Erdős–Straus-sejtés forrásának megtekintése

{{Megoldatlan|A|matematika|Rendelkezik-e {{math|1=4/n = 1/x + 1/y + 1/z}} pozitív egész megoldással minden {{math|n ≥ 2}} egészre?}}
Az '''Erdős–Straus-sejtés''' a [[számelmélet]] területének egy [[sejtés]]e, mely kimondja, hogy minden ''n'' ≥ 2 [[egész szám]] esetén a 4/''n'' [[racionális szám]] kifejezhető három [[egységtört]] összegeként (ismert tény, hogy minden racionális szám felírható véges számú egységtört összegeként). A sejtést 1948-ban fogalmazta meg [[Erdős Pál]] és [[Ernst G. Straus]].<ref>Lásd pl. {{harvtxt|Elsholtz|2001}}. A legkorábbi ismert publikációja azonban valószínűleg {{harvtxt|Erdős|1950}}.</ref> Egyike az [[Erdős Pál sejtéseinek listája|Erdős által megfogalmazott számos sejtésnek]].

Formálisabban megfogalmazva, a sejtés kimondja, hogy minden ''n'' ≥ 2 egész számhoz létezik ''x'', ''y'' és ''z'' pozitív egész, ahol
:<math>\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.</math>
Ezek az egységtörtek megadják a 4/''n'' [[egyiptomi tört]]ekkel való felírásának módját. Például az ''n'' = 5 esetben két megoldás is létezik:
:<math>\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac12+\frac15+\frac1{10}.</math>

A probléma nehézségéhez nagyban hozzájárul a kikötés, hogy ''x'', ''y'' és ''z'' is pozitív legyen. Ha megengedjük a negatív értékeket, a probléma triviálisan megoldható lenne. Továbbá, ha ''n'' [[összetett szám]], azaz ''n'' = ''pq'', akkor a 4/''n'' felbontása azonnal megoldható a 4/''p'' vagy a 4/''q'' segítségével. Tehát, ha létezik ellenpélda az Erdős–Straus-sejtésre, akkor a legkisebb ''n'' ellenpéldának [[prímszám]]nak kellene lennie, továbbá mindössze 6, [[840 (szám)|840-nel]] való osztáskor kapott maradékosztályba tartozhat.<ref name="Mordell">{{harvtxt|Mordell|1967}}.</ref> Számítógépes kereséssel a sejtést ''n''&nbsp;≤&nbsp;10<sup>14</sup>-ig igazolták,<ref name="swett">{{citation
 |last      = Swett
 |first      = Allan
 |title      = The Erdos-Straus Conjecture
 |url      = http://math.uindy.edu/swett/esc.htm
 |accessdate      = 2006-09-09
 |archívurl      = https://web.archive.org/web/20060803103919/http://math.uindy.edu/swett/esc.htm
 |archívdátum      = 2006-08-03
 }}.</ref> de tetszőleges ''n'' értékre továbbra is eldöntetlen.

==Háttér==
A racionális számok egységtörtek összegeként való felírásával már az [[A matematika története#Egyiptom|ókori Egyiptom matematikusai]] is foglalkoztak, akik a tört számok leírására ezt az [[egyiptomi tört]] alakot használták. Az egyiptomiak által készített táblázatok, amilyen a [[Rhind-papirusz]], tartalmazták a 2/''n'' alakú törtek egységtört-felírását, amihez a legtöbb esetben mindössze két vagy három tagra volt szükségük.

