Dualitás a projektív geometriában forrásának megtekintése

A '''dualitás''' a [[projektív geometria|projektív geometriában]] a szimmetrikus axiómarendszer következménye. Azt jelenti, hogy például a síkban az egyenesek és pontok szerepe szimmetrikus. A projektív síkok pontok és egyenesek közötti illeszkedési relációja tulajdonképpen ''a pontot tartalmazza az egyenes'' és ''az egyenes átmegy a ponton'' relációk egyesítése. Ez a két utóbbi reláció szintén szimmetrikus szerepet kap a projektív síkon. Magasabb, de véges dimenzióban a dualitás az összes alteret és illeszkedésüket érinti.

A dualitásnak két különböző szemléletű megközelítése létezik. Az egyik a nyelvi, ami a szavakat cserélgeti, a másik a funkcionális, ami egy pont-egyenes, egyenes-pont illeszkedéstartó transzformációt definiál, és ezt dualitásnak nevezi. Ezzel a transzformációval egy duális síkot kapunk. Léteznek azonban [[véges geometria|véges síkok]], amik nem önmaguk duálisai; az ismert példák 9 rendű nem testre épített síkok. Önduális síkokon a dualitást mindig a bizonyítandó állításnak megfelelően választják.

==A dualitás elve==
Ha a projektív síkot axiomatikusan illeszkedési struktúraként definiáljuk, akkor definiálható egy duális sík.

Legyen ''C'' a sík, ''P'' a sík pontjainak, ''L'' az egyeneseinek halmaza, és jelölje ''I'' az illeszkedési relációt. Ekkor
:''C''=(''P'',''L'',''I'').

A duális sík az egyenesek és a pontok szerepének megcserélésével kapható:

:''C''* =(''L'',''P'',''I''*),

ahol ''I''* az illeszkedés duálisa a pontok és az egyenesek szerepének megcserélésével.

Ha ''C'' és ''C''* izomorf, akkor ''C'' önduális. A [[ferdetest]]re épített síkok önduálisak. De vannak nem Desargues-síkok, amik nem azok, például a [[Hall-sík]]ok, és vannak, amik viszont igen, például a [[Hughes-sík]]ok.

Ha mondunk egy állítást, ami egy projektív sík egyeneseiről, pontjairól és azok illeszkedéséről szól, akkor a pont, egyenes szavak felcserélésével és az ez által megkövetelt nyelvtani átalakítások elvégzésével az állítás duálisát kapjuk. Az ''illeszkedés'' szó helyett gyakran más igéket használunk, ezért ezek cseréjére is figyelni kell. Például a ''két pontra egyértelműen illeszkedik egy egyenes'' és ''két egyenes egy pontban metszi egymást'' duális állítások. A duális állítás kimondását dualizálásnak is nevezzük. Ha egy ilyen állítás igaz a ''C'' síkon, akkor a duális állítás teljesül a ''C''* duális síkon. A dualitás elve szerint önduális síkon az állítások dualizálása megőrzi az állítás igazságértékét.

Három dimenzióban a pontok és a síkok egymás duálisai, és az egyenesek önduálisak. Ez a térbeli dualitás elve. Mivel a [[Desargues-tétel]] három dimenzióban bizonyítható, ezért a legalább háromdimenziós projektív terek mind testre épített terek, így önduálisak. A dualitás elve magasabb dimenzióban is teljesül.

A dualitás miatt felmerül az igény arra, hogy az illeszkedést szimmetrikusnak határozzuk meg. Ezért az egyenes átmegy a ponton és a pont az egyenesen van helyett az illeszkedik szót részesítik előnyben.

'''Duális tételek:'''

A valós projektív síkon PG(2,'''R''')-en több ismert tétel van, melyek duálisai is nevezetes tételek:
* [[Desargues-tétel]] első fele ⇔ Desargues-tétel második fele
* [[Pascal-tétel]] ⇔ [[Brianchon-tétel]]
* [[Menelaosz-tétel]] ⇔ [[Ceva-tétel]]

==A dualitás, mint leképezés==
A sík dualitása a sík illeszkedéstartó leképezése a duális síkjára. Ez azt jelenti, hogy ha egy pont és egy egyenes illeszkedik, akkor a pont képeként kapott egyenes is illeszkedni fog az egyenes képeként kapott pontra. Ha a két sík izomorf, akkor ezek a leképezések a korrelációk.<ref>{{harvnb|Dembowski|1968}} pg.151.</ref>

Testre épített síkon bevezethetők a reciprocitások, amik egy testautomorfizmus és egy projektivitás szorzataként kaphatók.<ref>{{harvnb|Casse|2006}} pg.94.</ref> Ha a testautomorfizmus az identitás, akkor projektív korrelációról van szó. <!--Nem tudom, hogy lesz ez olyan leképezés, ami felcseréli a pontokat és az egyeneseket.-->

A másodrendű projektív korrelációkat polaritásnak is hívják. Egy φ korreláció, ami nem polaritás, önmagával szorozva nem identikus [[kollineáció]]t ad.

