Fázor forrásának megtekintése

[[Fájl:Wykres_wektorowy_by_Zureks.svg|thumb|341x341px|Soros RLC-kör és fázordiagramja]]
A [[fizika]]i és [[Mérnöki tudomány|mérnöki]], főként a [[villamosmérnök]]i gyakorlatban a '''fázor''' egy [[Szögfüggvények|harmonikus függvény]] jellemzésére alkalmazható [[Komplex számok|komplex]] kifejezés. A fázor kifejezést az angol ''phase vector'' összevonásából származó ''phasor'' mintájára alkották a '''fázisvektor''' rövidítéseként.<ref name="FoxBolton2002">{{Hivatkozás/Könyv|author1 = Huw Fox|author2 = William Bolton|title = Mathematics for Engineers and Technologists|year = 2002|publisher = Butterworth-Heinemann|isbn = 978-0-08-051119-1|page = 30}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{Hivatkozás/Könyv|author = Clay Rawlins|title = Basic AC Circuits|year = 2000|publisher = Newnes|isbn = 978-0-08-049398-5|page = 124|edition = 2nd}}</ref> A fázorokat a jelek analitikus modelljében alkalmazzák, ahol a [[Harmonikus rezgőmozgás|harmonikusan]] változó jelet egy komplex állandóra és egy fázist és időfüggést tartalmazó tagra szokás bontani. A felbontásban a komplex állandó maga a fázor, más néven '''komplex [[amplitúdó]]'''.<ref name="Kumar2008">{{Hivatkozás/Könyv|author = K. S. Suresh Kumar|title = Electric Circuits and Networks|year = 2008|publisher = Pearson Education India|isbn = 978-81-317-1390-7|page = 272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{Hivatkozás/Könyv|author1 = Kequian Zhang|author2 = Dejie Li|title = Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year = 2007|publisher = Springer Science & Business Media|isbn = 978-3-540-74296-8|page = 13|edition = 2nd}}</ref>

[[Áramkör|Elektromos hálózatokban]] gyakran előforduló eset, hogy több harmonikus jel van jelen, melyek [[Frekvencia|frekvenciája]] azonos, de amplitúdójuk és fázisuk különbözhet. Ha az ilyen harmonikus jeleket felbontjuk egy fázor és egy időfüggő tag szorzatára, akkor a számítások leegyszerűsödnek, ugyanis a fázorokra [[vektor]]iális [[Számtan|aritmetika]] alkalmazható.

A fázorok használata amellett, hogy a harmonikus jelek aritmetikája helyett [[vektor]]műveleteket lehet alkalmazni, azzal az előnnyel is jár, hogy a [[differenciál]]ás és az [[integrál]]ás műveleteit is egyszerű [[Algebra|algebrai műveletekké]] alakítja. Így például időfüggő, valós együtthatós algebrai egyenletekkel leírhatóvá válnak az [[Rezgőkörök|RLC-körök]] egyensúlyi jellemzői.<ref name="Eccles2011">{{Hivatkozás/Könyv|author = William J. Eccles|title = Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals|year = 2011|publisher = Morgan & Claypool Publishers|isbn = 978-1-60845-668-0|page = 51}}</ref><ref name="DorfSvoboda2010">{{Hivatkozás/Könyv|author1 = Richard C. Dorf|author2 = James A. Svoboda|title = Introduction to Electric Circuits|year = 2010|publisher = John Wiley & Sons|isbn = 978-0-470-52157-1|page = 661|edition = 8th}}</ref> A fázorok koncepcióját [[Charles Proteus Steinmetz]], a [[General Electric]] fejlesztője alkotta meg a [[19. század]] végén.<ref name="RobbinsMiller2012">{{Hivatkozás/Könyv|author1 = Allan H. Robbins|author2 = Wilhelm Miller|title = Circuit Analysis: Theory and Practice|year = 2012|edition = 5th|publisher = Cengage Learning|isbn = 1-285-40192-1|page = 536}}</ref><ref name="YangLee2008">{{Hivatkozás/Könyv|author1 = Won Y. Yang|author2 = Seung C. Lee|title = Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year = 2008|publisher = John Wiley & Sons|isbn = 978-0-470-82240-1|pages = 256–261}}</ref>

