Erdős–Ulam-probléma forrásának megtekintése

{{megoldatlan|A|matematika|Létezik-e az euklideszi síknak olyan [[sűrű részhalmaz]]a, melynek pontjai racionális távolságokra helyezkednek el egymástól?}}
A [[matematika]] területén az '''Erdős–Ulam-probléma''' azt a kérdést veti fel, hogy vajon a síknak léteznek-e olyan [[sűrű részhalmaz]]ai, melyek pontjainak [[euklideszi távolság]]ai kivétel nélkül [[racionális szám]]ok. A probléma nevét [[Erdős Pál]]ról és [[Stanisław Ulam]]ról kapta.

==Nagy ponthalmazok racionális távolságokkal==
Az [[Erdős–Anning-tétel]] kimondja, hogy az egymástól [[egész szám|egész]] távolságra lévő pontok vagy véges számúak, vagy mind egyetlen egyenesen fekszenek.<ref>{{citation
 | first1 = Norman H.
 | last1 = Anning
 | first2 = Paul
 | last2 = Erdős
 | authorlink2 = Erdős Pál
 | title = Integral distances
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | volume = 51
 | pages = 598–600
 | year = 1945
 | url = http://www.ams.org/bull/1945-51-08/S0002-9904-1945-08407-9/
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9
 | issue = 8}}.</ref> Léteznek azonban egyéb végtelen ponthalmazok, melyek távolsága racionális. Például az [[egységkör]]ön ''S'' legyen a következő pontok halmaza:
:<math>(\cos\theta,\sin\theta)</math>,
ahol <math>\theta</math>-t azokra az értékekre korlátozzuk, melyekre <math>\tan\tfrac{\theta}{4}</math> racionális szám. Ezeknél a pontoknál <math>\sin\tfrac{\theta}{2}</math> és <math>\cos\tfrac\theta 2</math> maguk is racionálisak, és ha <math>\theta</math> és <math>\phi</math> ''S''-beli pontok, akkor távolságuk a következő racionális szám:

: <math> \left| 2\sin\frac \theta 2 \cos\frac \varphi 2 -2\sin\frac \varphi 2 \cos\frac \theta 2 \right|.</math>

Általánosabban, egy <math>\rho</math> sugarú kör pontosan akkor tartalmazza egymástól racionális távolságra lévő pontok sűrű részhalmazát, ha <math>\rho^2</math> racionális.<ref name="kw">{{citation
 | last1 = Klee | first1 = Victor | author1-link = Victor Klee
 | last2 = Wagon | first2 = Stan | author2-link = Stan Wagon
 | contribution = Problem 10 Does the plane contain a dense rational set?
 | isbn = 978-0-88385-315-3
 | pages = 132–135
 | publisher= Cambridge University Press
 | series = Dolciani mathematical expositions
 | title = Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory
 | url = https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA132
 | volume= 11
 | year = 1991}}.</ref> Ezek a halmazok azonban csak a körön sűrűek, nem az egész síkot tekintve.

==Történet és részeredmények==
1946-ban [[Stanisław Ulam]] lengyel-amerikai matematikus vetette fel a kérdést, hogy vajon létezik-e olyan, egymástól racionális távolságra lévő pontokból álló halmaz, mely az [[euklideszi sík]] [[sűrű részhalmaz]]át alkotja.<ref name="kw" /> Erdős sejtése az volt, hogy ha egy ''S'' halmaz sűrű racionális részhalmazzal rendelkezik, akkor ''S''-nek nagyon speciálisnak kell lennie – egyenesen és körön kívül más ilyen ''S'' halmaz nem ismert.
Bár Ulam kérdése továbbra is nyitott, [[Solymosi József (matematikus)|Solymosi József]] és Frank de Zeeuw megmutatták, hogy az irreducibilis [[algebrai görbe|algebrai görbék]] közül valóban csak egyenesek és körök tartalmaznak végtelen sok, egymástól racionális távolságra lévő pontot.<ref>{{citation
 | last1 = Solymosi | first1 = József | author1-link = Solymosi József (matematikus)
 | last2 = de Zeeuw | first2 = Frank
 | arxiv = 0806.3095
 | doi = 10.1007/s00454-009-9179-x
 | issue = 2
 | journal = [[Discrete and Computational Geometry]]
 | mr = 2579704
 | pages = 393–401
 | title = On a question of Erdős and Ulam
 | volume = 43
 | year = 2010}}</ref> [[Terence Tao]] későbbi később rámutatott, hogy ha a [[Bombieri–Lang-sejtés]] igaznak bizonyul, az ott felhasznált módszerekkel megmutatható, hogy a síkban nincsenek egymástól racionális távolságra lévő, sűrű végtelen ponthalmazok.<ref>{{citation|url=https://terrytao.wordpress.com/2014/12/20/the-erdos-ulam-problem-varieties-of-general-type-and-the-bombieri-lang-conjecture/|title=The Erdos-Ulam problem, varieties of general type, and the Bombieri-Lang conjecture|last=Tao|first=Terence|authorlink=Terence Tao|date=2014-12-20|website=What's new|publisher=|access-date=2016-12-05}}</ref> Más módszerekkel [[Hector Pasten]] igazolta, hogy az [[abc-sejtés]] beigazolódása szintén negatívan döntené el az Erdős–Ulam-problémát.<ref>
{{citation
 | last1 = Pasten | first1 = Hector
 | doi = 10.1007/s00605-016-0973-2
 | issue = 1
 | journal = [[Monatshefte für Mathematik]]
 | mr = 3592123
 | pages = 99-126
 | title = Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets
 | volume = 182
 | year = 2017}}
</ref>

==Következmények==
Ha az Erdős–Ulam-problémára pozitív válasz születne, ellenpéldát nyújtana mind a Bombieri–Lang-sejtésre, mind az abc-sejtésre. Emellett megoldaná a [[síkbarajzolható gráf]]ok egész hosszúságú élekkel történő síkba rajzolásával foglalkozó [[Harborth-sejtés]]t: ha létezne a síknak sűrű, racionális távolságú részhalmaza, bármely síkbarajzolható gráf a [[Fáry-tétel]] alapján létező egyenes vonalú lerajzolása minimális módosítással átalakítható lenne úgy, hogy ennek a halmaznak a pontjait használja csúcsokként, majd átméretezhető úgy, hogy a racionális távolságok egész számokká alakuljanak.

==Fordítás==
* {{fordítás|en|Erdős–Ulam problem|oldid=858676738|n=az|4=angol}}

==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}

[[Kategória:A síkgeometria számelméleti problémái]]
[[Kategória:Erdős Pál]]