Magasabb dimenziókban is vannak hasonló leképezések, így ez is kiterjeszthető magasabb dimenzióba.

==Három dimenzióban==
A háromdimenziós projektív terekben a polaritások pontot síknak, síkot pontnak feleltetnek meg. Ezt leszűkítve kapható a poliéderek dualitása, amiben csúcsnak lap, lapnak csúcs felel meg. Így lesz az [[ikozaéder]] duálisa a [[dodekaéder]], és a [[kocka]] duálisa az [[oktaéder]].

==Magasabb dimenzióban==
A projektív síkok és a háromdimenziós projektív terek dualitását magasabb dimenziókra általánosítva a pontok hipersíkoknak felelnek meg, az egyenesek két hipersík metszetének, és így tovább, az ''r'' dimenziós altér megfelelője (''n''-1-''r'') dimenziós lesz, ahol ''n'' a projektív tér dimenziója.

A testre épített PG(''n'',''K'') projektív terek homogén koordinátákkal láthatók el. Ez azt jelenti, hogy ''n''+1 hosszú vektorokat képezünk a ''K'' test elemeiből vett koordinátákkal, és azonosnak tekintünk két vektort, ha nem nulla konstanssal szorozva egyenlőkké tehetők. Egy másik módszer, ha az adott test fölötti ''n'' dimenziós vektorteret beágyazzuk az (''n''+1) dimenziós vektortérbe úgy, hogy az utolsó koordinátája egy legyen. Ekkor az origón átmenő egyenesek megfeleltethetők az ''n'' dimenziós projektív tér pontjainak. Az ''n'' dimenziós alteret metsző egyenesek a tér közönséges pontjai lesznek, a vele párhuzamosak pedig a tér ideális pontjainak feleltethetők meg. Általában, a ''K''<sup>''l''</sup> dimenziós altér a projektív tér (''l''-1) dimenziós altere lesz.

A ''K''<sup>''n''&nbsp;+&nbsp;1</sup>-beli nem nulla '''u''' = ''(u<sub>0</sub>,u<sub>1</sub>,...,u<sub>n</sub>)'' vektor szintén meghatároz egy H<sub>'''u'''</sub> (n - 1) dimenziós projektív teret, ahol

:H<sub>'''u'''</sub> = {''(x<sub>0</sub>,x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>)'' : ''u<sub>0</sub>x<sub>0</sub>'' + … + ''u<sub>n</sub>x<sub>n</sub>'' = 0 }.

Ha az '''u''' vektor hipersíkot ad meg, akkor '''u'''<sub>H</sub> jelöli, ha pontot, akkor '''u'''<sub>P</sub>. A szokásos skaláris szorzatos jelöléssel H<sub>'''u'''</sub> = {'''x'''<sub>P</sub> : '''u'''<sub>H</sub> • '''x'''<sub>P</sub> = 0}. Mivel a ''K'' test kommutatív, ezért a skalárszorzat is az, ami azt jelenti, hogy:

'''u'''<sub>H</sub>•'''x'''<sub>P</sub> = ''u<sub>0</sub>x<sub>0</sub>'' + ''u<sub>1</sub>x<sub>1</sub>'' + ... + ''u<sub>n</sub>x<sub>n</sub>'' = ''x<sub>0</sub>u<sub>0</sub>'' + ''x<sub>1</sub>u<sub>1</sub>'' + ... + ''x<sub>n</sub>u<sub>n</sub>'' = '''x'''<sub>H</sub>•'''u'''<sub>P</sub>.

Ezzel megadható egy illeszkedéstartó megfeleltetés a pontok és a síkok között, ami az illeszkedéstartás alapján kiterjeszthető az egyenesek és két hipersík metszeteként kapható alterekre, majd innen még tovább, a véges dimenziós projektív tér összes alterére. Az ilyen leképezések a ''reciprocitások''.