A fázortranszformáció jellegében hasonlít a [[Laplace-transzformáció]]ra, annak egy speciális esete, de jellemzően az egyensúlyi tulajdonságok leírására alkalmazható. Ha a tranziens jelenségeket is le szeretnénk írni, összetettebb Laplace-transzformációra van szükség.<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008"/>

== Definíció ==
Az [[Euler-képlet|Euler-formula]] értelmében egy harmonikus függvényt megadhatunk az alábbi formában két [[Komplex függvény|komplex függvénnyel]] (mivel a két komplex függvény egymás [[Komplex konjugált|konjugáltjai]], a kifejezés [[Valós számok|valós]] lesz):
: <math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math> &nbsp; &nbsp;
illetve egy komplex függvény valós részeként:
: <math>
\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \varphi) = \operatorname{Re} \{ A\cdot e^{i(\omega t + \varphi)}\}= \operatorname{Re} \{ A e^{i\varphi} \cdot e^{i\omega t}\}.
\end{align}
</math>
A komplex <math display="inline">A\cdot e^{i(\omega t + \varphi)}</math> kifejezés a jelet leíró valós <math display="inline">A \cdot cos(\omega t + \varphi)</math> &#x61;&#x6E;&#x61;&#x6C;&#x69;&#x74;&#x69;&#x6B;&#x75;&#x73;&#x20;&#x72;&#x65;&#x70;&#x72;&#x65;&#x7A;&#x65;&#x6E;&#x74;&#xE1;&#x63;&#x69;&#xF3;&#x6A;&#x61;&#x2E;&#x20;&#x41;&#x7A;&#x20;&#xE1;&#x62;&#x72;&#x61;&#x20;&#x61;&#x20;&#x6B;&#x6F;&#x6D;&#x70;&#x6C;&#x65;&#x78;&#x20;&#x6B;&#x69;&#x66;&#x65;&#x6A;&#x65;&#x7A;&#xE9;&#x73;&#x20;&#x66;&#x6F;&#x72;&#x67;&#xF3;&#x76;&#x65;&#x6B;&#x74;&#x6F;&#x72;&#x6F;&#x73;&#x20;&#xE1;&#x62;&#x72;&#xE1;&#x7A;&#x6F;&#x6C;&#xE1;&#x73;&#x61;&#x20;&#x61;&#x20;&#x6B;&#x6F;&#x6D;&#x70;&#x6C;&#x65;&#x78;&#x20;&#x73;&#xED;&#x6B;&#x6F;&#x6E;&#x2E; Gyakran az egész kifejezést nevezik fázornak<ref>{{Hivatkozás/Könyv|last1 = Singh|first1 = Ravish R|title = Electrical Networks|date = 2009|publisher = Mcgraw Hill Higher Education|isbn = 0070260966|page = 4.13|chapter = Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities}}</ref> (bár szigorú értelemben véve az<math display="inline">A e^{i\varphi}</math>&#x20;k&#x69;&#x66;&#x65;&#x6A;&#x65;&#x7A;&#xE9;&#x73;&#x20;&#x61;&#x20;&#x66;&#xE1;&#x7A;&#x6F;r&#x29;&#x2E;&#x20;&#x54;&#x6F;&#x76;&#xE1;&#x62;&#x62;&#xE1;&#x20;&#x61;&#x6C;&#x6B;&#x61;&#x6C;&#x6D;&#x61;&#x7A;&#x7A;&#xE1;&#x6B;&#x20;&#x6D;&#xE9;&#x67;&#x20;&#x61;&#x20;&#x66;&#xE1;&#x7A;&#x6F;&#x72;&#x20;&#x61;&#x6D;&#x70;&#x6C;&#x69;&#x74;&#xF3;&#x64;&#xF3;&#x6A;&#xE1;&#x74;&#x20;&#xE9;&#x73;&#x20;&#x66;&#xE1;&#x7A;&#x69;&#x73;&#xE1;&#x74;&#x20;&#x6D;&#x65;&#x67;&#x61;&#x64;&#xF3; <math display="inline">A \angle \varphi</math> jelölést is.

