[Fájl:Seminorm qtl1.svg|thumb|A <math> p(x,y) = | x-y |</math> függvény félnorma az <math>\R^2</math> téren]]
A [[matematika|matematikában]] a '''félnorma''' egy [[homogén függvény|abszolút homogén]], [[additivitás|szubadditív]] [[funkcionál]]. A félnorma általánosítja a norma fogalmát, lemondva a pozitív definitségről. A félnormák nemnegatívak, szimmetrikusak az előjel-változtatásra, szublineárisak és konvexek. Maradékosztály-képzéssel a félnormából egy hozzátartozó norma származtatható. Félnormák családjával lokálisan konvex terek definiálhatók. A lineáris algebra és a funkcionálanalízis foglalkozik félnormákkal.
==Definíció==
Legyen <math>V</math> vektortér a <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math> test fölött; ekkor egy <math>p \colon V \to \R_0^{+}</math> leképezés félnorma a <math>V</math> vektortéren, ha abszolút homogén és szubadditív, ami azt jelenti, hogy minden <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> skalárra és minden <math>x,\,y \in V</math> vektorra:
:<math>p(\lambda x) = |\lambda| p(x)</math> &nbsp; (abszolút homogenitás)
és
:<math>p(x+y) \leq p(x) + p(y)</math> &nbsp; (szubadditivitás),
ahol <math>|\cdot|</math> a skalár abszolútérték. 
Egy félnormával ellátott vektortér [[félnormált tér]].
==Példák==
* Minden norma félnorma is, ami még [[definitség|pozitív definit]] is.
* A  <math>p \equiv 0</math> nullfüggvény, ami minden vektorhoz 0-át rendel.
* Egy valós vagy komplex értékű [[lineáris leképezés]] [[abszolútérték]]e.
* Valós esetben minden pozitív definit [[szimmetrikus bilineáris forma]], komplex esetben minden [[hermitikus szeszkvilineáris forma]] a <math>p(x):= \sqrt{( x, x )}</math> mennyiségekkel félnormát indukál. Ez a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségen múlik, amiből a szubadditivitás levezethető.
* Ha <math>X</math> [[topologikus tér]], és <math>K\subset X</math> kompakt halmaz, akkor <math>\textstyle p_K(f) := \sup_{x\in K}|f(x)|</math> félnorma az <math>X \rightarrow \Complex</math> folytonos függvények terén. Ez azért teljesül, mert kompakt halmazon folytonos függvény korlátos, így szuprémuma véges.
* Egy vektortér <math>U</math> abszorbeáló, abszolút konvex részhalmazához definiált <math> p_U </math> Minkowski-funkcionál.
* Egy [[normált tér]] <math>X^*</math> [[duális tér|duális terén]] definiált <math>p_x(\varphi) = |\varphi(x)|</math> félnorma minden <math>x \in X</math> és <math>\varphi \in X^*</math> esetén.
* A korlátos lineáris funkcionálok <math>\mathfrak{L}(X,Y)</math> halmazán <math>p_x(T) = \|Tx \|</math> (<math>x \in X</math>) és <math>p_{x,\psi}(T) = |\psi(Tx)|</math> (<math>x \in X, \psi \in Y^*</math>)  félnormát definiál.
==Tulajdonságok==
A <math>\lambda = 0</math> helyettesítéssel azonnal kapjuk, hogy

:<math>p(0) = 0</math>,

tehát a nullvektor félnormája nulla. A normától eltérően egy <math>x \neq 0</math> vektor félnormája is lehet nulla. Az <math>y = -x</math> helyettesítéssel és a szubadditivitásból vagy a háromszög-egyenlőtlenségből és az abszolút homogenitásból következik, hogy

:<math>p(x) \geq 0</math>

minden <math>x \in V</math> vektorra. A <math>\lambda = -1</math> helyettesítéssel látszik, hogy szimmetrikus az előjelváltásra, vagyis

:<math>p(x) = p(-x)</math>

és az <math>x-y+y</math> vektorokra alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget következik a megfordított háromszög-egyenlőtlenség:

:<math>| p(x) - p(y) | \leq p(x - y)</math>.

Továbbá a félnorma szublineáris, mivel az abszolút homogenitásból következik a pozitív homogenitás, és konvex is, mivel minden <math>0 \leq t \leq 1</math> valós számra

:<math>p(tx + (1-t)y) \leq p(tx) + p((1-t)y) = tp(x) + (1-t)p(y)</math>.