Az [[Egyiptomi törtek mohó algoritmusa|egyiptomi törteket előállító]] [[mohó algoritmus]] először [[Fibonacci]] 1202-ben kiadott könyvében, a [[Liber Abaci]]ben szerepelt. Az algoritmus olyan felbontást keres, ahol a soron következő egységtört a legnagyobb, amely nem nagyobb a maradék kifejezni kívánt számnál. 2/''n'' vagy 3/''n'' alakú törteket a mohó algoritmus legfeljebb két vagy három tag segítségével előállítja. Általánosabban, megmutatható, hogy a 3/''n'' alakú törtek pontosan akkor írhatók fel két taggal, ha ''n''-nek van olyan osztója, ami 3-mal osztva 2 maradékot ad (azaz ≡ 2 mod 3), egyébként három taggal írhatók csak fel.<ref>{{harvtxt|Eppstein|1995}}.</ref>

Tehát a 2 vagy 3 számlálójú törteknél teljes mértékben tisztázott a kérdés, hogy hány egységtört-taggal írhatók fel, a 4/''n'' alakú törtek az első eset, ahol nem ismert, hogy a legrosszabb esetben hány tagra van szükség. A mohó algoritmus kettő, három vagy négy tagból álló felbontást ad, az ''n'' modulo 4 értékétől függően; ha ''n'' ≡ 1 (mod 4), a mohó algoritmus négytagú felbontást produkál. Tehát a 4/''n'' egyiptomi törtekkel való felírásának legrosszabb esete három vagy négy. Az Erdős–Straus-sejtés azt mondja ki, hogy ebben az esetben is, ugyanúgy, mint amikor a számlálóban 3 állt, a felírás elvégezhető három taggal.

==Moduláris aritmetikai azonosságok==
Ha a 4/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''&nbsp;+&nbsp;1/''y''&nbsp;+&nbsp;1/''z'' egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ''nxyz''-zel, a következő, az eredetivel ekvivalens alakhoz jutunk: 4''xyz''&nbsp;=&nbsp;''n''(''xy''&nbsp;+&nbsp;''xz''&nbsp;+&nbsp;''yz'').<ref>Lásd pl. {{harvtxt|Sander|1994}}-nél egy egyszerűbb diofantoszi felírást, ahol specifikusan feltételezi, hogy ''x'', ''y'', és ''z'' közül melyik osztható ''n''-nel.</ref> Egész változós [[polinom]] egyenletként ez a [[diofantoszi egyenlet]]ek közé tartozik. A [[Hasse-elv]] kimondja, hogy a diofantoszi egyenletek egész megoldásai megkaphatók a minden lehetséges [[prímszám]] szerinti maradékosztály szerint vett megoldások kombinálásával. Ránézésre a Hasse-elvnek nem sok értelme van az Erdős–Straus-sejtés esetében, hiszen a 4''xyz''&nbsp;=&nbsp;''n''(''xy''&nbsp;+&nbsp;''xz''&nbsp;+&nbsp;''yz'') egyenlet könnyen megoldható bármilyen prímszám szerinti maradékosztályok szerint. Mégis, a moduláris azonosságok nagyon hasznos eszközt nyújtanak a sejtés tanulmányozásához.

Bizonyos kongruenciarelációkat kielégítő ''n''-ek esetében a 4/''n'' automatikusan, polinomiális azonosságként felírható. Például minden esetben, amikor ''n'' ≡ 2 (mod 3), a 4/''n'' felírása automatikusan következik:
:<math>\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n-2)/3+1} + \frac{1}{n((n-2)/3+1)}.</math>
Itt mindhárom nevező, az ''n'', az (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2)/3&nbsp;+&nbsp;1 és az ''n''((''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2)/3&nbsp;+&nbsp;1) is ''n''-nek a polinomja, továbbá mindhárom egész értéket vesz fel, ha ''n'' ≡ 2 (mod 3).
A már említett mohó algoritmus azokra az esetekre talál három vagy kevesebb tagból álló megoldást, amikor ''n'' nem ≡ 1 vagy 17 (mod 24), az ''n'' ≡ 17 (mod 24) esetet viszont lefedi a 2 (mod 3) reláció, tehát az egyetlen fennmaradó eset, amire a két módszer nem talál három vagy kevesebb tagból álló megoldást, az az ''n'' ≡ 1 (mod 24).