== Aritmetikai műveletek ==

=== Szorzás komplex állandóval ===
Az <math display="inline">A e^{i\varphi} e^{i\omega t}\,</math> fázor <math display="inline">B e^{i\phi}</math>&#x20;komplex állandóval való szorzásának eredménye egy újabb fázor, ami arra utal, hogy a szorzás csak megváltoztatja az eredeti fázor amplitúdóját és fázisát:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\{(A e^{i\varphi} \cdot B e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \}
&= \operatorname{Re}\{(AB e^{i(\varphi+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\
&= AB \cos(\omega t +(\varphi+\phi))
\end{align}
</math>
Az elektronikában például egy komplex, időfüggetlen [[impedancia]] írható le egy <math>B e^{i\phi}\,</math>&#x20;komplex kifejezéssel.

=== Szorzás fázorral ===
Ha két fázort szoroznánk egymással, vagy egy fázort emelnénk négyzetre, az új frekvenciakomponenseket eredményezne. Ez a nemlineáris művelet viszont már kimutat a fázorok jellemző alkalmazási köréből. Ilyen viselkedést mutat például egy [[mikrohullám]]ú [[mixer]] eszköz.

=== Differenciálás és integrálás ===
Egy fázor időbeli deriválása és integrálása fázort ad eredményül. Például:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\{\frac{d}{d t}(A e^{i\varphi} \cdot e^{i\omega t})\} &= \operatorname{Re}\{A e^{i\varphi} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\varphi} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re}\{\omega A e^{i(\varphi + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \omega A\cdot \cos(\omega t + \varphi + \pi/2)
\end{align}
</math>
Azaz a fázoraritmetikában a harmonikus függvény [[Derivált|deriválása]] egy <math display="inline">i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega)</math> komplex tényezővel való szorzás. Ezzel analóg módon az [[integrál]]ást a <math display="inline">\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}</math> komplex kifejezéssel való szorzás valósítja meg, az időfüggő&#x20;<math display="inline">e^{i\omega t}\,</math> tag pedig változatlan marad.

Egy [[lineáris differenciálegyenlet]] megoldásánál az összes tagból kiemelhető az időfüggő&#x20;<math display="inline">e^{i\omega t}\,</math>&#x20;&#x74;&#xE9;&#x6E;&#x79;&#x65;&#x7A;&#x151;&#x2C;&#x20;&#x6D;&#x65;&#x6C;&#x79;ez a végeredményhez egyszerűen hozzáírhatunk. Vegyük például az alábbi differenciálegyenletet, mely egy RC-kor kapacitásán eső feszültséget írja le:
: <math>\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)</math>
Ha az [[Rezgőkörök|RC-körbe]] kötött feszültségforrás harmonikus:
: <math>v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \varphi),\,</math>
akkor élhetünk az alábbi átírással:
: <math>
\begin{align}
v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\
\end{align}
</math>
: <math>v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},</math>
ahol a forrás <math>V_s = V_P e^{i\varphi}</math> fázora ismert és a kapacitás <math>V_c\,</math> ismeretlen fázorát akarjuk meghatározni.

A fázor formalizmusban a differenciálegyenlet az alábbi formában írható fel egyszerű alakban:
: <math>i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s</math>
Ezt megoldva a keresett fázorra, a kapacitáson eső feszültségre az alábbiakat kapjuk:
: <math>
V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\varphi})\,
</math>
azaz az ismert <math>V_s\,</math>&#x20;&#x66;&#xE1;&#x7A;&#x6F;&#x72;&#x74;&#x20;&#x73;&#x7A;&#x6F;&#x72;&#x7A;&#xF3;&#x20;&#x6B;&#x69;&#x66;&#x65;&#x6A;&#x65;&#x7A;&#xE9;&#x73;&#x20;&#x66;&#x65;&#x6C;&#x65;&#x6C;&#x20;&#x6D;&#x65;&#x67;&#x20;&#x61; kapacitáson eső feszültséget leíró, időfüggő <math display="inline">v_C(t)\,</math>&#x20;&#x66;&#xFC;&#x67;&#x67;&#x76;&#xE9;&#x6E;&#x79;&#x6E;&#x65;&#x6B;&#x20;&#x61;&#x20;&#x66;&#x6F;&#x72;&#x72;&#xE1;&#x73;&#x68;&#x6F;&#x7A;&#x20;&#x6B;&#xE9;&#x70;&#x65;&#x73;&#x74;&#x20;&#x6D;&#xE9;&#x72;&#x68;&#x65;&#x74;&#x151;&#x20;&#x61;&#x6D;&#x70;&#x6C;&#x69;&#x74;&#xFA;&#x64;&#xF3;&#x2D;&#x20;&#xE9;&#x73;&#x20;&#x66;&#xE1;&#x7A;&#x69;&#x73;&#x76;&#xE1;&#x6C;&#x74;&#x6F;&#x7A;&#xE1;&#x73;&#xE1;&#x6E;&#x61;&#x6B;&#x2E;