Megfordítva, minden abszolút homogén konvex függvény szubadditív, így félnorma, ami látható a <math>t = \tfrac{1}{2}</math> helyettesítéssel és <math>2</math>-vel szorzással.
==Maradékosztály-képzés==
Az abszolút homogenitásból és a szubadditivitásból következik, hogy a

:<math>Z = \{ x \in V\colon p(x) = 0 \}</math>

halmaz, azaz a nulla félnormájú vektorok halmaza altér <math>V</math>-ben. Emiatt definiálható a <math>V</math> vektortérben az

:<math>x \sim y :\Longleftrightarrow x - y \in Z</math>

ekvivalenciareláció. Ennek az ekvivalenciarelációnak az osztályai alkotják a <math>\tilde{V}</math> vektorteret, ahol a <math>p</math> félnorma norma. Ez a módszer maradékosztály-képzés a félnormára, és <math>\tilde{V}</math> megegyezik a  <math>V / Z</math> faktortérrel. Ezt a konstrukciót használják például az ''L<sup>p</sup>''-tér konstrukciójánál.
==Félnormák családja==
A funkcionálanalízisben a lokálisan konvex terek konstrukciójában többek között félnormák <math>(p_i)_{i \in I}</math> családját is vizsgálják. Ezzel a kiindulási <math>V</math> vektortéren topológia definiálható, amivel topologikus teret kapunk. Ebben a topológiában egy <math>U \subset V</math> halmaz nyílt, ha minden <math>x \in U</math>-hoz van <math>\epsilon > 0</math>, és véges sok <math>i_1, \ldots ,i_r</math> index, hogy 
:<math>p_{i_j}(y) < \epsilon,\, j=1, \ldots ,r \Rightarrow x+y \in U</math>, minden <math>y\in V</math>-re.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos szétválasztási tulajdonság külön érdeklődést kap. Félnormák egy <math>(p_i)_{i \in I}</math> családja szétválasztó, ha minden <math>x \in V \setminus \{0\}</math>-hez van legalább egy <math>p_i</math> félnorma úgy, hogy <math>p_i(x) \neq 0</math>. Félnormák egy családja pontosan akkor szétválasztó, ha az így <math>V</math>-n definiált topológia Hausdorff. Egy ilyen topologikus tér lokálisan konvex.<ref name="seminorm 26-27">{{cite book |author=Walter Rudin |title=Functional Analysis |publisher=McGraw-Hill |location=New York |year=1991 |pages=26–27 |language=en}}</ref>
==Gelfand egy tétele==
Gelfand következőkben tárgyalt tétele egy 1936-os cikkében jelent meg.<ref name="LWK-GPA-01">Kantorowitsch/Akilow: ''Funktionalanalysis in normierten Räumen.'' 1978, S. 206–207</ref>

:'''Állítás''': Adva legyen egy valós normált <math>(X, \| \cdot \|)</math> vektortér, és egy <math>p \colon X \to [0, +\infty]</math> numerikus függvény, ami rendelkezik a félnorma fenti tulajdonságaival. Továbbá legyen <math>p</math> alulról félig folytonos, és legyen <math>X</math>-ben egy <math>K \subset X</math> második kategóriájú halmaz, úgy, hogy ha <math>x \in K</math>, akkor <math>p(x) < +\infty</math>. 
:Ekkor van egy <math>M > 0</math> konstans úgy, hogy  <math>p(x) \leq M \, \| x \|</math> minden <math>x \in X</math>-re.<ref name="LWK-GPA-002">Kantorowitsch/Akilow, op. cit., S. 206</ref>
== Források ==
* {{cite book
   |author=[[Israel Moissejewitsch Gelfand|Izrail M. Gelfand]]
   |title=Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires
   |in=Sap. matem. t-wa
   |issue=4
   |year=1936
   |pages=35–40
   |language=fr}}
* {{cite book
   |author=L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow
   |title=Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. [[P. Heinz Müller]], Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von [[Heinz Langer (Mathematiker)|Heinz Langer]], Dresden, und Rolf Kühne, Dresden
   |publisher=Verlag Harri Deutsch
   |location=Thun / Frankfurt am Main
   |year=1978
   |ISBN=3-87144-327-1
   |url=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kantorowitsch&s5=Akilow&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=458199 MR0458199]}}
* {{cite book
   |author=[[Walter Rudin]]
   |title=Functional Analysis
   |in=International Series in Pure and Applied Mathematics
   |edition=2.
   |publisher=[[McGraw-Hill]]
   |location=New York
   |year=1991
   |ISBN=0-07-054236-8
   |language=en
   |url=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}
==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}
==Fordítás==
{{fordítás|de|Halbnorm}}

[[Kategória:Lineáris algebra]]
[[Kategória:Funkcionálanalízis]]