A ''K'' test fölötti PG(2,''K'') projektív sík esetén a reciprocitás az ''(a,b,c)'' koordinátájú pontokat az ''ax'' + ''by'' + ''cz'' = ''0'' egyenletű egyeneseknek felelteti meg. A ''K'' test fölötti PG(3,''K'') projektív térben az ''(a,b,c,d)'' homogén koordinátájú pontok az ''ax'' + ''by'' + ''cz'' + ''dw'' = 0 egyenletű síkoknak felelnek meg. Ez a reciprocitás az ''(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>,c<sub>1</sub>,d<sub>1</sub>)'' és az ''(a<sub>2</sub>,b<sub>2</sub>,c<sub>2</sub>,d<sub>2</sub>)'' pontok által megadott egyenest az ''a<sub>1</sub>x'' + ''b<sub>1</sub>y'' + ''c<sub>1</sub>z'' + ''d<sub>1</sub>w'' = 0 és ''a<sub>2</sub>x'' + ''b<sub>2</sub>y'' + ''c<sub>2</sub>z'' + ''d<sub>2</sub>w'' = 0 egyenletrendszerű egyenesnek felelteti meg kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan.

==Reciprocitás szerkesztése==
A PG(2,''K'') testre épített projektív sík reciprocitása leírható geometriai eszközökkel. Ez az egységgömbös definíciót használja, amiben a [[gömb]] szemben fekvő pontjait azonosnak tekintjük. Ezzel ekvivalens az origón átmenő egyenesek és síkok modellje. Legyen a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a [[merőlegesség]], vagyis egy egyenes képe az a sík lesz, amire merőleges, és egy sík képe az az egyenes lesz, amire merőleges. Ha az egyeneseket a PG(2,''K'') projektív sík pontjainak, a síkokat a projektív sík egyeneseinek tekintjük, akkor ez a függvénykapcsolat reciprocitásba megy át. A gömbmodell ebből úgy kapható, hogy az egységgömbbel elmetsszük az egyeneseket és a síkokat. Az egyenesek két átellenes pontban metszik a gömböt, ezeket azonosnak tekintjük. A síkok főkörökben metszik a gömböt, amik a projektív sík egyeneseinek tekinthetők.

Az illeszkedéstartás könnyebben bizonyítható az altérmodellből. A pontra illeszkedő egyenes ebben a modellben éppen az egyenesre illeszkedő pont. A függvénykapcsolatban a síknak a rá merőleges egyenes felel meg, ami merőleges a síkban levő összes egyenesre, tehát a pontnak megfelelő egyenesre is. Ennek képe a rá merőleges sík, ami magában foglal minden olyan egyenest, ami merőleges az eredeti egyenesre. Így az eredeti sík képe is illeszkedik rá, tehát ez a függvénykapcsolat illeszkedéstartó.

==Pólus-poláris leképezés==
[[Image:Pole and polar.svg|thumb|right|Pólus-poláris megfeleltetés az ''O'' körre. ''P'' = ''Q''', ''q'' ''Q'' polárisa, és ''Q'' ''q'' pólusa.]]
Rögzítsünk egy origó közepű ''C'' kört az euklideszi síkon, és tekintsük a körre vett [[inverzió (matematika)|inverzió]]t. Ekkor a ''P'' képén átmenő, ''PO''-ra merőleges egyenes lesz a ''P'' pont polárisa. Az ''O''-t elkerülő ''m'' egyenes pólusa hasonlóan szerkeszthető, csak az ''O''-ból ''m''-re bocsátott merőleges talppontjának képét kell venni. A pólus-poláris megfeleltetés illeszkedéstartó, és nem elfajuló kúpszelet esetén kölcsönösen egyértelmű, tehát reciprocitás a végtelen távoli egyenessel kibővített projektív síkon. Ezen a síkon a reciprocitás kibővíthető úgy, hogy ''O'' polárisa a végtelen távoli egyenes, és a végtelen távoli egyenes pólusa az ''O'' pont. Az ''O'' ponton átmenő ''s'' meredekségű ferde egyenesek pólusa a -1/''s'' meredekségű egyenesek ideális pontja; az ''x'' tengely pólusa a függőlegesek ideális pontja, az ''y'' tengelyé a vízszinteseké.

Ez a megfeleltetés kiterjeszthető más nem elfajuló kúpszeletekre is. Ezek a reciprocitások másodrendűek, így polaritások.

==A gömb leképezése síkra==
A projektív sík gömb modellje ekvivalens az ideális egyenessel kibővített sík modelljével.