Polárkoordinátákkal ugyanezt így adhatjuk meg:
: <math>\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)}</math>,
: ahol <math> \phi(\omega) = \arctan(\omega RC)</math>.
Azaz:
: <math>v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \varphi - \phi(\omega))</math>

=== Fázorok összeadása ===
[[Fájl:Sumafasores.gif|right|thumb|Fázorok összeadásának szemléltetése a forgóvektorok összeadásával.]]
Fázorok összeadásának eredménye is fázor. Ez könnyen belátható, mivel azonos frekvenciájú harmonikusok összege is ilyen frekvenciájú harmonikus, és csak amplitúdó- és fázisváltozás történik. Ezért azonos frekvenciájú harmonikusok összegzésére a fázorok jó leírást adnak:
: <math>
\begin{align}
A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(\omega t + \varphi_2)
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\varphi_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\varphi_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\varphi_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\varphi_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\varphi_1} + A_2 e^{i\varphi_2})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\varphi_3})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= A_3 \cos(\omega t + \varphi_3),
\end{align}
</math>
ahol:
: <math>
A_3^2 = (A_1 \cos\varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2)^2 + (A_1 \sin\varphi_1 + A_2 \sin\varphi_2)^2,
</math>
: <math>
\varphi_3 = \arctan\left(\frac{A_1 \sin\varphi_1 + A_2 \sin\varphi_2}{A_1 \cos\varphi_1 + A_2 \cos\varphi_2}\right) 
</math>
vagy a komplex síkon a [[koszinusztétel]] (illetve a megfelelő [[Trigonometrikus azonosságok|trigonometrikus azonosság]]) felhasználásával:
: <math>
A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\varphi),
      = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\varphi),
</math>
ahol <math>\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2</math>.

Vegyük észre, hogy <math display="inline">A_3</math> és <math display="inline">\varphi_3</math> nem függ <math display="inline">\omega</math>-tól és <math display="inline">t</math>-től, és ez lehetővé teszi a fázorformalizmus alkalmazását. A fázorok alkalmazhatósága esetén az időfüggő tagot az egész számolás alatt elhagyhatjuk, majd az eredményhez visszaírhatjuk. Más jelöléssel a fenti összefüggés így is megadható:
: <math>A_1 \angle \varphi_1 + A_2 \angle \varphi_2 = A_3 \angle \varphi_3. \, </math>
Továbbá tekinthetünk a fázorok összegzésére az őket reprezentáló komplex vektorok vektoriális összegeként is. Az összeadandó vektorok koordinátái ekkor <math display="inline">[A_1 cos(\omega t + \varphi_1), A_1 sin(\omega t + \varphi_1)]</math> illetve <math>[A_2 cos(\omega t + \varphi_2), A_2 sin(\omega t + \varphi_2)]</math>, vektori összeadásuk eredménye pedig <math display="inline">[A_3 cos(\omega t + \varphi_3), A_3 sin(\omega t + \varphi_3)]</math>. 
[[Fájl:Destructive_interference.png|right|thumb|Három, egymást tökéletesen kioltó hullámot jelölő fázor vektoriális összegzése.]]
Ez az összeadás a fizikában a harmonikusok konstruktív és destruktív [[Interferencia|interferenciáját]] írja le. A fázorformalizmussal például könnyen megtalálhatók azok a fázisok és amplitúdók, melyek esetén több harmonikus teljesen kioltja egymást. Egy ilyen kioltási feltételt mutat az ábra három azonos amplitúdójú harmonikus hullám esetére. Az ábráról könnyen leolvasható, hogy a példában támasztott feltételeknek az felel meg, ha a fázorokat reprezentáló vektorokat sorba rajzolva [[Háromszög|egyenlő szárú háromszöget]] kapunk, azaz a fáziseltolásoknak 120°-osnak (2π/3 radiánnak) kell lennie, ahogy az a szokásos háromfázisú hálózati váltakozó feszültség esetén is szokásos.