Ha lehetséges lenne elég sok, a fentiekhez hasonló megoldást találni különböző modulusokra oly módon, hogy azok a kongruenciák teljes [[Lefedőrendszer (számelmélet)|lefedőrendszerét]] alkossák, a probléma meg is lenne oldva. Azonban, ahogy azt {{harvtxt|Mordell|1967}} megmutatta, a polinomazonosság, ami megoldást nyújt az ''n'' értékekre ≡ ''r'' (mod ''p'') csak akkor létezhet, amikor az ''r'' nem [[kvadratikus maradék]] modulo ''p''. Például a 2 nem kvadratikus maradék modulo 3, így az azonosság létezése az ''n'' ≡ 2 (modulo 3) értékekre nem mond ellent Mordell eredményének, ellenben 1 kvadratikus maradék modulo 3, tehát Mordell eredménye bizonyítja, hogy nem létezhet hasonló azonosság az ''n'' ≡ 1 (modulo 3) értékekre.

Mordell polinomazonosságokról készített listájában szerepelnek 4/''n''-t három tagból előállító azonosságok, azokra az esetekre, ha ''n'' ≡ 2 mod 3 (mint fent), n ≡ 3 (mod 4), n ≡ 5 (mod 8), n ≡ 2 vagy 3 (mod 5), illetve n ≡ 3, 5 vagy 6 (mod 7). Ezek az azonosságok lefedik az összes számot, amik kvadratikus nem-maradékok ezekre a modulusokra nézve. Nagyobb modulusoknál azonban nem sikerült az összes nem-maradékot lefedni hasonló relációkkal. Mordell azonosságaiból következik, hogy létezik megoldás az összes ''n''-re, kivéve talán azokat, ahol n ≡ 1, 121, 169, 289, 361 vagy 529 (mod 840). 1009 a legkisebb prímszám, ami nincs lefedve ezzel a kongruenciarendszerrel. Még több moduláris azonosságot kombinálva Webb és mások megmutatták, hogy a lehetséges ellenpéldák száma az ''n'' nevezőjű törtnél az [1,''N''] intervallumban nullához tart, ha ''N'' tart a végtelenhez.<ref>{{harvtxt|Webb|1970}}</ref>

Mordell a kongruenciaazonosságok formáját korlátozó eredményének dacára van még némi remény, hogy lehetséges moduláris azonosságokkal bizonyítani az Erdős–Straus-sejtést. Egyetlen prímszám sem lehet teljes négyzet, ezért a [[Hasse–Minkowski-tétel]]<ref>{{Cite web |url=https://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mat/2013/bognar_barna.pdf |title=A Hasse–Minkowski-tétel (BSc szakdolgozat) |accessdate=2014-05-03 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140503132428/https://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mat/2013/bognar_barna.pdf |archivedate=2014-05-03 }}</ref> értelmében minden ''p'' prímszámhoz található egy nála nagyobb ''q'' prímszám, ahol ''p'' nem kvadratikus maradék modulo ''q''. A sejtés bizonyításának egy lehetséges megközelítése az lenne, hogy minden ''p'' prímhez találni kellene egy nála nagyobb ''q'' prímszámot, és egy kongruenciát, ami megoldja a 4/''n'' problémát ''n'' ≡ ''p'' (mod ''q'')-ra; ha ez lehetséges, akkor egyetlen ''p'' prím sem lehetne a sejtés ellenpéldája, így a sejtés igazolt lenne.

==Részeredmények számítógépes ellenőrzéssel==
Különböző szerzők értek el eredményeket ellenpéldák [[brute-force keresés]]ével; ezek a keresések nagyban felgyorsíthatók, ha csak az ismert kongruenciarelációk által le nem fedett prímszámok között végzik a keresést.
A sejtést az ''n''&nbsp;≤&nbsp;5000 esetre maga Straus, ''n''&nbsp;≤&nbsp;8000-re Bernstein, ''n''&nbsp;≤&nbsp;{{szám|20000}}-re Shapiro, ''n''&nbsp;≤&nbsp;{{szám|106128}}-ra Obláth, ''n''&nbsp;≤&nbsp;10<sup>7</sup>-re Yamamoto igazolta.<ref>{{harvtxt|Obláth|1950}}; {{harvtxt|Rosati|1954}}; {{harvtxt|Kiss|1959}}; {{harvtxt|Bernstein|1962}}; {{harvtxt|Yamamoto|1965}}; {{harvtxt|Terzi|1971}}; {{harvtxt|Jollensten|1976}}; {{harvtxt|Kotsireas|1999}}.</ref> Hasonló kereséssel Allan Swett igazolta, hogy a sejtés igaz minden ''n''&nbsp;≤&nbsp;10<sup>14</sup> esetre.<ref name="swett"/>