A gömb modell [[sztereografikus projekció]]val síkba képezhető. Ehhez kitűzünk egy pontot a gömb felszínén, és vesszük azt a síkot, ami itt érinti a gömböt. A gömb egy pontjának képe úgy adható meg, hogy vesszük a pontot a gömb középpontjával összekötő egyenest, és tekintjük az egyenes döféspontját a síkkal.

Ezzel a vetítéssel definiálható az
:<math> f:[0,\pi/2] \times [0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}P^2. </math>
egy-egyértelmű leképezés.

Ha az <math> \mathbb{R}P^2 </math> síkon homogén koordinátákkal adjuk meg a pontokat, akkor
:<math> f:(\theta, \phi) \mapsto [\cos \phi : \sin \phi : \mathrm{ctg} \theta], </math>
:<math> f^{-1} : [x : y : z] \mapsto \left( \arctan \sqrt{\left({x \over z}\right)^2 + \left({y\over z}\right)^2}, \arctan_2 (y,x) \right). </math>

A síkmodell egyenesei éppen a gömbi [[főkör]]ök képei. A sík minden egyenesére éppen egy olyan sík illeszkedik, ami a gömb középpontján is átmegy, de az ilyen síkok a gömböt főkörben metszik.

Minden főkörhöz egyértelműen van projektív pont, ami a duálisa. De ez két átellenes gömbi pontnak felel meg, amik egyértelműen meghatároznak egy egyenest a térben. Ez az egyenes a kibővített síkot egy pontban metszi, ami azt jelenti, hogy a projektív sík egyenesei és a pontjai geometriai úton összepárosíthatók úgy, hogy egymás duálisai legyenek.

==Pólus-poláris szerkesztése==
Legyen ''L'' projektív egyenes, aminek keressük a duálisát. Bocsássunk rá merőlegest az origóból. Ekkor a pólus a merőleges túlsó oldalán lesz, és távolsága az origótól az ''L'' egyenes távolságának reciproka lesz.

:: [[Image:ProjectiveDuality.PNG]]
::''<small>Három pár duális egyenes-pont pár: egy piros, egy sárga és egy kék.<br />A dualitás illeszkedéstartó, így <br />a piros és a sárga pontokat összekötő egyenes duálisa<br /> a piros és a sárga egyenesek metszete </small>''

Egyenletekkel leírva: legyen ''g'' a projektív sík önmagára vett kölcsönösen egyértelmű leképezése:
:<math> g : \mathbb{R}P^2 \rightarrow \mathbb{R}P^2 </math>
úgy, hogy
:<math> g : [m : b : 1]_L \mapsto [m : -1 : b] </math>
és
:<math> g : [x : y : 1] \mapsto [x : 1 : -y]_L </math>
ahol az L index azt jelöli, hogy egyenes vonalkoordinátáiról van szó. Más szóval, az ''m'' meredekségű, ''y'' tengelymetszetű (''m'', ''b'') affin egyenes az (''m''/''b'', −1/''b'') pont duálisa. Ha ''b''=0, akkor az egyenes átmegy a koordináta-rendszer origóján, és duálisa az [m : −1 : 0] ideális pont.

Az (''x'',''y'') koordinátájú affin pont duálisa a −''x''/''y'' meredekségű, −1/''y'' tengelymetszetű egyenes. Ha a pont az origó [0:0:1], akkor duálisa az ideális egyenes [0:1:0]<sub>L</sub>. Ha a pont az ''x'' tengely [''x'':0:1] pontja, akkor duálisa az [''x'':1:0]<sub>L</sub> egyenes, vagyis a −1/''x'' tengelymetszetű függőleges egyenes.<!--Az angolban x-tengelymetszet van írva. Függőlegesnél nem nagyon lehet. -->

Ha egy pont vagy egyenes koordinátái homogén alakban vannak megadva, akkor a dualitás [[mátrix (matematika)|mátrix]] alakba írható:
:<math> G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} </math>
aminek inverze
:<math> G^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}. </math>
A ''G'' mátrix egyetlen valós [[sajátérték]]e az 1, ami az [1:0:0] [[sajátvektor]]hoz tartozik. Az [1:0:0]<sub>L</sub> egyenes az ''y'' tengely, aminek duálisa az [1:0:0] pont, ami az ''x'' tengely ideális pontja.