Mindez a harmonikus hullámokkal felírva az alábbiakat jelenti:
: <math>\cos(\omega t) + \cos(\omega t + 2\pi/3) + \cos(\omega t -2\pi/3) = 0.\,</math>

== Fázordiagramok ==
A villamosmérnöki gyakorlatban a fázordiagramokat az amplitúdó- és fázisviszonyok jelölésére alkalmazzák. A fázorokat vektorokként, műveleteiket vektorműveletekként ábrázolják a komplex síkon. Alkalmaznak Descartes- és polárkoordinátás jelölést is, melyek különböző esetekben előnyösek: a Descartes koordinátákkal a valós és képzetes részeket, míg a polárkoordinátákkal az amplitúdót és a fázist egyszerűbb megadni.
== Alkalmazások ==

=== Áramköri törvényszerűségek ===
Fázorok segítségével az egyenfeszültségű áramköri törvények egy része kiterjeszthető az egyensúlyi váltakozófeszültségű áramkörökre. 
* '''Ohm-törvény ellenállásokra:''' mivel az ellenállások nem okoznak fáziskésést, így a forrás fázisa nem változik. Tehát a U=''IR'' összefüggés továbbra is érvényes.
* '''Ohm-törvény ellenállásokat, kondenzátorokat és tekercseket is tartalmazó áramkörökre:''' Ekkor a fázisviszonyokat is figyelembe vevő U=&nbsp;''IZ'' összefüggésre kell áttérni, ahol ''Z'' a komplex [[impedancia]]. 
* A teljesítmény jellemzésére bevezethető a [[komplex teljesítmény]] ''S''&nbsp;=&nbsp;''P''&nbsp;+&nbsp;''jQ'' alakban, mellyel a fázorformalizmusban a komplex ''S''&nbsp;=&nbsp;''UI''<sup>*</sup> kifejezés adja meg a komplex teljesítményt ( ''I''<sup>*</sup> az áram fázorának [[komplex konjugált]]ja, I és U pedig az áram és feszültség [[Négyzetes közép|RMS]]-időátlaga).
* [[Kirchhoff-törvények|Kirchhoff törvényei]] fázorok esetén is érvényesek, komplex formában.
Ezek értelmében az egy frekvencián üzemelő váltakozófeszültségű áramkörök áramköri törvényszerűségei könnyen meghatározhatók. Többfrekvenciás esetben pedig tekinthetjük az egyes frekvenciákat külön-külön, és ha nem lép fel nemlineáris jelenség, az egyes frekvenciákra kapott eredmények szuperpozíciója adja a többfrekvenciás rendszerre a megoldást.

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Rezgőkörök]]
* [[Laplace-transzformáció]]

== Jegyzetek ==
{{Reflist|2}}

== További olvasnivaló ==
* {{Hivatkozás/Könyv|author = Douglas C. Giancoli|title = Physics for Scientists and Engineers|publisher = Prentice Hall|year = 1989|isbn = 0-13-666322-2}}
* {{Hivatkozás/Könyv|last1 = Dorf|first1 = Richard C.|first2 = Ronald J.|last2 = Tallarida|title = Pocket Book of Electrical Engineering Formulas|publisher = CRC Press|edition = 1|date = 1993-07-15|location = Boca Raton,FL|pages = 152–155|isbn = 0849344735}}
* {{Hivatkozás/Könyv|title = Elektrodinamika|last = Nagy|first = Károly|publisher = Nemzeti Tankönyvkiadó|url = http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/2011_0001_519_42143-I_Elektrodinamika_I/2011_0001_519_42143-I_Elektrodinamika_I.pdf|format = PDF|authorlink = Nagy Károly (fizikus)|accessdate = 2016-02-24|origyear = 1968|year = 2002|isbn = 9789631939545|location = Budapest}}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory]
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Visual Representation of Phasors]
* [http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html Polar and Rectangular Notation]

== Fordítás ==
{{Fordítás|en|Phasor|oldid = 705960957}}
{{Portál|Fizika}}

[[Kategória:Villamos energia]]
[[Kategória:Trigonometria]]
[[Kategória:Mérnöki tudományok]]