==A megoldások száma==
A 4/''n'' probléma különböző megoldásainak számát, ''n'' függvényében, számítógépes segítséggel szintén meghatározták kis ''n'' értékekre, és úgy tűnik, ''n''-nel együtt kissé szabálytalanul növekszik. Kezdve ''n'' = 3-mal, a különböző nevezők különböző megoldásainak száma:
:1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... {{OEIS | id = A073101}}.
Még nagyobb ''n''-ekre is előfordulhat, hogy viszonylag kevés eltérő megoldás létezik; például az ''n'' = 73 esetre mindössze hét.

{{harvtxt|Elsholtz|Tao|2011}} megmutatta, hogy a 4/''n'' probléma lehetséges megoldásainak számának átlagára (ha az ''n''-ig vett prímszámokra átlagolunk) létezik ''n'' [[polilogaritmikus függvény]]e szerinti [[felső korlát]]. Más diofantoszi problémáknál előfordul olyan bizonyítás, ahol a megoldás létezését a megoldások számára adott [[aszimptotikus]] [[alsó korlát]] létezésének bizonyításával igazolják, de az ilyen típusú bizonyítások főként az olyan problémáknál működnek, ahol a megoldások száma polinomiálisan növekszik, így Elsholtz és Tao eredménye ezt a fajta megoldást valószínűtlenné teszi.<ref>[http://terrytao.wordpress.com/2011/07/07/on-the-number-of-solutions-to-4p-1n_1-1n_2-1n_3/ On the number of solutions to 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3], [[Terence Tao]], "What's new", July 7, 2011.</ref> Elsholtz és Tao a megoldások számával kapcsolatos bizonyításukban felhasználják a [[Bombieri–Vinogradov-tétel]]t, a [[Brun–Titchmarsh-tétel|Brun–Titchmarsh-féle egyenlőtlenséget]], valamint moduláris azonosságok egy rendszerét, melyek akkor érvényesülnek, ha ''n'' ≡ &minus;''c'' vagy &minus;1/''c'' (modulo 4''ab''), ahol ''a'' és ''b'' tetszőleges [[relatív prímek]], ''c'' pedig az ''a''&nbsp;+&nbsp;''b'' bármelyik páratlan osztója. Például az ''a''&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;1 az egyik Mordell-azonosságot adja, ami akkor érvényes, ha ''n'' ≡ 3&nbsp;(mod&nbsp;4).

==Negatív számos megoldások==
A megszorítás, hogy ''x'', ''y'' és ''z'' is pozitív legyen, megalapozza a probléma nehézségi fokát; ha ugyanis negatív értékeket is megengednék, a probléma triviálisan megoldható volna a következő két azonosság bármelyikének segítségével:
:<math>\frac{4}{4k+1} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k(4k+1)}</math>
vagy
:<math>\frac{4}{4k-1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k(4k-1)}.</math>

Páratlan ''n''-ekre ráadásul három tagból álló, egy negatív tagot tartalmazó megoldás mindig lehetséges:<ref>{{harvtxt|Jaroma|2004}}.</ref>
:<math>\frac{4}{n}=\frac{1}{(n-1)/2}+\frac{1}{(n+1)/2}-\frac{1}{n(n-1)(n+1)/4}.</math>

==Általánosítások==
A sejtés egy általánosítása kimondja, hogy minden pozitív ''k''-hoz létezik egy olyan ''N'' szám, hogy minden ''n'' ≥ ''N''-re van a pozitív egész számok körében megoldása a ''k''/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z'' egyenletnek. A sejtés ilyen jellegű változatát ''k''&nbsp;=&nbsp;5 esetre [[Wacław Sierpiński]] mondta ki, a teljes általánosított változat [[Andrzej Schinzel]] eredménye.<ref>{{harvtxt|Sierpiński|1956}}; {{harvtxt|Vaughan|1970}}.</ref>