Az ''y'' tengely koordinátái [1:0:0]<sub>L</sub>, az ''x'' tengelyé [0:0:1]<sub>L</sub>, és az ideális egyenesé [0:1:0]<sub>L</sub>. A háromdimenziós térben a ''G'' által adott leképezés egy forgatás az ''x'' tengely körül, ami az ''y'' tengelyt a ''z'' tengelybe viszi. A projektív síkban ez egy projektív pont-pont, egyenes-egyenes, kúpszelet-kúpszelet transzformáció, ami az ''x'' tengelyt felcseréli az ideális egyenessel, és az ''y'' tengelyen [[Möbius-transzformáció]]t visz véghez. Dualitásként ''G'' minden projektív egyenest és pontot a duálisával párosít össze.

==Illeszkedéstartás==
A ''g'' leképezés illeszkedéstartó:

Adva legyen az ''L<sub>1</sub>'' és az ''L<sub>2</sub>'' egyenes, amik a ''P'' pontban metszik egymást. Ekkor az egyenesek duálisai, ''gL<sub>1</sub>'' és ''gL<sub>2</sub>'' egyértelműen meghatározzák az ''g<sup>−1</sup>P'' egyenest:
:<math> g^{-1} (L_1 \cap L_2) = gL_1 . gL_2 </math>.

Adva legyenek a ''P<sub>1</sub>'' és a ''P<sub>2</sub>'' pontok, amikre illeszkedik az ''L'' egyenes, ''P<sub>1</sub>.P<sub>2</sub> = L''. Tudni akarjuk, hogy ekkor mi a ''g<sup>−1</sup>P<sub>1</sub>'' és a ''g<sup>−1</sup>P<sub>2</sub>'' egyenesek metszete. Ha ''g<sup>−1</sup>P<sub>1</sub>'' ∩ ''g<sup>−1</sup>P<sub>2</sub>'' = ''P'', akkor
:<math> g^{-1}P = g^{-1}(g^{-1}P_1 \cap g^{-1}P_2) = g(g^{-1}P_1).g(g^{-1}P_2)</math>
:::<math> = P_1.P_2 </math>
:::<math> = L </math>
és így
:<math> g(g^{-1}P) = gL </math>
:<math> P = gL </math>
:∴<math>g(P_1.P_2) = g^{-1}P_1 \cap g^{-1}P_2</math>

Ha a pontokat affin koordinátákkal adjuk meg, akkor a rajtuk átmenő egyenes egyenlete
:<math> [x_1:y_1:1].[x_2:y_2:1] = g^{-1} ([x_1:y_1:1] \times [x_2:y_2:1]) </math>
ahol is a [[vektoriális szorzat]]ot úgy számítjuk, ahogy a háromdimenziós vektoroknál.

Ez az utolsó egyenlet az egyenesek metszéséből adódik a ''g'' leképezéssel:
:<math>g[m_1:b_1:1]_L . g[m_2:b_2:1]_L = g^{-1}(g[m_1:b_1:1]_L \times g[m_2:b_2:1]_L) </math>

:<math>g(g[m_1:b_1:1]_L . g[m_2:b_2:1]_L) = g[m_1:b_1:1]_L \times g[m_2:b_2:1]_L </math>

:<math>[m_1:b_1:1]_L \cap [m_2:b_2:1]_L = g([m_1:b_1:1]_L \times [m_2:b_2:1]_L)</math>
ahol ''g'' disztributív a vektoriális szorzatra: más szóval, ''g'' a vektoriális szorzat izomorfizmusa.

'''Tétel:''' A ''g'' dualitás a vektoriális szorzat izomorfizmusa, vagyis disztributív rá.

''Bizonyítás:'' Adva legyen az ''A''=(''a'':''b'':''c'') és a ''B''=(''d'':''e'':''f'') pont; vektoriális szorzatuk
<math> (a:b:c) \times (d:e:f) = (b f - c e : c d - a f : a e - b d) </math>
de
:<math> g(a:b:c) = (a:-c:b),</math>

:<math> g(d:e:f) = (d:-f:e), </math>

:<math> (a:-c:b) \times (d:-f:e) = (-c e + b f : b d - a e : -a f + c d) </math>

::::<math>= g(b f - c e : c d - a f : a e - b d)</math>.
Tehát
:<math> g(A \times B) = gA \times gB </math>.
''[[Q.E.D.]]''