Még ha az általánosított Erdős–Straus-sejtés nem is bizonyul igaznak bármely fix ''k'' értékre, akkor is kimondható, hogy az olyan, három taggal ki nem fejezhető ''k''/''n'' törtek száma, ahol az ''n'' értéke 1 és ''N'' közé esik, ''N'' függvényében a lineárisnál gyengébben nőhet csak.<ref name="sparse">{{harvtxt|Webb|1970}}; {{harvtxt|Vaughan|1970}}; {{harvtxt|Li|1981}}; {{harvtxt|Yang|1982}}; {{harvtxt|Ahmadi|Bleicher|1998}}; {{harvtxt|Elsholtz|2001}}.</ref> Így tehát ha az eredeti Erdős–Straus-sejtés maga (tehát a ''k''&nbsp;=&nbsp;4 eset) tévesnek bizonyul, akkor az ellenpéldák száma csak a lineárisnál gyengébben nőhet. Még erősebb állítás, hogy bármely fix ''k'' értékre csak szublineáris számú olyan ''n'' létezik, ami kettőnél több egyiptomi tört tag összegeként állna elő.<ref>{{harvtxt|Hofmeister|Stoll|1985}}.</ref> A sejtés általánosított változata ekvivalens azzal állítással, hogy a fel nem bontható törtek száma nem csak szublineáris, de korlátos.

Ha ''n'' [[páratlan szám]], a „páratlan mohó felbontás algoritmusa” szerint kereshetjük a ''k''/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''&nbsp;+&nbsp;1/''y''&nbsp;+&nbsp;1/''z'' egyenlet olyan megoldásait, ahol ''x'', ''y'' és ''z'' különböző, pozitív páratlan számok. Tudjuk, hogy az egyenletnek mindig létezik ilyen megoldása a ''k''&nbsp;=&nbsp;3 esetben.<ref>{{harvtxt|Schinzel|1956}}; {{harvtxt|Suryanarayana|Rao|1965}}; {{harvtxt|Hagedorn|2000}}.</ref>

==További információk==
*{{mathworld|title = Erdos-Straus Conjecture | urlname = Erdos-StrausConjecture}}
*[http://terrytao.wordpress.com/2011/07/31/counting-the-number-of-solutions-to-the-erdos-straus-equation-on-unit-fractions/ Counting the number of solutions to the Erdös-Straus equation on unit fractions], [[Terence Tao]], July 31, 2011.

==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}
{{refbegin|2}}
*{{citation
 | last1 = Ahmadi | first1 = M. H.
 | last2 = Bleicher | first2 = M. N.
 | mr = 1666363
 | issue = 2
 | journal = International Journal of Mathematical and Statistical Sciences
 | pages = 169–185
 | title = On the conjectures of Erdős and Straus, and Sierpiński on Egyptian fractions
 | volume = 7
 | year = 1998}}.
*{{citation
 | last = Bernstein | first = Leon
 | mr = 0142508
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | language = German
 | pages = 1–10
 | title = Zur Lösung der diophantischen Gleichung ''m''/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''&nbsp;+&nbsp;1/''y''&nbsp;+&nbsp;1/''z'', insbesondere im Fall ''m''&nbsp;=&nbsp;4
 | volume = 211
 | year = 1962}}.
*{{citation
  | last = Elsholtz | first = Christian
  | title = Sums of ''k'' unit fractions
  | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
  | volume = 353
  | issue = 8
  | pages = 3209–3227
  | year = 2001
  | mr = 1828604
  | doi = 10.1090/S0002-9947-01-02782-9}}.
*{{citation
  | last1 = Elsholtz | first1 = Christian
 | last2= Tao | first2 = Terence | author2-link = Terence Tao
 | title = Counting the number of solutions to the Erdős–Straus equation on unit fractions
 | url = http://terrytao.files.wordpress.com/2011/07/egyptian-count13.pdf
 | arxiv = 1107.1010
 | year = 2011}}.
*{{citation
 | last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
 | issue = 2
 | journal = Mathematica in Education and Research
 | pages = 5–15
 | contribution = Small numerators
 | title = Ten algorithms for Egyptian fractions
 | url = http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/smallnum.html
 | volume = 4
 | year = 1995}}
*{{citation
  | last = Erdős | first = Paul
  | authorlink = Paul Erdős
  | title = Az 1/''x''<sub>1</sub> + 1/''x''<sub>2</sub> + ... + 1/''x''<sub>n</sub> = a/b egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine Equation)
  | language = Hungarian
  | journal = Mat. Lapok.
  | volume = 1
  | pages = 192–210
  | year = 1950
  | url = http://www.renyi.hu/~p_erdos/1950-02.pdf
  | mr = 0043117}}.
*{{citation
  | authorlink = Richard K. Guy | last = Guy | first = Richard K.
  | title = Unsolved Problems in Number Theory
  | edition = 3rd
  | publisher = [[Springer Verlag]]
  | year = 2004
  | isbn = 0-387-20860-7
  | pages = D11 }}.
*{{citation
  | last = Hagedorn | first = Thomas R.
  | title = A proof of a conjecture on Egyptian fractions
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | volume = 107
  | pages = 62–63
  | year = 2000
  | mr = 1745572
  | doi = 10.2307/2589381
  | issue = 1
  | publisher = Mathematical Association of America
  | jstor = 2589381}}.
*{{citation
 | last1 = Hofmeister | first1 = Gerd
 | last2 = Stoll | first2 = Peter
 | mr = 809971
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | pages = 141–145
 | title = Note on Egyptian fractions
 | volume = 362
 | year = 1985}}.
*{{citation
 | last = Jaroma
 | first = John H.
 | issue = 1
 | journal = Crux Mathematicorum
 | pages = 36–37
 | title = On expanding 4/''n'' into three Egyptian fractions
 | url = http://cms.math.ca/crux/v30/n1/page36-37.pdf
 | volume = 30
 | year = 2004
 }} {{Wayback|url=http://cms.math.ca/crux/v30/n1/page36-37.pdf |date=20110716145632 }}.
*{{citation
 | last = Jollensten | first = Ralph W.
 | contribution = A note on the Egyptian problem
 | mr = 0429735
 | location = Winnipeg, Man.
 | pages = 351–364
 | publisher = Utilitas Math.
 | series = Congressus Numerantium
 | title = Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976)
 | volume = XVII
 | year = 1976}}.
*{{citation
 | last = Kiss | first = Ernest
 | mr = 0125069
 | journal = Acad. R. P. Romîne Fil. Cluj Stud. Cerc. Mat.
 | pages = 59–62
 | title = Quelques remarques sur une équation diophantienne
 | language = Romanian
 | volume = 10
 | year = 1959}}.
*{{citation
 | last = Kotsireas | first = Ilias
 | contribution = The Erdős-Straus conjecture on Egyptian fractions
 | mr = 1901903
 | location = Budapest
 | pages = 140–144
 | publisher = János Bolyai Math. Soc.