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
* {{Citation | last1 = Albert | first1 = A. Adrian | last2 = Sandler | first2 = Reuben | title = An Introduction to Finite Projective Planes | publisher = Holt, Rinehart and Winston | place = New York | year = 1968}}
* <cite id=refBachmann1959>F. Bachmann, 1959. ''Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff'', Springer, Berlin.</cite>
* {{cite book|last=Baer|first=Reinhold|title=Linear Algebra and Projective Geometry|url=https://archive.org/details/linearalgebrapro0000rein|year=2005|publisher=Dover|location=Mineola NY|isbn=0-486-445656-8}}
* {{cite book|last=Bennett|first=M.K.|title=Affine and Projective Geometry|url=https://archive.org/details/affineprojective0000benn|year=1995|publisher=Wiley|location=New York|isbn=0-471-11315-8}}
* {{cite book|last1=Beutelspacher|first1=Albrecht|last2=Rosenbaum|first2=Ute|title=Projective Geometry: from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=0-521-48277-1}}
* {{citation|last=Casse|first=Rey|title=Projective Geometry: An Introduction|year=2006|publisher=Oxford University Press|location=New York|isbn=0-19-929886-6}}
* <cite id=refCederberg2001>{{cite book
| last=Cederberg
| first=Judith N.
| title=A Course in Modern Geometries
| url=https://archive.org/details/courseinmodernge0002cede
| location=New York
| publisher=Springer-Verlag
| year=2001
| isbn=0-387-98972-2}}</cite>
* [[H. S. M. Coxeter|Coxeter, H. S. M.]], 1995. ''The Real Projective Plane'', 3rd ed. Springer Verlag.
* <cite id=refCoxeter2003>Coxeter, H. S. M., 2003. ''Projective Geometry'', 2nd ed. Springer Verlag. {{ISBN|978-0-387-40623-7}}.</cite>
* <cite id=refCoxeter1969>{{cite book
| last=Coxeter
| first=H. S. M.
| title=Introduction to Geometry
| url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe
| location=New York
| publisher=John Wiley & Sons
| year=1969
| isbn=0471504580}}</cite>
* {{citation|last=Coxeter|first=H.S.M.|last2=Greitzer|first2=S.L.|title=Geometry Revisited|year=1967|publisher=Mathematical Association of America|location=Washington, D.C.|isbn=0-88385-600-X}}
* {{Citation | last = Dembowski | first = Peter | title = Finite Geometries | publisher = Springer Verlag | place = Berlin | year = 1968}}
* {{cite book|last=Garner|first=Lynn E.|title=An Outline of Projective Geometry|year=1981|publisher=North Holland|location=New York|isbn=0-444-00423-8}}
* Greenberg, M.J., 2007. ''Euclidean and non-Euclidean geometries'', 4th ed. Freeman.
* [[Robin Hartshorne|Hartshorne, Robin]], 2009. ''Foundations of Projective Geometry'', 2nd ed. Ishi Press. {{ISBN|978-4-87187-837-1}}
* Hartshorne, Robin, 2000. ''Geometry: Euclid and Beyond''. Springer.
* [[David Hilbert|Hilbert, D.]] and Cohn-Vossen, S., 1999. ''Geometry and the imagination'', 2nd ed. Chelsea.
* <cite id=refHughes1973>D. R. Hughes and F. C. Piper, 1973. ''Projective Planes'', Springer.</cite>
* {{Citation | last = Kárteszi | first = F. | title = Introduction to Finite Geometries| publisher = North-Holland | place = Amsterdam | year = 1976 | isbn = 0-7204-2832-7}}
* {{cite book|last=Mihalek|first=R.J.|title=Projective Geometry and Algebraic Structures|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000miha|year=1972|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=0-12-495550-9}}
* <cite id=refRamanan1997>{{cite journal
| doi=10.1007/BF02835009
| first=S.
| last=Ramanan
| title=Projective geometry
| journal=Resonance
|publisher=Springer India
|issn=0971-8044
|volume =2
|issue=8
|pages=87–94
|date=August 1997}}
* {{cite book|last=Samuel|first=Pierre|title=Projective Geometry|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu|year=1988|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-96752-4}}
* {{Citation | last = Stevenson | first = Frederick W. | title = Projective Planes | publisher = W.H. Freeman and Company | place = San Francisco |year = 1972 | isbn = 0-7167-0443-9}}
* {{Cite book|first=Oswald|last=Veblen|first2=J. W. A.|last2= Young|title=Projective geometry|year=1938|place=Boston|publisher= Ginn & Co.|url=http://www.archive.org/details/117714799_001|isbn=978-1418182854|postscript=<!--None-->}}
{{Portál|Matematika}}

{{DEFAULTSORT:Dualitasaprojektivgeometriaban}}
[[Kategória:Geometria]]