 | title = Paul Erdős and his mathematics (Budapest, 1999)
 | year = 1999}}.
*{{citation
  | last = Li | first = De Lang
  | title = Equation 4/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z''
  | journal = [[Journal of Number Theory]]
  | volume = 13
  | issue = 4
  | pages = 485–494
  | year = 1981
  | mr = 0642923
  | doi = 10.1016/0022-314X(81)90039-1}}.
*{{citation
  | last = Mordell | first = Louis J.
  | authorlink = Louis Mordell
  | title = Diophantine Equations
  | publisher = Academic Press
  | year = 1967
  | pages = 287–290}}.
*{{citation
 | last = Obláth | first = Richard
 | mr = 0038999
 | journal = [[Mathesis (journal)|Mathesis]]
 | pages = 308–316
 | title = Sur l'équation diophantienne 4/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;1/''x''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;1/''x''<sub>3</sub>
 | language = French
 | volume = 59
 | year = 1950}}.
*{{citation
 | last = Rosati | first = Luigi Antonio
 | mr = 0060526
 | journal = Boll. Un. Mat. Ital. (3)
 | language = Italian
 | pages = 59–63
 | title = Sull'equazione diofantea 4/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;1/''x''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;1/''x''<sub>3</sub>
 | volume = 9
 | year = 1954}}.
*{{citation
 | last = Sander | first = J. W.
 | doi = 10.1006/jnth.1994.1008
 | issue = 2
 | journal = Journal of Number Theory
 | mr = 1269248
 | pages = 123–136
 | title = On 4/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''&nbsp;+&nbsp;1/''y''&nbsp;+&nbsp;1/''z'' and Iwaniec' half-dimensional sieve
 | volume = 46
 | year = 1994}}.
*{{citation
 | last = Schinzel | first = André | authorlink = Andrzej Schinzel
 | mr = 0080683
 | journal = [[Mathesis (journal)|Mathesis]]
 | language = French
 | pages = 219–222
 | title = Sur quelques propriétés des nombres 3/''n'' et 4/''n'', où ''n'' est un nombre impair
 | volume = 65
 | year = 1956}}.
*{{citation
  | last = Sierpiński | first = Wacław
  | authorlink = Wacław Sierpiński
  | title = Sur les décompositions de nombres rationnels en fractions primaires
  | language = French
  | journal = [[Mathesis (journal)|Mathesis]]
  | year = 1956
  | volume = 65
  | pages = 16–32
  | mr = 0078385}}.
*{{citation
 | last1 = Suryanarayana | first1 = D.
 | last2 = Rao | first2 = N. Venkateswara
 | mr = 0202659
 | journal = J. Indian Math. Soc. (N.S.)
 | pages = 165–167
 | title = On a paper of André Schinzel
 | volume = 29
 | year = 1965}}.
*{{citation
 | last = Terzi | first = D. G.
 | doi = 10.1007/BF01934370
 | mr = 0297703
 | journal = Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT)
 | pages = 212–216
 | title = On a conjecture by Erdős-Straus
 | issue = 2
 | volume = 11
 | year = 1971}}.
*{{citation
 | last = Vaughan | first = R. C.
 | doi = 10.1112/S0025579300002886
 | mr = 0289409
 | issue = 02
 | journal = Mathematika
 | pages = 193–198
 | title = On a problem of Erdős, Straus and Schinzel
 | volume = 17
 | year = 1970}}
*{{citation
  | last = Webb | first = William A.
  | title = On 4/''n'' = 1/''x'' + 1/''y'' + 1/''z''
  | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
  | volume = 25
  | issue = 3
  | pages = 578–584
  | year = 1970
  | mr = 0256984
  | doi = 10.2307/2036647
  | publisher = American Mathematical Society
  | jstor = 2036647}}.
*{{citation
 | last = Yamamoto | first = Koichi
 | mr = 0177945
 | journal = Memoirs of the Faculty of Science. Kyushu University. Series A. Mathematics
 | pages = 37–47
 | title = On the Diophantine equation 4/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''&nbsp;+&nbsp;1/''y''&nbsp;+&nbsp;1/''z''
 | volume = 19
 | year = 1965
 | doi = 10.2206/kyushumfs.19.37}}.
*{{citation
 | last = Yang | first = Xun Qian
 | doi = 10.2307/2044050
 | mr = 660589
 | issue = 4
 | journal = Proceedings of the American Mathematical Society
 | pages = 496–498
 | title = A note on 4/''n''&nbsp;=&nbsp;1/''x''&nbsp;+&nbsp;1/''y''&nbsp;+&nbsp;1/''z''
 | volume = 85
 | year = 1982
 | jstor = 2044050}}.
{{refend}}

[[Kategória:Sejtések]]
[[Kategória:Egyiptomi törtek]]
[[Kategória:Diofantoszi egyenletek]]
[[Kategória:Erdős Pál]]